2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение25.08.2021, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Тут мне недавно вопрос задали, на который я в учебниках ответа либо не нашел, либо какая-то, на мой взгляд, белиберда написана. Пришлось самому придумывать. Итак, на столе у экспериментатора в термостатированном (поддерживающим постоянную температуру) дьюаре находится одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. К яме пришпандорен винтик, позволяющий менять ее ширину $L.$ В яме болтается частица массы $m,$ над которой экспериментатор намерен проводить разнообразные эксперименты. Требуется оценить, при каком $L$ экспериментатор перестанет отличать частицу в яме от частицы на прямой (одномерной свободной частицы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение25.08.2021, 14:53 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Так трудно понять, что имелось в виду. Можно, например, приравнять разницу энергий соседних уровней к $kT$, но закавыка в том, что эта разница растет с номером уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение25.08.2021, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
DimaM в сообщении #1529606 писал(а):
Можно, например, приравнять разницу энергий соседних уровней к $kT$, но закавыка в том, что эта разница растет с номером уровня.
Именно это и имелось. Казалось бы, ответ - ни при каких $L,$ поскольку всегда можно измерить, например, разность энергий высоко возбужденных уровней. Но мне кажется, что этот ответ неправильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение25.08.2021, 15:13 


27/08/16
8581
Ну да, вероятность обнаружить частицу на уровне гораздо выше $kT$ по Больцману убывает экспоненциально быстро, так что, и измерить разность энергии достаточно высоких уровней всё равно не получится. Так что доступные уровни можно обрезать несколькими десятками $kT$ для любой практической экспериментальной точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение25.08.2021, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Да, забыл предупредить, задачка, IMHO, не школьная, и даже не перво-второкурсная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 11:53 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Можно еще попробовать теплоемкость посчитать и посмотреть, как она стремится к $k/2$ (если вообще стремится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
DimaM в сообщении #1529756 писал(а):
Можно еще попробовать теплоемкость посчитать
А это уже "тепло", только надо что-то более общее, из чего теплоемкость и все прочее "само" получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 13:59 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
amon в сообщении #1529761 писал(а):
А это уже "тепло", только надо что-то более общее, из чего теплоемкость и все прочее "само" получится.

Статсумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
DimaM в сообщении #1529764 писал(а):
Статсумму.
Угу. Теперь осталось только формулку написать типа $L>\dots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 16:59 


27/08/16
8581
Всё-таки попробую взять эту задачу без статсуммы.

Обрежем рассматриваемые уровни уровнем с номером $n$ двумя условиями:

1. $E_n=\frac{\gamma n^2}{L^2} \ge NkT$, где $N$ - параметр обрезания рассматриваемых уровней, равный нескольким десяткам
2.$\Delta E_n \approx \frac{2\gamma n}{L^2} \le kT$

Тогда $E_n/\Delta E_n = \frac n 2 \ge N$, откуда $ n \ge 2N$, и из неравенства для $\Delta E_n$ получаем $L \ge \sqrt{\frac{4\gamma N}{kT}}=\sqrt{\frac{2\pi^2 \hbar^2N}{mkT}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1529782 писал(а):
где $N$ - параметр обрезания
Со статсуммой без обрезания получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 18:25 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1529786 писал(а):
Со статсуммой без обрезания получается.
Как при этом учитывается доступная экспериментальная точность?

Параметр обрезания, выбранный в диапазоне 10-100, приводит к всего трёхкратной погрешности $L$. Плюс ещё можно ввести коэффициент во второе неравенство, ограничение на $L$ будет ему пропорционально. Но с точностью до порядка оценка мне кажется адекватной, точнее уже нужно смотреть, как именно и что именно измеряют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1529790 писал(а):
Как при этом учитывается доступная экспериментальная точность?
Квантовая механика не запрещает измерить что-нибудь одно (или набор взаимно коммутирующих величин) с произвольной точностью. Однако, как учит уважаемый physicsworks (и не он один), всякое измерение в квантовой механике предполагает многократность и усреднение. Поэтому, процедура измерения всегда содержит усреднение по ансамблю, даже если у нас есть всего одна частица в яме. При конечных температурах это означает, что мы производим стандартное усреднение, т.е. нам не избежать статсуммы, но зная статсумму мы знаем все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 19:01 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1529791 писал(а):
Квантовая механика не запрещает измерить что-нибудь одно (или набор взаимно коммутирующих величин) с произвольной точностью.
Да, но цель-то не суметь отличить в ходе конкретного изменения дискретный спектр от непрерывного распределения по энергии.

Зная статсумму мы, конечно, знаем всё про саму систему, но не про наши экспериментальные возможности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1529792 писал(а):
Да, но цель-то не суметь отличить в ходе конкретного изменения
Однако, не сказано какого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group