Итак, разделим почленно

на

Соответствующее уравнение в рациональных числах имеет полное

-параметрическое решение:

С другой стороны, если для произвольного рационального аргумента

находятся

такие, что

видим:

. Домножая последнее на

, получаем в правой части рациональный квадрат, который не может не быть целым числом, ведь в левой части у нас разность целых квадратов. Отсюда определено

, и задача полностью сводится к уравнению

, которое можно записать еще так:

Некоторые его решения следуют из разложения

: если дробь

соответствует ур. Пелля, то дробь

возвращает нужные пары

. Решений как минимум две бесконечные серии, но могут быть и другие, хотя бы потому что пара

не обязана быть взаимно простой. Подробней об этом было
здесь. Пост написан давно и, видимо, несколько сумбурен. Но уж как есть.
К уравнению
до сих пор не понимаю как подступиться. Известно, что существуют рациональные

такие, что

. Последняя система эквивалентна

. Для некоторого решения

пара

определена однозначно:
![$$\sqrt[3]{\dfrac{(t_{X_0}+t_{Y_0})^2}{t_{X_0}-t_{Y_0}}}=\alpha_0,\ \sqrt[3]{\dfrac{(t_{X_0}-t_{Y_0})^2}{t_{X_0}+t_{Y_0}}}=\beta_0 \eqno(8)$$ $$\sqrt[3]{\dfrac{(t_{X_0}+t_{Y_0})^2}{t_{X_0}-t_{Y_0}}}=\alpha_0,\ \sqrt[3]{\dfrac{(t_{X_0}-t_{Y_0})^2}{t_{X_0}+t_{Y_0}}}=\beta_0 \eqno(8)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/e/30eb62a84352ad5e9bbcff40be30a4c582.png)
Любое из этих равенств также эквивалентно

, и одно следует из другого,

как следствие. Просто повод для размышлений. Я тут даже не уверен в конечности/бесконечности числа решений.