2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Медленное изменение длины маятника
Сообщение23.09.2021, 21:26 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Мы рассмотрим математический маятник -- груз массы $m$, подвешенный на нити длины $l$. Ускорение свободного падения $g$. Угловую амплитуду колебаний маятника обозначим $\alpha$ и будем всюду считать малой $\alpha \ll 1$.

Пусть теперь длину нити маятника медленно изменяют, так что относительное изменение длины за один период колебаний мало.

В начальный момент времени длина равна $l_0$, а энергия колебаний $W_0$. Найдите энергию колебаний $W_1$, когда длина нити станет равной $l_1$. Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.


Пусть за один период длина нити изменяется на длину $\Delta l \ll l$. Работа совершенная на это будет $A = - \left\langle T \right\rangle \Delta l$ где $T$ - натяжение нити, и берем среднее натяжение нити за период.

Тогда получим $A = - m g \Delta l (1 + \frac{\alpha^2}{4})$

А дальше сложности. Вроде как сохранение энергии должен написать, но непонятно как это правильно сделать с учетом меняющейся точки отсчета потенциальной энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение23.09.2021, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
Вроде как сохранение энергии должен написать
Энергия сохраняется в замкнутой системе. Ваша система замкнута? Видимо, надо написать как работа связана с изменением энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 03:12 


18/09/21
659
Мне кажется, что усреднённое натяжение не правильно вышло.
У меня выходит $\frac{dW}{dl}=-\frac{W}{l}$. Значит $W=W_0 \frac{l_0}{l}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 08:32 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты. Для гармонического осциллятора $I=W/\omega$, что дает формулу, приведенную zykov.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 09:42 


27/08/16
8581
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 11:43 


30/01/18
399
realeugene в сообщении #1532520 писал(а):
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.
На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.

Предлагаю немного изменённую, упрощённую формулировку этой задачи:

Маятник изначально имел длину $l_0$. Потом мы начали передвигать вертикально вниз, вдоль нити маятника невесомую шайбу, тем самым изменяя длину маятника до $l$. При этом нижнее положение маятника не меняется, как и изначальная точка подвеса ($l_0$) не меняется. Как изменится энергия маятника? Изменение энергии маятника равно работе при вертикальном перемещении этой невесомой шайбы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532535 писал(а):
На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.
Чего непонятного? Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?
DimaM в сообщении #1532507 писал(а):
Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты.
Можно и через инвариант, но решается и без оного. Кроме того, при решении через инвариант есть мелкие грабли, на которые, по моему опыту, наступают почти все поголовно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 13:59 


30/01/18
399
amon в сообщении #1532549 писал(а):
Чего непонятного?
Непонятно вот что: Не является ли фраза:
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
излишней в формулировке задачи ТС?


amon в сообщении #1532549 писал(а):
Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?
Так и будет слегка качаться. С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532557 писал(а):
Так и будет слегка качаться.
Видно, что ведер из колодцев Вы не поднимали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:13 


30/01/18
399
Уважаемый amon Вы по все видимости считаете, что мой ответ:
rascas в сообщении #1532557 писал(а):
С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)
неправильным?

А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532562 писал(а):
А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?
А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:35 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
amon в сообщении #1532564 писал(а):
А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Emergency в сообщении #1532566 писал(а):
Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца.
Является квазипериодической функцией, поскольку удар неупругий ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:44 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
amon
Ага.
У нас в школе были парты с откидной передней частью (чтобы можно было вставать), а между частями была щель. Если вставить в щель линейку, чтобы большая часть торчала вверх, а снизу можно было только взяться пальцами, отогнуть верхнюю часть посильнее и при отпускании резко потянуть линейку через щель вниз, то раздавался душераздирающий звук, нарастающий по громкости и частоте. Учителей это заставляло подпрыгивать от неожиданности, а потом озираться, пытаясь найти источник и причину звука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 15:14 


17/10/16
1313
Emergency
Я тоже этим занимался. Познавательный и увлекательный опыт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group