Медленное изменение длины маятника

[profilescit]

realeugene в сообщении #1532520 писал(а):

Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

Я не знаю зачем такое делать, задачу я лишь решая, а не формулирую.

DimaM в сообщении #1532507 писал(а):

Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты. Для гармонического осциллятора $I=W/\omega$, что дает формулу, приведенную zykov.

В ответе $W \sim l^{-\frac{1}{2}}$, видимо дело как раз в том что формулировка тут различна от "классической"

[amon]

profilescit в сообщении #1532617 писал(а):

В ответе $W \sim l^{-\frac{1}{2}}$, видимо дело как раз в том что формулировка тут различна от "классической"

А из формулы уважаемого DimaM получается что-то другое?

[profilescit]

amon, инвариант который приводит DimaM дает правильный результат, а вот формула на которую он ссылается (которую привел zykov) не верная

[zykov]

Да, есть расхождение.
Напишу подробнее.
Обозначим амплитуду $\dot \alpha$ как $A$. Это значение $\dot \alpha$ в нижней точке.
$W$ равно кинетической энергии в нижней точке, т.е. равно $W=m l^2 A^2 / 2$.
Ускорение при движении по окружности равно $a=v^2/R$, т.е. для маятника $a=l {\dot \alpha}^2$.
Значит сила натяжение (за вычетом гравитационной части) будет $T=ma=ml{\dot \alpha}^2$.
Для гармонической осциляции, если усреднить по периоду ${\dot \alpha}^2$, то будет $A^2/2$.

Т.е. $dW = -dl \cdot mlA^2/2 = dl \cdot W/l$.
Где ошибка?

[zykov]

Минус в конце потерял.

zykov в сообщении #1532627 писал(а):

Т.е. $dW = -dl \cdot mlA^2/2 = dl \cdot W/l$.

$dW = -dl \cdot mlA^2/2 = -dl \cdot W/l$

[zykov]

zykov в сообщении #1532627 писал(а):

Где ошибка?

Понятно
Гравитационную составляющую в натяжении нельзя полностью выкидывать.
Там есть квадратичная величина, которую необходимо учесть.
$T_g=-mg(1-\cos\alpha) \approx -mg\alpha^2/2$
(При небольшом отклонении гравитационное натяжение тоже становится чуть меньше из-за того что направлено под углом.)
Если усреднить $\alpha^2$, то там тоже будет половина квадрата амплитуды.
В итоге $dW = -dl \cdot (W-W/2)/l$, т.е. $\frac{dW}{dl}=-\frac{W}{2l}$.
Тогда всё сходится, получается $W=W_0 \sqrt\frac{l_0}{l}$.

[amon]

zykov в сообщении #1532640 писал(а):

Там есть квадратичная величина, которую необходимо учесть.
$T_g=-mg(1-\cos\alpha) \approx -mg\alpha^2/2$

А если наше ведро висит и не качается ($\alpha=\dot\alpha=0$), то нить совсем-совсем не натянута? (Это те самые грабли, на которые все наступают.)

[zykov]

amon в сообщении #1532643 писал(а):

А если наше ведро висит и не качается ($\alpha=\dot\alpha=0$), то нить совсем-совсем не натянута?

Это то натяжение, которое надо проигнорировать по условию задачи.

profilescit в сообщении #1532482 писал(а):

Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.

[amon]

zykov в сообщении #1532645 писал(а):

Это то натяжение, которое надо проигнорировать по условию задачи.

Виноват, не прочитал, хотя по мне это бред какой-то. Просто, если решать задачу через инвариант, то этот кусок выпадает.

[rascas]

amon в сообщении #1532549 писал(а):

Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?

amon в сообщении #1532559 писал(а):

Видно, что ведер из колодцев Вы не поднимали.

amon в сообщении #1532564 писал(а):

А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

amon, а ведь эта формула говорит, что это Вы вёдер из колодцев не поднимали и ни каких экспериментов не делали.

zykov в сообщении #1532640 писал(а):

Тогда всё сходится, получается $W=W_0 \sqrt\frac{l_0}{l}$

$W\sqrt{l}=Const$

энергия колебаний маятника: $W=mg\frac{\alpha^2}{2}l$

$mg\frac{(\alpha l)^2}{2\sqrt{l}}=Const$

Обозначим $A=\alpha l$ - Амплитуда колебаний маятника

$\frac{A}{\sqrt[4]{l}}=Const$

При подъёме ведра $l$ уменьшается, следовательно и Амплитуда колебаний ведра также уменьшается (не сильно, пропорционально $\sqrt[4]{l}$)

[DimaM]

profilescit в сообщении #1532625 писал(а):

инвариант который приводит DimaM дает правильный результат, а вот формула на которую он ссылается (которую привел zykov) не верная

Да, моя ошибка.

[amon]

rascas в сообщении #1532658 писал(а):

amon, а ведь эта формула говорит, что это Вы вёдер из колодцев не поднимали и ни каких экспериментов не делали.

$$E=\operatorname{const}\omega,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}:\,L\to 0\Rightarrow E\to\infty$$

[rascas]

amon в сообщении #1532682 писал(а):

$$E=\operatorname{const}\omega,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}:\,L\to 0\Rightarrow E\to\infty$$

Разумеется формула $E=\operatorname{const}\omega$ применима только к гармоническому осциллятору (как и всё остальное в этой теме), в нашем случае это значит:
$L \gg A$ -малые колебания математического маятника.
$L \to 0 \Rightarrow A \to 0$ - амплитуда колебаний всегда гораздо меньше длины маятника.

Несмотря на то, что энергия колебаний возрастает с уменьшением длины маятника, амплитуда этих колебаний все равно уменьшается.

rascas в сообщении #1532658 писал(а):

$\frac{A}{\sqrt[4]{l}}=Const$

[amon]

rascas в сообщении #1532689 писал(а):

Несмотря на то, что энергия колебаний возрастает с уменьшением длины маятника, амплитуда этих колебаний все равно уменьшается.

А получается, что Вы правы. Тут такая петрушка. Когда мы считаем амплитуду, формула $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},$ строго говоря, не верна. Решать надо честное уравнение

$$\frac{d}{dt}l^2(t)\dot\alpha+l(t)g\sin\alpha=0,\,l=l_0-vt,$$

и поделить уравнение на $l^2,$ что бы получить частоту, не получается. Зато его можно решить численно (Mathematica):

v = 1
l = 100 - v x
s = NDSolve[{D[l^2 D[y[x], x], x] + 10 l Sin[y[x]] == 0, y[0] == 0.01,    y'[0] == 0}, y, {x, 99/v}]
Plot[Evaluate[l Sin[y[x] /. s]], {x, 0, 99/v}, PlotRange -> All] 

Получится

Вложение:

pendulum.png [ 14.78 Кб | Просмотров: 1533 ]

Как я говорил, то, что ведро раскачивается при подъеме - это экспериментальный факт, но причину этого я неправильно до сих пор себе объяснял, и она для меня стала загадочной.

[zykov]

amon в сообщении #1532700 писал(а):

но причину этого я неправильно до сих пор себе объяснял, и она для меня стала загадочной

Потому что ведро поднимают не адиабатически, а рывками (уж я то ведро поднимал своими руками). При этом рывок обычно приходится на нижнюю точку (когда ведро подальше от стенок).
Решите другую задачу. Длина $l$ уменьшается не плавно по времени, а маленькими рывками в нижней точке колебаний.
(Есть ещё другая задача, как раскачать маятник параметрически. Рывком уменьшить $l$ в нижней точке и рывком увеличить $l$ в дальней точке. Так собственно на качелях сами себя раскачивают манипулирую высотой центра масс.)