Предел для одномерной потенциальной ямы

[amon]

Тут мне недавно вопрос задали, на который я в учебниках ответа либо не нашел, либо какая-то, на мой взгляд, белиберда написана. Пришлось самому придумывать. Итак, на столе у экспериментатора в термостатированном (поддерживающим постоянную температуру) дьюаре находится одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. К яме пришпандорен винтик, позволяющий менять ее ширину $L.$ В яме болтается частица массы $m,$ над которой экспериментатор намерен проводить разнообразные эксперименты. Требуется оценить, при каком $L$ экспериментатор перестанет отличать частицу в яме от частицы на прямой (одномерной свободной частицы).

[DimaM]

Так трудно понять, что имелось в виду. Можно, например, приравнять разницу энергий соседних уровней к $kT$, но закавыка в том, что эта разница растет с номером уровня.

[amon]

DimaM в сообщении #1529606 писал(а):

Можно, например, приравнять разницу энергий соседних уровней к $kT$, но закавыка в том, что эта разница растет с номером уровня.

Именно это и имелось. Казалось бы, ответ - ни при каких $L,$ поскольку всегда можно измерить, например, разность энергий высоко возбужденных уровней. Но мне кажется, что этот ответ неправильный.

[realeugene]

Ну да, вероятность обнаружить частицу на уровне гораздо выше $kT$ по Больцману убывает экспоненциально быстро, так что, и измерить разность энергии достаточно высоких уровней всё равно не получится. Так что доступные уровни можно обрезать несколькими десятками $kT$ для любой практической экспериментальной точности.

[amon]

Да, забыл предупредить, задачка, IMHO, не школьная, и даже не перво-второкурсная.

[DimaM]

Можно еще попробовать теплоемкость посчитать и посмотреть, как она стремится к $k/2$ (если вообще стремится).

[amon]

DimaM в сообщении #1529756 писал(а):

Можно еще попробовать теплоемкость посчитать

А это уже "тепло", только надо что-то более общее, из чего теплоемкость и все прочее "само" получится.

[DimaM]

amon в сообщении #1529761 писал(а):

А это уже "тепло", только надо что-то более общее, из чего теплоемкость и все прочее "само" получится.

Статсумму.

[amon]

DimaM в сообщении #1529764 писал(а):

Статсумму.

Угу. Теперь осталось только формулку написать типа $L>\dots$

[realeugene]

Всё-таки попробую взять эту задачу без статсуммы.

Обрежем рассматриваемые уровни уровнем с номером $n$ двумя условиями:

1. $E_n=\frac{\gamma n^2}{L^2} \ge NkT$, где $N$ - параметр обрезания рассматриваемых уровней, равный нескольким десяткам
2.$\Delta E_n \approx \frac{2\gamma n}{L^2} \le kT$

Тогда $E_n/\Delta E_n = \frac n 2 \ge N$, откуда $ n \ge 2N$, и из неравенства для $\Delta E_n$ получаем $L \ge \sqrt{\frac{4\gamma N}{kT}}=\sqrt{\frac{2\pi^2 \hbar^2N}{mkT}}$.

[amon]

realeugene в сообщении #1529782 писал(а):

где $N$ - параметр обрезания

Со статсуммой без обрезания получается.

[realeugene]

amon в сообщении #1529786 писал(а):

Со статсуммой без обрезания получается.

Как при этом учитывается доступная экспериментальная точность?

Параметр обрезания, выбранный в диапазоне 10-100, приводит к всего трёхкратной погрешности $L$. Плюс ещё можно ввести коэффициент во второе неравенство, ограничение на $L$ будет ему пропорционально. Но с точностью до порядка оценка мне кажется адекватной, точнее уже нужно смотреть, как именно и что именно измеряют.

[amon]

realeugene в сообщении #1529790 писал(а):

Как при этом учитывается доступная экспериментальная точность?

Квантовая механика не запрещает измерить что-нибудь одно (или набор взаимно коммутирующих величин) с произвольной точностью. Однако, как учит уважаемый physicsworks (и не он один), всякое измерение в квантовой механике предполагает многократность и усреднение. Поэтому, процедура измерения всегда содержит усреднение по ансамблю, даже если у нас есть всего одна частица в яме. При конечных температурах это означает, что мы производим стандартное усреднение, т.е. нам не избежать статсуммы, но зная статсумму мы знаем все.

[realeugene]

amon в сообщении #1529791 писал(а):

Квантовая механика не запрещает измерить что-нибудь одно (или набор взаимно коммутирующих величин) с произвольной точностью.

Да, но цель-то не суметь отличить в ходе конкретного изменения дискретный спектр от непрерывного распределения по энергии.

Зная статсумму мы, конечно, знаем всё про саму систему, но не про наши экспериментальные возможности.

[amon]

realeugene в сообщении #1529792 писал(а):

Да, но цель-то не суметь отличить в ходе конкретного изменения

Однако, не сказано какого.