Мера Жордана, Бореля, Лебега

[Vadim.bassin]

Я инженер с 35-м стажем, но инженерным образованием, не включавшим анализ-3 и современный тервер. Должен сейчас разобраться с многими вещами из вероятности и статистики, пользуюсь в основном интернетом (вики, форумы) но они все записаны на языке топологии, алгебры, меры и т.п. Чтобы это понять, прошлось брать университетские учебники, но там какая-то путаница с теминологией.

Большинство книг анализа говорит на языке меры Лебега, ссылаясь иногда на меру Жордана (и соответсвенно множества измеримые по Лебегу и Жордану). Кажется я в этом разобрался. Но тут неожиданно в тервере говорят он множествах, измеримых по Борелю.

Пожалуйста, помогите разобраться во всей разнице: Мера Жордана->Бореля->Лебега, множества измеримые по Жордану->Борелю->Лебегу, а также что неизмеримо но Лебегу.

[Slav-27]

Понятие меры Лебега, наверно, самое важное из тех, что вы написали, и именно ему я бы советовал уделить наибольшее внимание. Измеримыми по Лебегу являются "все подмножества $n$-мерного вещественного пространства, какие только могут понадобиться". Точнее говоря, ситуация следующая: можно математически доказать, что существуют неизмеримые по Лебегу множества, но ни для одного из них нельзя предъявить никакой явной конструкции (и это тоже математически доказано). Таким образом, множества, неизмеримые по Лебегу -- это некие фантомы: они есть, но никто никогда их не видел. Все множества, которые могут в явном виде встретиться на практике, измеримы по Лебегу.

Мера Лебега -- это единственная мера на $n$-мерном вещественном векторном пространстве, такая что

1. все открытые и все замкнутые множества измеримы,
2. любое подмножество измеримого множества меры 0 измеримо (и имеет меру 0) -- это свойство полноты,
3. мера не меняется при параллельном переносе,
4. мера единичного куба равна 1.

Понятие меры Жордана менее важно, но её придумали раньше, чем меру Лебега, и её конструкция несколько нагляднее. Любое множество, измеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу, и его мера Жордана равна мере Лебега. Таким образом, мера Жордана -- это ограничение меры Лебега на некоторый класс "хороших" множеств. Стоит иметь в виду, что мера Жордана не является мерой в современном смысле этого слова, потому что измеримые по Жордану множества не образуют $\sigma$-алгебру: может оказаться, что каждое из бесконечной последовательности множеств $S_1,S_2,S_3,\dots$ измеримо по Жордану, а их объединение $S_1\cup S_2\cup S_3\cup\dots$ неизмеримо. У меры Лебега нет этой проблемы.

Мерой Бореля, или борелевской мерой, называют любую меру, у которой все открытые и все замкнутые множества измеримы. В частности, мера Лебега является борелевской (свойство 1 выше). Когда говорят, что множество измеримо по Борелю, обычно имеют в виду, что оно принадлежит $\sigma$-алгебре, порождённой открытыми и замкнутыми множествами (следовательно, измеримо по Лебегу), то есть может быть получено из открытых и замкнутых множеств с помощью операций (конечного или счётного) объединения и пересечения.

[Pphantom]

Vadim.bassin в сообщении #1468339 писал(а):

Должен сейчас разобраться с многими вещами из вероятности и статистики, пользуюсь в основном интернетом (вики, форумы) но они все записаны на языке топологии, алгебры, меры и т.п. Чтобы это понять, прошлось брать университетские учебники, но там какая-то путаница с теминологией.

Желание освоить основы теории меры, конечно, похвально, но в описанной ситуации будет существенно разумнее, если вы напишете, что именно вам понадобилось освоить из теорвера и матстатистики (и, если возможно - зачем). С 99% вероятностью после этого кто-нибудь сможет посоветовать вам учебник, для чтения и понимания которого теория меры не нужна.

[Vadim.bassin]

Спасобо, slav-27
"Мерой Бореля, или борелевской мерой, называют любую меру"

То есть в отличие от мер Жордана/Лебега, которые расширяют понятие обычой площади, мера Бореля- это не конкретное определение, а группа. Я правильно понял? Если да, то уже обясняет некоторые непонятки.


"В частности, мера Лебега является борелевской (свойство 1 выше)"

А вот это уже непонятно. Есть контр-пример множества, измеримого по Лебегу, но неизмеримого по Борелю. Это как?

-- 12.06.2020, 18:22 --

Pphantom,

Я пытаюсь разобраться в теоретических основах машинного обучения, которое опирается на серьёзный теорвер. Я провел много времени с книгами (Веттцель, Гнеденко), многое вспомнил, больше узнал. Но проблема не в этом

При изучении материла в инете, любое новое понятие надо искать, а определения в вики и других местах сразу идут в теоретико-множесвенных понятиях. Это сводит с ума, так как никакой интуиции у меня там нет, начала появляться только после долгого времени разбирательства, и то не везде пока. А без интуиции - никуда.

[Slav-27]

Vadim.bassin в сообщении #1468446 писал(а):

То есть в отличие от мер Жордана/Лебега, которые расширяют понятие обычой площади, мера Бореля- это не конкретное определение, а группа. Я правильно понял?

Наверно, правильно сказать, что у словосочетания "мера Бореля" есть 2 значения:
1) широкое -- любая мера, определённая на борелевской $\sigma$-алгебре (то есть на $\sigma$-алгебре, порождённой открытыми множествами -- это то, про что я писал выше),
2) узкое -- ограничение меры Лебега на вещественном $n$-мерном пространстве на борелевскую $\sigma$-алгебру.

Меру Лебега придумывали как обобщение понятий длины, площади, объёма. Сначала Борель придумал, как распространить понятие объёма на произвольные борелевские множества и получил таким образом меру Бореля "в узком смысле". Далее оказалось, что подмножество борелевского множества нулевой меры не обязательно борелевское. Естественно было попытаться расширить $\sigma$-алгебру измеримых множеств, включив в неё все подмножества борелевских множеств нулевой меры и приписав им меру 0. Но это не самая простая задача. Эту задачу решил Лебег, который был студентом Бореля, и таким образом получил меру Лебега.

Vadim.bassin в сообщении #1468446 писал(а):

Есть контр-пример множества, измеримого по Лебегу, но неизмеримого по Борелю. Это как?

Да есть, но, опять же, вам такое навряд ли когда-нибудь встретится. Например, есть такая штука как канторово множество; оно является борелевским и имеет меру 0. Значит, любое его подмножество измеримо по Лебегу и имеет меру 0. Количество точек канторова множества -- континуум; значит, количество его всевозможных подмножеств строго больше, чем континуум. В то же время можно показать, что количество всевозможных борелевских подмножеств прямой есть в точности континуум. Значит, "почти все" подмножества канторова множества измеримы по Лебегу, но не борелевские.

Pphantom, по-моему, говорит дело.

[Vadim.bassin]

В книге Гнеденко (стр 119) функция распределения определяется, как измеримая по Борелю. Почему именно по борелю?
К сожалению я не изучал теорию меры и эти нюансы мне непонятны

[Pphantom]

Вновь заведенная тема объединена с предыдущей. Отчасти для уточнения мотивировки задающего вопрос, отчасти для того, чтобы не повторяться.

[Brukvalub]

Vadim.bassin в сообщении #1531540 писал(а):

В книге Гнеденко (стр 119) функция распределения определяется, как измеримая по Борелю. Почему именно по борелю?
К сожалению я не изучал теорию меры и эти нюансы мне непонятны

Brukvalub в сообщении #1254180 писал(а):

Предполагаю, что такой выбор сигма-алгебры... отвечает нуждам теории вероятностей. Например, оказалось очень удобным и естественным описывать случайные величины с помощью их функций распределения, что требует всего лишь измеримости прообразов открытых лучей. А наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые лучи - борелевская.

[g______d]

Одна из проблем в том, что композиция функции, измеримой по Лебегу, даже с непрерывной функцией может оказаться неизмеримой (разумеется, для построения примера будут нужны неизмеримые множества).

[Vadim.bassin]

Brukvalub в сообщении #1531597 писал(а):

требует всего лишь измеримости прообразов открытых лучей. А наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые лучи - борелевская

Вы имеете в виду ($\infty,x$]?

[Brukvalub]

Нет, я писАл о $(-\infty ; a)$

[Vadim.bassin]

Brukvalub
А почему луч отркыт справа? Ведь функция вероятности определена как \mathbb {P}(x\leqslant a)?

[provincialka]

Тут есть разные школы. Я, например, привыкла записывать функцию распределения как $F(x)=P(\xi < x)$

[Someone]

Vadim.bassin в сообщении #1532021 писал(а):

функция вероятности определена как \mathbb {P}(x\leqslant a)

Во-первых, стандартный термин — функция распределения, и есть два разных определения. В одном неравенство строгое, в другом — нестрогое. Существенной разницы нет, меняются только некоторые простые формулы.
Во-вторых, это не имеет никакого отношения к тому, какие лучи порождают борелевскую $\sigma$-алгебру на числовой прямой.
В-третьих, это тоже без разницы, поскольку и замкнутые, и открытые лучи одинаково её порождают.

Но да, если функция распределения определяется как $F_X(x)=\mathbf{P}(X<x)$, как, очевидно, привыкли Brukvalub и provincialka (а также и я заодно), то в первую очередь нам нужна измеримость открытых лучей $(-\infty,x)$, если же функция распределения определяется с нестрогим неравенством, то начать построение $\sigma$-алгебры естественно с замкнутых лучей. Более того, никто же на запретит нам определить функцию распределения как $F_X(x)=\mathbf{P}(X>x)$ или как $F_X(x)=\mathbf{P}(X\geqslant x)$… Результат во всех случаях будет одинаковым, то есть, получится одна и та же $\sigma$-алгебра. Правда, некоторые формулы в теории вероятностей поменяются, ну и пусть себе…

[Vadim.bassin]

Спасибо, понятно, $\sigma$-алгебрa получется та же.
Другой вопрос: дискретные события, они же находятся на множестве меры 0, которое не входит в $\sigma$-алгебрy. Как с этим (или я чего-то не понимаю ) ?