2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 19:22 
Аватара пользователя


12/02/20
260
realeugene в сообщении #1532520 писал(а):
Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

Я не знаю зачем такое делать, задачу я лишь решая, а не формулирую.

DimaM в сообщении #1532507 писал(а):
Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты. Для гармонического осциллятора $I=W/\omega$, что дает формулу, приведенную zykov.

В ответе $W \sim l^{-\frac{1}{2}}$, видимо дело как раз в том что формулировка тут различна от "классической"

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532617 писал(а):
В ответе $W \sim l^{-\frac{1}{2}}$, видимо дело как раз в том что формулировка тут различна от "классической"
А из формулы уважаемого DimaM получается что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 20:12 
Аватара пользователя


12/02/20
260
amon, инвариант который приводит DimaM дает правильный результат, а вот формула на которую он ссылается (которую привел zykov) не верная

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 20:53 


18/09/21
628
Да, есть расхождение.
Напишу подробнее.
Обозначим амплитуду $\dot \alpha$ как $A$. Это значение $\dot \alpha$ в нижней точке.
$W$ равно кинетической энергии в нижней точке, т.е. равно $W=m l^2 A^2 / 2$.
Ускорение при движении по окружности равно $a=v^2/R$, т.е. для маятника $a=l {\dot \alpha}^2$.
Значит сила натяжение (за вычетом гравитационной части) будет $T=ma=ml{\dot \alpha}^2$.
Для гармонической осциляции, если усреднить по периоду ${\dot \alpha}^2$, то будет $A^2/2$.

Т.е. $dW = -dl \cdot mlA^2/2 = dl \cdot W/l$.
Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 22:32 


18/09/21
628
Минус в конце потерял.
zykov в сообщении #1532627 писал(а):
Т.е. $dW = -dl \cdot mlA^2/2 = dl \cdot W/l$.

$dW = -dl \cdot mlA^2/2 = -dl \cdot W/l$

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 23:50 


18/09/21
628
zykov в сообщении #1532627 писал(а):
Где ошибка?

Понятно
Гравитационную составляющую в натяжении нельзя полностью выкидывать.
Там есть квадратичная величина, которую необходимо учесть.
$T_g=-mg(1-\cos\alpha) \approx -mg\alpha^2/2$
(При небольшом отклонении гравитационное натяжение тоже становится чуть меньше из-за того что направлено под углом.)
Если усреднить $\alpha^2$, то там тоже будет половина квадрата амплитуды.
В итоге $dW = -dl \cdot (W-W/2)/l$, т.е. $\frac{dW}{dl}=-\frac{W}{2l}$.
Тогда всё сходится, получается $W=W_0 \sqrt\frac{l_0}{l}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532640 писал(а):
Там есть квадратичная величина, которую необходимо учесть.
$T_g=-mg(1-\cos\alpha) \approx -mg\alpha^2/2$
А если наше ведро висит и не качается ($\alpha=\dot\alpha=0$), то нить совсем-совсем не натянута? (Это те самые грабли, на которые все наступают.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 01:39 


18/09/21
628
amon в сообщении #1532643 писал(а):
А если наше ведро висит и не качается ($\alpha=\dot\alpha=0$), то нить совсем-совсем не натянута?

Это то натяжение, которое надо проигнорировать по условию задачи.
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 01:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
zykov в сообщении #1532645 писал(а):
Это то натяжение, которое надо проигнорировать по условию задачи.
Виноват, не прочитал, хотя по мне это бред какой-то. Просто, если решать задачу через инвариант, то этот кусок выпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 08:58 


30/01/18
399
amon в сообщении #1532549 писал(а):
Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?
amon в сообщении #1532559 писал(а):
Видно, что ведер из колодцев Вы не поднимали.
amon в сообщении #1532564 писал(а):
А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.
amon, а ведь эта формула говорит, что это Вы вёдер из колодцев не поднимали и ни каких экспериментов не делали.

zykov в сообщении #1532640 писал(а):
Тогда всё сходится, получается $W=W_0 \sqrt\frac{l_0}{l}$

$W\sqrt{l}=Const$

энергия колебаний маятника: $W=mg\frac{\alpha^2}{2}l$

$mg\frac{(\alpha l)^2}{2\sqrt{l}}=Const$

Обозначим $A=\alpha l$ - Амплитуда колебаний маятника

$\frac{A}{\sqrt[4]{l}}=Const$

При подъёме ведра $l$ уменьшается, следовательно и Амплитуда колебаний ведра также уменьшается (не сильно, пропорционально $\sqrt[4]{l}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 09:07 
Заслуженный участник


28/12/12
6972
profilescit в сообщении #1532625 писал(а):
инвариант который приводит DimaM дает правильный результат, а вот формула на которую он ссылается (которую привел zykov) не верная

Да, моя ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532658 писал(а):
amon, а ведь эта формула говорит, что это Вы вёдер из колодцев не поднимали и ни каких экспериментов не делали.

$$E=\operatorname{const}\omega,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}:\,L\to 0\Rightarrow E\to\infty$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 16:38 


30/01/18
399
amon в сообщении #1532682 писал(а):
$$E=\operatorname{const}\omega,\,\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}:\,L\to 0\Rightarrow E\to\infty$$
Разумеется формула $E=\operatorname{const}\omega$ применима только к гармоническому осциллятору (как и всё остальное в этой теме), в нашем случае это значит:
$L \gg A$ -малые колебания математического маятника.
$L \to 0 \Rightarrow A \to 0$ - амплитуда колебаний всегда гораздо меньше длины маятника.

Несмотря на то, что энергия колебаний возрастает с уменьшением длины маятника, амплитуда этих колебаний все равно уменьшается.
rascas в сообщении #1532658 писал(а):
$\frac{A}{\sqrt[4]{l}}=Const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532689 писал(а):
Несмотря на то, что энергия колебаний возрастает с уменьшением длины маятника, амплитуда этих колебаний все равно уменьшается.
А получается, что Вы правы. Тут такая петрушка. Когда мы считаем амплитуду, формула $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},$ строго говоря, не верна. Решать надо честное уравнение
$$\frac{d}{dt}l^2(t)\dot\alpha+l(t)g\sin\alpha=0,\,l=l_0-vt,$$
и поделить уравнение на $l^2,$ что бы получить частоту, не получается. Зато его можно решить численно (Mathematica):
Код:
v = 1
l = 100 - v x
s = NDSolve[{D[l^2 D[y[x], x], x] + 10 l Sin[y[x]] == 0, y[0] == 0.01,    y'[0] == 0}, y, {x, 99/v}]
Plot[Evaluate[l Sin[y[x] /. s]], {x, 0, 99/v}, PlotRange -> All]
Получится
Вложение:
pendulum.png
pendulum.png [ 14.78 Кб | Просмотров: 132 ]
Как я говорил, то, что ведро раскачивается при подъеме - это экспериментальный факт, но причину этого я неправильно до сих пор себе объяснял, и она для меня стала загадочной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение25.09.2021, 19:45 


18/09/21
628
amon в сообщении #1532700 писал(а):
но причину этого я неправильно до сих пор себе объяснял, и она для меня стала загадочной

Потому что ведро поднимают не адиабатически, а рывками (уж я то ведро поднимал своими руками). При этом рывок обычно приходится на нижнюю точку (когда ведро подальше от стенок).
Решите другую задачу. Длина $l$ уменьшается не плавно по времени, а маленькими рывками в нижней точке колебаний.
(Есть ещё другая задача, как раскачать маятник параметрически. Рывком уменьшить $l$ в нижней точке и рывком увеличить $l$ в дальней точке. Так собственно на качелях сами себя раскачивают манипулирую высотой центра масс.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group