2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение09.01.2020, 22:48 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
Пусть $l,r,k \in N,\trxt{НОД}\ (l,r)=1$

Может ли разность кубов двух натуральных взаимно простых чисел быть квадратом натурального числа $l^3-r^3=k^2$ и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение09.01.2020, 23:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1242
приходит весна?
serval в сообщении #1434191 писал(а):
и почему?

Если может, то очевидно, можно привести какой-нибудь пример и на этом остановиться. Разве нет? Пример можно состряпать, заставив компьютер перебрать первую пару сотен натуральных чисел. Сложнее будет, если примера найти не получится.

-- 09.01.2020, 23:29 --

Если бы в условии допускались бы любые целые числа, а не только натуральные, то напрашивается очевидное решение: $$1^3-0^3=1^2$$
:lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение09.01.2020, 23:47 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва
Ответ дан в пункте Б) — https://reshimvse.com/zadacha.php?id=11521 (не проверял).
Гугл рулит. ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение09.01.2020, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5100
Москва
Dmitriy40 в сообщении #1434210 писал(а):
Рассуждение там как минимум неполное, из $(l - r)(l^2 - lr + r^2) = c^2$ делают вывод что $|l - r| = c$ без дополнительных обоснований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение09.01.2020, 23:56 
Аватара пользователя


26/05/12
1242
приходит весна?
У топикстартера требование взаимной простоты возводимых в квадрат чисел. Так что решение из интернетов не пойдёт. Хотя начало там хорошее. Я тоже начал похожим образом, хотя потом перешёл к перебору в лоб по новым переменным. Но даже с перебором в лоб требование взаимной простоты везде боков вылазит.

-- 10.01.2020, 00:00 --

mihaild в сообщении #1434211 писал(а):
...без дополнительных обоснований.

Тот вывод совсем неверный, так что никаких обоснований не может быть. Можно представить $c=dg$ и $c^2$ разбить на множители совсем по другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5100
Москва
Собственно простой перебор обнаруживает в первой сотне два решения (и еще кучу с не взаимно простыми $l$ и $r$). Интересно, можно ли это решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 00:59 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
То есть, задача нетривиальна и не имеет общеизвестного решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 01:19 
Аватара пользователя


26/05/12
1242
приходит весна?
mihaild в сообщении #1434221 писал(а):
Интересно, можно ли это решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

Все решения, кроме $a=b+1$, что я нашёл, не удовлетворяют условию взаимной простоты. Те же, что удовлетворяют, образуют довольно простую рекуррентную последовательность.

serval в сообщении #1434222 писал(а):
задача нетривиальна

Смотря что вы подразумеваете под тривиальностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
mihaild в сообщении #1434221 писал(а):
... решить аналитически какими-то не очень сложными методами.

Например так: $\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{1}{1},\dfrac{15}{13},...,\dfrac{p_{n+1}=14p_n-p_{n-1}}{q_{n+1}=14q_n-q_{n-1}},...$ Тут $\left ( \dfrac{p+1}{2} \right )^3-\left ( \dfrac{p-1}{2} \right )^3=q^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5100
Москва
B@R5uk в сообщении #1434226 писал(а):
Все решения, кроме $a=b+1$, что я нашёл, не удовлетворяют условию взаимной простоты
В пределах сотни есть два взаимно простых решения, одно с разницей $1$, другое с большей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 02:16 
Аватара пользователя


26/05/12
1242
приходит весна?
mihaild в сообщении #1434232 писал(а):
другое с большей.

$\left(57,38\right)$ ? Оба числа делятся на 19.

-- 10.01.2020, 02:36 --

mihaild, окей, вы меня убедили. Предложенное мною ранее разложение:
B@R5uk в сообщении #1434212 писал(а):
Можно представить $c=dg$ и $c^2$ разбить на множители совсем по другому.

так же не является общим. По этой причине я потерял пару решений до сотни. Но тогда искомых решений три в пределах сотни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 02:46 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва
А у меня три решения, для взаимно простых чисел под кубом до 100. Одно из которых даже до 10, его пожалуй можно найти и "в уме".

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 03:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6316
Del.
(что-то пошло не так :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 03:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
Задача распадается на частные случаи, но если брать фиксированным аргументом $l-r$, ситуация конкретизируется. К примеру $l-r=2$. Тогда $l^2+lr+r^2=2m^2$. Умножая на $4$, получаем $(l-r)^2+3(l+r)^2=8m^2=4+3(l+r)^2$, значит $l+r$ четное. Имеем уравнение $2m^2-3\left ( \dfrac{l+r}{2} \right )^2=1$ неразрешимое по $\mod 8$. Как-то так. Отдельный случай $l-r=3$. Тут единственное решение $2^3-(-1)^3=3^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение10.01.2020, 03:17 
Заслуженный участник


20/08/14
8538
Россия, Москва
Значение $r=1727$ даёт аж три решения, с разными $l$ (взаимно простыми с $r$). С $l$ такого не обнаружил.
Ну и разница есть довольно приличная, например $13009^3-334^3=1483755^2$ или $543026^3-1151^3=400157475^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group