Суммы кубов

[mathpath]

Andrey A в сообщении #1531413 писал(а):

К уравнению

$$ t_X^2-t_Y^2=Z^3 \eqno(7)$$

до сих пор не понимаю как подступиться.

В начале натурального ряда решения для Z похоже есть практически для всех натуральных чисел

Если брать уравнение вида

$$ t_X^3-t_Y^3=Z^y \eqno(7)$$

то я смог найти только два решения, и оба для y=2:

$$ t_4^3-t_3^3=28^2$$ $$ t_{62}^3-t_{27}^3=85995^2$$

[Andrey A]

mathpath в сообщении #1531544 писал(а):

$$ t_4^3-t_3^3=28^2$$

$$ t_{62}^3-t_{27}^3=85995^2$$

Может ли разность кубов быть квадратом? обсуждалось и даже с решением, но о кубах треугольных чисел речи не было. Любопытно, хотя немножко не в тему. Первое можно переписать еще так: $t_4^3-t_3^3=t_7^2.$

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1531413 писал(а):

$$ t_X^2-t_Y^2=Z^3 \eqno(7)$$

Решения пока не вижу, но есть повод поразмышлять. Перепишем $(7)$ так: $\left ( t_X-t_Y \right )\left ( t_X+t_Y \right )=Z^3.$ Домножая скобки левой части последовательно на $2$ и $4,$ получаем

$$\underbrace{\left ( X+Y+1 \right )}_{E}\underbrace{\left ( X-Y \right )}_{F}\underbrace{\left [ \left ( X+Y+1 \right )^2+\left ( X-Y \right )^2-1 \right ]}_{G}=\left ( 2Z \right )^3 \eqno(9)$$

Могут ли параметры $E,F,G$ иметь общий делитель $>1$? Одно из пары $E,F$ четное, другое – нечетное, поэтому $D=\gcd (E,F)$ нечетно, и это единственное ограничение. Но тогда сумма квадратов в квадратных скобках также кратна $D$, а $G$ меньше на единицу и никак не может делиться на $D.$ Остальные пары также не обязаны быть вз. просты, поскольку $E^2 \equiv 1 \mod F$ и $ F^2 \equiv 1 \mod E$ не запрещено, но $ \gcd (E,F,G) =1$ верно всегда. Описать взаимно простую тройку множителей целого куба по аналогии с целым квадратом (прячу в оффтопик чтобы не путать переменные) — казалось бы не проблема, но не тут-то было.

(Оффтоп)

$\left ( abC^2 \right ) \cdot \left ( bcA^2 \right ) \cdot \left ( caB^2 \right )=\left ( abcABC \right )^2.$

Общее решение удается получить, исходя из тождества $\left ( a_1b_1c_1 \right )\left ( a_2b_2c_2 \right )\left ( a_3b_3c_3 \right )=\left ( a_1a_2a_3 \right )\left ( b_1b_2b_3 \right )\left ( c_1c_2c_3 \right )$:
$\left ( a_1b_1c_1 \right )\left ( a_1a_2a_3 \right )^2=b_1c_1\left ( a_2a_3 \right )^2a_1^3=E.$
$\left ( a_2b_2c_2 \right )\left ( b_1b_2b_3 \right )^2=a_2c_2\left ( b_1b_3 \right )^2b_2^3=F.$
$\left ( a_3b_3c_3 \right )\left ( c_1c_2c_3 \right )^2=a_3b_3\left ( c_1c_2 \right )^2c_3^3=G.$

(Обоснование)

Если $ab^2=c^3$ и $a,b$ свободны от квадратов, то $a=b=c.$ Пусть $E_0,F_0,G_0$ – некоторое решение. Последовательное их деление на на наиболее возможные кубы и квадраты создает именно эту ситуацию.

Подставляя полученные выражения в уравнение $E^2+F^2-G=1$, имеем $(b_1c_1)^2(a_2a_3)^4a_1^6+(a_2c_2)^2(b_1b_3)^4b_2^6-a_3b_3(c_1c_2)^2c_3^3=1$ и, вынося всё что можно за скобки:

$$ ( \underbrace { b_1c_1a_2^2a_3^2a_1^3 }_{E} )^2 -\underbrace{b_3(a_3c_1^2c_3^3-a_2^2b_3^3b_1^4b_2^6)}_{M} c_2^2=1 \eqno(9')$$

$$E^2-Mc_2^2=1.$$

Такой вот изощренный Пелль. Релятивистский. Интересно, что кроме $c_2$ в левой части имеется еще один свободный параметр $a_1$. Можно бы надеяться на бесконечные серии решений, не будь он в кубе. А так вряд ли. Многое зависит еще от параметра $a_3$. Если приходится брать его $=1$, получаем под литерой $M$ разность полнократных, что также не упрощает дело. Вообще говоря, уравнение выглядит безнадежно, если честно, но кто знает...

[Andrey A]

PS Строго говоря, из $(7)$ следуют два решения Пелля – симметричные параметрически, но численно не равные. На всякий случай:

$$\left ( a_2c_2b_1^2b_3^2b_2^3 \right )^2-a_3\left ( b_3c_2^2c_3^3-b_1^2a_3^3a_2^4a_1^6 \right )c_1^2=1. \eqno(9'')$$

Для желающих помучиться приведу некоторые решения $(7)$ в терминах $a_ib_ic_i$ (они же Пелля):

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_2 & b_2 & c_2 & a_3 & b_3 & c_3\\ ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ----\\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 5 & 1 & 1 & 11 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 7 & 10 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 11\\ 3 & 1 & 1 & 1 & 8 & 1 & 7 & 1 & 66\\ 2 & 1 & 1 & 3 & 13 & 1 & 10 & 1 & 212\\ 24 & 1 & 2 & 1 & 17 & 1 & 1 & 1 & 582\\ 1 & 1 & 118 & 13 & 1 & 119 & 1 & 3 & 1\\ 12 & 1 & 1 & 1 & 19 & 1 & 5 & 1 & 726\\ 3 & 1 & 5 & 3 & 2 & 2074 & 7 & 1 & 2\\ 1 & 251 & 85 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 92\\ 1 & 1 & 101 & 1 & 2 & 51 & 47 & 5 & 2\\ 16 & 1 & 3 & 1 & 31 & 1 & 5 & 1 & 1284\\ 1 & 1 & 1 & 149 & 2 & 2 & 5 & 3 & 1726\\ 12 & 1 & 1 & 1 & 35 & 1 & 17 & 1 & 2454\\ 1 & 1 & 3 & 1 & 38 & 1 & 481 & 1 & 482\\ 1 & 1 & 3 & 1 & 40 & 1 & 533 & 1 & 534\\ ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- \end{matrix}$$

Пара $X,Y$ вычисляется по формулам $\dfrac{E+F-1}{2}=X,\dfrac{E-F-1}{2}=Y.$ Все известные мне решения Пелля – первые, за исключением $M=24$. Последовательность возможных $M$ "дырявая", как и ожидалось, но не факт что ее нельзя дополнить/заполнить. Плохо что она растет быстрее остальных параметров: $7,8,15,24,96,98,119,287,392,399,399,455,624,624,624,824,1295,...$

[scwec]

По поводу уравнения $t_X^2-t_Y^2=Z^3$.

Andrey A в сообщении #1532148 писал(а):

Решения пока не вижу

Приведу для него 1-параметрическое решение с натуральным параметром $k$.
$X= 3k(72k^3 + 84k^2 + 26k + 3)$
$Y=(3k + 1)(72k^3 - 12k^2 - 6k - 1)$
$Z=6k(3k + 1)(6k + 1)(12k^2 + 4k + 1)$

Ещё одно
$X = (6k + 1)(36k^3 + 60k^2 + 30k + 5)$
$Y=3(2k + 1)(36k^3 + 12k^2 - 2k - 1)$
$Z=6(2k + 1)(3k + 1)(6k + 1)(6k^2 + 4k + 1)$

Можно привести и ещё пару таких решений.

[Andrey A]

scwec
Браво! Зная Вас, предположу, что удалось свести эту штуку к кубической кривой.
Но почему $k$ натуральное? Подстановка $k=-1$ дает $t_{33}^2-t_{158}^2=(-540)^3$. И в основаниях треугольников отрицательные не запрещены. В первой тройке рациональные $k$ с дробной частью $\{0,5\}$ также возвращают целые решения, да и ноль не будим обижать. Удачи!