2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.08.2021, 13:58 


23/01/07
3343
Новосибирск
Составил формулу приблизительного расчета количества простых-близнецов до $n$:
$$\pi_{2}(n)=\dfrac {1,319\cdot n}{(\ln {n}-\frac {e^3+1}{e^3})^2}$$
где $n$ - натуральное число.

Хотелось бы узнать от специалистов, владеющих вычислительными методами, велика ли погрешность формулы на больших числах $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.08.2021, 15:59 
Заслуженный участник


20/08/14
8414
Россия, Москва
Отношение числа по этой формуле к точному значению $\pi_2(n)$ из A000882:
Используется синтаксис Text
3!: 14.375420
5!: 1.789160
7!: 0.999948
11!: 0.985096
13!: 0.986999
17!: 0.993140
19!: 0.984737
23!: 0.994316
29!: 0.996078
31!: 0.997523
37!: 0.998398
41!: 0.998928
43!: 0.999257
47!: 0.999452

Для достаточно больших $n$ дробью в знаменателе (которая равна $1+e^{-3}\approx 1.049787$) можно пренебречь и получится классическое $2C_2\frac{n}{\ln^2(n)}$ с константой простых-близнецов. Соответственно вопрос о величине погрешности является переформулировкой вопроса о точности первой гипотезы Харди — Литтлвуда. Можно было сразу так и спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение08.08.2021, 20:20 


23/01/07
3343
Новосибирск
Dmitriy40 в сообщении #1528328 писал(а):
Для достаточно больших $n$ дробью в знаменателе (которая равна $1+e^{-3}\approx 1.049787$) можно пренебречь и получится классическое $2C_2\frac{n}{\ln^2(n)}$ с константой простых-близнецов.

Та формула, которую Вы указали, на мой взгляд, обладает некоторым недостатком. Как мне видится, если кривизна ее графика не очень точно приближена к кривой действительного распределения пар простых-близнецов, то при любой константе кривые рано или поздно все равно разойдутся (может, и с пересечением друг с другом). Не буду утверждать, что оптимально приблизил форму своей кривой за счет дроби, но по крайней мере улучшил... что косвенно подтверждают Ваши расчеты (как Вы наверное поняли, я искал максимально приближенную "нижнюю границу" распределения пар простых-близнецов).
Кроме того, такая дробь также "улучшает" и классическую формулу количества самих простых чисел: $$\pi(n) = \dfrac {n}{\ln{n}-(1+e^{-3})}$$
(т.е. коэффициент $B=1,08366$ в формуле Лежандра, на мой вгляд, завышен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение09.08.2021, 01:28 
Заслуженный участник


20/08/14
8414
Россия, Москва
Эти (не ваши) формулы интересны на бесконечности (при достаточно больших $n$), а там это ваше "улучшение" исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение09.08.2021, 10:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Батороев в сообщении #1528354 писал(а):
Кроме того, такая дробь также "улучшает" и классическую формулу количества самих простых чисел: $$\pi(n) = \dfrac {n}{\ln{n}-(1+e^{-3})}$$
(т.е. коэффициент $B=1,08366$ в формуле Лежандра, на мой вгляд, завышен).

Батороев, вот Вы сколько лет на форуме, но так и не выучили, что для $\pi (x)$ асимптотически наилучшим приближением является
$$\pi(x)\sim\mathop{Li}(x)=\int\limits_2^{x}\frac{dt}{\ln t}\sim\frac{0!x}{\ln x} + \frac{1!x}{\ln^2 x} + \frac{2!x}{\ln^3 x} + ...$$
(ряд получается интегрированием по частям)
С точностью
$$|\pi(x)-\mathop{Li}(x)|=O(\sqrt{x}\ln^2 x)$$
при условии истинности гипотезы Римана.
Ну как так-то!? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение13.09.2021, 16:09 


26/07/21
10
This question is mathematically wrong. Check up to the first million on your computer. Furthermore, this question is incomplete from its end, the structure of the question asked is not well defined. In the limit of a fixed primary, the primes are distributed quite regularly. This query is totally wrong.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение21.09.2021, 16:13 


10/03/16
2024
Aeroport
Harris Starks в сообщении #1531482 писал(а):
the structure of the question asked is not well defined


AI can not parse this question. Батороев, please rearrange some words in your starting message and try to ask your question again :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение23.09.2021, 09:36 


23/01/07
3343
Новосибирск
Dmitriy40 в сообщении #1528374 писал(а):
Эти (не ваши) формулы интересны на бесконечности (при достаточно больших $n$), а там это ваше "улучшение" исчезает.

Под словами "рано или поздно" я и подразумевал бесконечность.
Может, и мое "улучшение" исчезнет, но кое-какую "пищу для размышлений" дать успеет... быть может. :-) Я записал свою формулу не для того, чтобы "потрясть мир", а всего лишь для того, чтобы кто-то помог мне определить степень приближения, что Вы с успехом и сделали. Спасибо в очередной раз!
Sonic86 в сообщении #1528381 писал(а):
Батороев, вот Вы сколько лет на форуме, но так и не выучили, что для $\pi (x)$ асимптотически наилучшим приближением является

Я в курсе, что в расчетах числа простых чисел математики продвинулись далеко и не собирался в этой области даже копаться, а привел вариант "классической" формулы лишь под рубрикой "кстати".
ozheredov в сообщении #1532244 писал(а):
AI can not parse this question. Батороев, please rearrange some words in your starting message and try to ask your question again

Хорошо. Но для того, чтобы этот ИИ правильно разобрался, для начала мне нужна структура его самого. А то без Вас я ничего из его слов не понял. :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 248 ]  На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group