2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
Для каких целых $a,b,c,d,e,f$ выполняется $(a^3+b^3)(c^3+d^3)=e^3+f^3\ ?$

Общее решение тут не предполагается, но всё же не численное. Пары $(a,b);(c,d)$ можно считать взаимно простыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 13:31 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Andrey A в сообщении #1527280 писал(а):
Общее решение тут не предполагается, но всё же не численное
Точно не предполагается, или это очепятка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
xagiwo
Ладно, давайте общее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 14:06 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Andrey A эй, мы так не договаривались!

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
Тогда пусть будет как договаривались. Задача-то несложная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 14:22 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Andrey A ещё раз, что требуется? Найти какую-то серию решений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
xagiwo в сообщении #1527323 писал(а):
Найти какую-то серию решений?

Избегая по возможности тривиальностей типа $c=a,d=-b.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 15:18 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Ну, не знаю, насколько это тривиально, из $(a+b)(c+d) = e+f,\; (a + \zeta b) (c + \zeta d) = -(e + \zeta f),\; \zeta^3 = 1$ получается, что при $b(d-2c) = 2a(c+d)$ подойдёт $e = ac + 2ad + 2bc,  f =  2ac + ad + bc$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 16:31 
Аватара пользователя


23/12/18
250
То есть получается тривиальность типа $b = 2(c+d),\, a = d - 2c$ :-) Можно попытаться накопать ещё таких и найти какой-нибудь общий вид для них

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
Лучше так: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{d-2c}{2(c+d)}$, тогда пара вз. простых $(a,b)$ следует из несократимой дроби, а $(c,d)$ – свободные аргументы. Я таковыми брал $(a,b)$ и получил $\dfrac{c}{d}=\dfrac{2a-b}{a-2b}, \ e=ac+bd-bc, \ f=ac+bd-ad.$ Странно, что при аналогичном подходе имеем численно разные результаты. Да, есть о чем задуматься. Произвольная сумма кубов домножается на зависимую, которая единственна, и в этом неполнота. Способы обобщить имеются, конечно, но пока не выкладываю. Вдруг Вы нетривиальное что-нибудь придумаете )

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение27.07.2021, 22:53 
Аватара пользователя


23/12/18
250
А не даст ли
$\dfrac{e+\zeta f}{(a+\zeta b)(c+\zeta d)} = \dfrac{r+\zeta s}{u + \zeta v}$; $\dfrac{e+f}{(a+b)(c+d)} = \dfrac{u^2+v^2-uv}{r^2+s^2-rs}$ полное решение?

Я пробовал взять $\dfrac{e+\zeta f}{(a+\zeta b)(c+\zeta d)} = \dfrac{r}{s}$; $\dfrac{e+f}{(a+b)(c+d)} = \dfrac{s^2}{r^2}$ и получил решение
$b = s(r^3-s^3)(c+d)$; $a = s[(s^3 - r^3)c + (2r^3+s^3)d]$; $e = r[(s^3-r^3)c^2 + (s^3-r^3)d^2+(2s^3+r^3)cd]$; $f = r[(r^3-s^3)c^2 + (2s^3+r^3)d^2+(s^3-r^3)cd]$
, а дальше меня понесло куда-то не туда

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение28.07.2021, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
xagiwo в сообщении #1527369 писал(а):
... полное решение?

Это вряд ли. Что, если имеются другие отображения $(e',f')$, и сколько их еще. Задачу о четырех кубах Вика П. не считает решенной, хотя решение найдено общими усилиями на dxdy. В любом случае требует доказательств. Мои возражения следующие: Вы берете $s$ общим делителем $a,b$. Это принимается, поскольку $s$ не делит полиномиально $e,f$, но тогда и пару $c,d$ не следует считать вз. простой. Однако, если допустить $t=\gcd (c,d)$, то из Ваших формул следует также $t \mid a,b,e,f.$ Пары (a,b);(c,d) оказываются не симметричны, что не характерно для общих решений. Впрочем, этого и не требовалось, а так зачет. Условие взаимной простоты потому и добавлено.

Мое решение:
для произвольных $a,b,n\ \left ( \gcd (a,b)=1 \right )$ однозначно определена несократимая дробь $\dfrac{c}{d}=\dfrac{(2a-b)n^3+a+b}{(a-2b)n^3-a-b}$. Тогда $e=(a-b)(c-d)n-bdn;\ f=(a-b)(c-d)n-acn.$

Andrey A в сообщении #1527325 писал(а):
Избегая по возможности тривиальностей типа $c=a,d=-b.$

Случай $n=1$ как раз описывает решение с $6$-ми степенями в правой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение28.07.2021, 06:22 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Andrey A в сообщении #1527382 писал(а):
Мое решение: …
Что-то подобное получится, если взять у меня $s = 1$.
Andrey A в сообщении #1527382 писал(а):
Это вряд ли. Что, если имеются другие отображения $(e',f')$, и сколько их еще. Задачу о четырех кубах Вика П. не считает решенной, хотя решение найдено общими усилиями на dxdy. В любом случае требует доказательств. Мои возражения следующие: Вы берете $s$ общим делителем $a,b$. Это принимается, поскольку $s$ не делит полиномиально $e,f$, но тогда и пару $c,d$ не следует считать вз. простой. Однако, если допустить $t=\gcd (c,d)$, то из Ваших формул следует также $t \mid a,b,e,f.$ Пары (a,b);(c,d) оказываются не симметричны, что не характерно для общих решений. Впрочем, этого и не требовалось, а так зачет. Условие взаимной простоты потому и добавлено.
Тут я имел в виду полное решение в рациональных. Отношение $\frac{e+\zeta f}{(a+\zeta b)(c+\zeta d)}$ всё равно чему-то да равно, вот я и выписал, чему. Это даст все рациональные решения, правда в настолько отвратительной форме, что я даже не собираюсь продолжать.
А то, что идёт двумя строчками ниже, на полноту и не претендует.

-- 28.07.2021, 06:25 --

Хм, я тут понял, что при $s \neq 1$ может случиться так, что взаимно простых $(a,b)$ моё решение давать не будет даже после домножения $(a, b, e, f)$ на одно и то же число

-- 28.07.2021, 06:39 --

При $u + \zeta v = 1$ получаем $e = r(ac-bd) + s(bd-ad-bc),\, f = r(ad+bc-bd) + s(ac-ad-bc)$ и условие $(r^2 + s^2 - rs)(e+f) = (a+b)(c+d)$. Если условие представить в виде $\frac{c}{d} = \frac{f(a)}{g(b)}$ это даст серию решений, причём, подозреваю, Ваше решение будет её частным случаем удивительно, но похоже, что нет. А если подставлять нецелые $r, s$ то получатся все рациональные решения

-- 28.07.2021, 06:49 --

Есть ли здесь принципиально иные подходы, не требующие рассматривать отношение $\frac{e+\zeta f}{(a+\zeta b)(c+\zeta d)}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение28.07.2021, 08:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
xagiwo в сообщении #1527386 писал(а):
... принципиально иные подходы

Не знаю. Думаю, что общее решение в рациональных числах предполагает наличие обратной связи. То есть, имея на руках некоторое решение, мы должны найти все свободные переменные, из которых оно получено и указать способ их нахождения, т.е. решить обратную задачу. В теории эллиптических кривых общее решение с частным не спутаешь, а для логических построений вот такой маячок. Посмотрите тему о четырех кубах. Там Shadow находит удачную схему, из которой удается получить общее решение в целых числах. Но применительно к данной задаче... что-то сомневаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение28.07.2021, 10:14 
Аватара пользователя


23/12/18
250
Andrey A
Ну, в решении из последнего сообщения обратная связь есть (в рациональных), ибо
xagiwo в сообщении #1527386 писал(а):
Отношение $\frac{e+\zeta f}{(a+\zeta b)(c+\zeta d)}$ всё равно чему-то да равно
Все целые решения из этого рационального вроде получить можно: мы фиксируем произвольные целые $c, d$ и рациональные $r, s$ и получаем четвёрку $(a,b,e,f)$ с точностью до пропорциональности, после чего берём минимальное целое решение. Вроде не хуже того, что Вы с Shadow сделали в теме о четырёх кубах, разве что громоздко. А ещё $a,b$ могут получиться не взаимно простыми

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group