2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение14.09.2021, 08:45 


16/08/19
68
Andrey A в сообщении #1531413 писал(а):

К уравнению $$ t_X^2-t_Y^2=Z^3 \eqno(7)$$
до сих пор не понимаю как подступиться.


В начале натурального ряда решения для Z похоже есть практически для всех натуральных чисел

Если брать уравнение вида
$$ t_X^3-t_Y^3=Z^y \eqno(7)$$

то я смог найти только два решения, и оба для y=2:
$$ t_4^3-t_3^3=28^2$$
$$ t_{62}^3-t_{27}^3=85995^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение14.09.2021, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
mathpath в сообщении #1531544 писал(а):
$$ t_4^3-t_3^3=28^2$$ $$ t_{62}^3-t_{27}^3=85995^2$$

Может ли разность кубов быть квадратом? обсуждалось и даже с решением, но о кубах треугольных чисел речи не было. Любопытно, хотя немножко не в тему. Первое можно переписать еще так: $t_4^3-t_3^3=t_7^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение20.09.2021, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1531413 писал(а):
$$ t_X^2-t_Y^2=Z^3 \eqno(7)$$

Решения пока не вижу, но есть повод поразмышлять. Перепишем $(7)$ так: $\left ( t_X-t_Y \right )\left ( t_X+t_Y  \right )=Z^3.$ Домножая скобки левой части последовательно на $2$ и $4,$ получаем $$\underbrace{\left ( X+Y+1 \right )}_{E}\underbrace{\left ( X-Y \right )}_{F}\underbrace{\left [ \left ( X+Y+1 \right )^2+\left ( X-Y \right )^2-1 \right ]}_{G}=\left ( 2Z \right )^3 \eqno(9)$$ Могут ли параметры $E,F,G$ иметь общий делитель $>1$? Одно из пары $E,F$ четное, другое – нечетное, поэтому $D=\gcd (E,F)$ нечетно, и это единственное ограничение. Но тогда сумма квадратов в квадратных скобках также кратна $D$, а $G$ меньше на единицу и никак не может делиться на $D.$ Остальные пары также не обязаны быть вз. просты, поскольку $E^2 \equiv 1 \mod F$ и $ F^2 \equiv 1 \mod E$ не запрещено, но $ \gcd (E,F,G) =1$ верно всегда. Описать взаимно простую тройку множителей целого куба по аналогии с целым квадратом (прячу в оффтопик чтобы не путать переменные) — казалось бы не проблема, но не тут-то было.

(Оффтоп)

$\left ( abC^2 \right ) \cdot \left ( bcA^2 \right ) \cdot \left ( caB^2 \right )=\left ( abcABC \right )^2.$
Общее решение удается получить, исходя из тождества $\left ( a_1b_1c_1 \right )\left ( a_2b_2c_2 \right )\left ( a_3b_3c_3 \right )=\left ( a_1a_2a_3 \right )\left ( b_1b_2b_3 \right )\left ( c_1c_2c_3 \right )$:
$\left ( a_1b_1c_1 \right )\left ( a_1a_2a_3 \right )^2=b_1c_1\left ( a_2a_3 \right )^2a_1^3=E.$
$\left ( a_2b_2c_2 \right )\left ( b_1b_2b_3 \right )^2=a_2c_2\left ( b_1b_3 \right )^2b_2^3=F.$
$\left ( a_3b_3c_3 \right )\left ( c_1c_2c_3 \right )^2=a_3b_3\left ( c_1c_2 \right )^2c_3^3=G.$

(Обоснование)

Если $ab^2=c^3$ и $a,b$ свободны от квадратов, то $a=b=c.$ Пусть $E_0,F_0,G_0$ – некоторое решение. Последовательное их деление на на наиболее возможные кубы и квадраты создает именно эту ситуацию.
Подставляя полученные выражения в уравнение $E^2+F^2-G=1$, имеем $(b_1c_1)^2(a_2a_3)^4a_1^6+(a_2c_2)^2(b_1b_3)^4b_2^6-a_3b_3(c_1c_2)^2c_3^3=1$ и, вынося всё что можно за скобки:

$$ ( \underbrace { b_1c_1a_2^2a_3^2a_1^3 }_{E} )^2 -\underbrace{b_3(a_3c_1^2c_3^3-a_2^2b_3^3b_1^4b_2^6)}_{M} c_2^2=1 \eqno(9')$$ $$E^2-Mc_2^2=1.$$
Такой вот изощренный Пелль. Релятивистский. Интересно, что кроме $c_2$ в левой части имеется еще один свободный параметр $a_1$. Можно бы надеяться на бесконечные серии решений, не будь он в кубе. А так вряд ли. Многое зависит еще от параметра $a_3$. Если приходится брать его $=1$, получаем под литерой $M$ разность полнократных, что также не упрощает дело. Вообще говоря, уравнение выглядит безнадежно, если честно, но кто знает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение20.09.2021, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
PS Строго говоря, из $(7)$ следуют два решения Пелля – симметричные параметрически, но численно не равные. На всякий случай: $$\left ( a_2c_2b_1^2b_3^2b_2^3 \right )^2-a_3\left ( b_3c_2^2c_3^3-b_1^2a_3^3a_2^4a_1^6 \right )c_1^2=1. \eqno(9'')$$ Для желающих помучиться приведу некоторые решения $(7)$ в терминах $a_ib_ic_i$ (они же Пелля):$$\begin{matrix}
a_1 & b_1 & c_1 & a_2 & b_2 & c_2 & a_3 & b_3 & c_3\\ 
---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ----\\ 
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 2\\ 
2 & 3 & 5 & 1 & 1 & 11 & 1 & 1 & 2\\ 
1 & 7 & 10 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 11\\ 
3 & 1 & 1 & 1 & 8 & 1 & 7 & 1 & 66\\ 
2 & 1 & 1 & 3 & 13 & 1 & 10 & 1 & 212\\ 
24 & 1 & 2 & 1 & 17 & 1 & 1 & 1 & 582\\ 
1 & 1 & 118 & 13 & 1 & 119 & 1 & 3 & 1\\ 
12 & 1 & 1 & 1 & 19 & 1 & 5 & 1 & 726\\
3 & 1 & 5 & 3 & 2 & 2074 & 7 & 1 & 2\\
1 & 251 & 85 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 92\\
1 & 1 & 101 & 1 & 2 & 51 & 47 & 5 & 2\\
16 & 1 & 3 & 1 & 31 & 1 & 5 & 1 & 1284\\
1 & 1 & 1 & 149 & 2 & 2 & 5 & 3 & 1726\\
12 & 1 & 1 & 1 & 35 & 1 & 17 & 1 & 2454\\
1 & 1 & 3 & 1 & 38 & 1 & 481 & 1 & 482\\
1 & 1 & 3 & 1 & 40 & 1 & 533 & 1 & 534\\
---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ---- & ----
\end{matrix}$$

Пара $X,Y$ вычисляется по формулам $\dfrac{E+F-1}{2}=X,\dfrac{E-F-1}{2}=Y.$ Все известные мне решения Пелля – первые, за исключением $M=24$. Последовательность возможных $M$ "дырявая", как и ожидалось, но не факт что ее нельзя дополнить/заполнить. Плохо что она растет быстрее остальных параметров: $7,8,15,24,96,98,119,287,392,399,399,455,624,624,624,824,1295,...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение05.10.2021, 13:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2048
По поводу уравнения $t_X^2-t_Y^2=Z^3$.
Andrey A в сообщении #1532148 писал(а):
Решения пока не вижу

Приведу для него 1-параметрическое решение с натуральным параметром $k$.
$X= 3k(72k^3 + 84k^2 + 26k + 3)$
$Y=(3k + 1)(72k^3 - 12k^2 - 6k - 1)$
$Z=6k(3k + 1)(6k + 1)(12k^2 + 4k + 1)$

Ещё одно
$X = (6k + 1)(36k^3 + 60k^2 + 30k + 5)$
$Y=3(2k + 1)(36k^3 + 12k^2 - 2k - 1)$
$Z=6(2k + 1)(3k + 1)(6k + 1)(6k^2 + 4k + 1)$

Можно привести и ещё пару таких решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Суммы кубов
Сообщение05.10.2021, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1271
Санкт-Петербург
scwec
Браво! Зная Вас, предположу, что удалось свести эту штуку к кубической кривой.
Но почему $k$ натуральное? Подстановка $k=-1$ дает $t_{33}^2-t_{158}^2=(-540)^3$. И в основаниях треугольников отрицательные не запрещены. В первой тройке рациональные $k$ с дробной частью $\{0,5\}$ также возвращают целые решения, да и ноль не будим обижать. Удачи!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group