Видимо, пора ответ писать. Напоминаю, что требовалось
оценить ширину ямы, при которой ее станет невозможно отличить от непрерывной прямой. (За числовыми коэффициентами порядка единицы не очень слежу, поэтому
![$\sim$ $\sim$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/3/39336a2ffd276833bc2af414ed460bfa82.png)
вместо знака равенства.)
Пусть у нас есть бесконечно глубокая потенциальная яма шириной
![$L.$ $L.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/3/1131bc80ce88287421c58ff44385b21882.png)
Казалось бы, при расширении ямы
![$L\to\infty$ $L\to\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84d77b604ffed5068e6b820a3451e07282.png)
мы должны плавно перейти к прямой, но хренушки. Состояниями в яме будут
![$$\Psi_n(x)=A\sin\frac{\pi n x}{L},\;\text{где}\; n=1,2,\dots$$ $$\Psi_n(x)=A\sin\frac{\pi n x}{L},\;\text{где}\; n=1,2,\dots$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/3/5c3fcd028de015af8c68ad927d57242d82.png)
Соответствующие энергии в единицах
![$\hbar=m=1$ $\hbar=m=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/9/93906a40ac8a8952606a9819b229feb482.png)
будут, естественно,
![$$E_n=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2.$$ $$E_n=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/9/ff9ec8ac0f06b09ba702be07db27a1fe82.png)
Из этих состояний довольно сложно построить плоские волны с непрерывным спектром независимо от величины
Для разрешения сий великой проблемы можно сообразить, что свойства всего определяются вовсе не квантовой механикой, а термодинамикой (почему - написано выше). Значит, если при каких-нибудь
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
статсуммы частиц в яме и без оной сравняются, то система перестала чувствовать стенки, что бы там не происходило с волновыми функциями. В этом смысле эта оценка похожа на оценку уважаемого
chislo_avogadro. В статсумму, как известно, волновые функции вообще не входят.
Итак, для частицы в яме
![$$Z\sim\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\beta\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2\right)$$ $$Z\sim\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\beta\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2\right)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/4/3f4d89d41c9364721e007b770335cf1a82.png)
Обозначив
![$$a=\beta\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\;a\to0\;\text{при}\;L\to\infty,$$ $$a=\beta\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\;a\to0\;\text{при}\;L\to\infty,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/d/68d5e58866ce038e5dcf16f5aa4f4d9382.png)
получим
![$$Z\sim\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a}),$$ $$Z\sim\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a}),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/e/6ee64a80158927d13d19dc65b5d6782082.png)
где
![$\operatorname{\theta}_3(u,q)$ $\operatorname{\theta}_3(u,q)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/e/edec50a8ab068bbd12db670a194327b282.png)
-- эллиптическая тета-функция третьего рода.
Нас интересует, как ведет себя
![$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/5/c75f0416472f8a080d921acf50617d1b82.png)
при
![$a\to0$ $a\to0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/9/f69da1aa895b4c3e926133beb2a5bbec82.png)
сверху. В эту сторону переход в учебниках написан - надо перейти от суммирования к интегрированию. Для особо въедливых с помощью бубна и Mathematic'и можно получить разложение
![$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/5/c75f0416472f8a080d921acf50617d1b82.png)
(первый член совпадет с результатом интегрирования, что не удивительно):
![$$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})\sim\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\text{при}\;a\to0.$$ $$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})\sim\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\text{при}\;a\to0.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/5/f05f3211d9258c1961cdea8ee128354682.png)
Наконец ответ вопрос - когда происходит переход из ямы в прямую (мне лень было оценки делать, проще картинку нарисовать):
Вложение:
2to3.png [ 6.99 Кб | Просмотров: 2949 ]
График
![$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/5/c75f0416472f8a080d921acf50617d1b82.png)
(синяя линия) и ее асимптотика вблизи нуля (желтая линия).
Из картинки видно , что вплоть до точки
![$a=1,$ $a=1,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/f/c3f1b8bd45e13d9e4a248cf5fba8412982.png)
а может и до чуть больших
![$a,$ $a,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/2/77257d3ff2a8ab015bf0d2920e9a5d8582.png)
система ведет себя как частица на прямой.
В размерных единицах
![$$a=\left(\frac{\pi\hbar}{L}\right)^2\frac{1}{2mkT}.$$ $$a=\left(\frac{\pi\hbar}{L}\right)^2\frac{1}{2mkT}.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c840d0478664a8dc92ecf1d910b13f82.png)
Условие
![$a\le 1$ $a\le 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/b/b9b7af69472d2d27d195a92a2d83644c82.png)
в размерных единицах будет
![$$\frac{\pi\hbar}{L}\le\sqrt{2mkT}.$$ $$\frac{\pi\hbar}{L}\le\sqrt{2mkT}.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/7/fa7f321f125f61cc84c28c7f5f69ff9e82.png)
Последняя формула - оценка размера объекта, начиная с которого при бОльших размерах квантовая механика не нужна.