2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 19:10 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1529794 писал(а):
Однако, не сказано какого.
Соответственно, нужно что-то предполагать. Можно предположить про невозможность отличить дискретный спектр от непрерывного если уровни расположены достаточно плотно. И можно предположить что невозможно экспериментально наблюдать влияние уровней, вероятность обнаружения частицы на которых слишком мала. А что со статсуммой делать без предположений об измерительной системе? Если мы можем измерять бесконечно точно и бесконечно долго, то мы сможем измерить любой хвост.

-- 27.08.2021, 19:12 --

ОК, подожду публикацию решения через статсумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1529795 писал(а):
ОК, подожду пубюликацию решения через статсумму.
Вам в утешение. комбинация $$\left(\frac{\hbar}{L}\right)^2\frac{1}{mkT}$$ по-моему, единственная безразмерная, поэтому все что надо установить, - не стоит ли перед ней какой-нибудь офигенный коэффициент или не стоит ли она в аргументе какой-нибудь не аналитической в нуле функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение27.08.2021, 19:26 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1529797 писал(а):
Вам в утешение.
Нет-нет, меня утешит только публикация официального решения от ТС. Мы же в олимпиадном разделе. ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение29.08.2021, 15:35 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.
А если зайти с другого конца - оценить длину когерентности?

Грубая оценка была бы такая

$\displaystyle{\frac{(\Delta p)^2}{2m} = \frac{1}{2}kT},$

$\displaystyle{\Delta p = \sqrt{mkT} = 2\pi h \Delta k = - h\frac{\Delta\lambda}{\lambda^2},}$

$\displaystyle{L_{\text{ког}} = |\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}| = 2\pi\frac{\hbar}{\sqrt{mkT}}.}$

Результат совпадает с "утешительным", коэффициент по-прежнему точно не определён. Интересно, что энергия частицы здесь не играет роли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение29.08.2021, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
chislo_avogadro в сообщении #1529906 писал(а):
А если зайти с другого конца - оценить длину когерентности?
Такой способ мне тоже нравится (С). С точностью до двоек (что при таких оценках - копейки) ответ совпадает с полученным из статсуммы, что, впрочем, неудивительно по вышеизложенным причинам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение29.08.2021, 23:05 


27/08/16
8581
Вот только и длина когерентности не является строгой границей для возможности наблюдения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение30.08.2021, 16:03 


27/08/16
8581
Без учёта свойств проводимого эксперимента можно получить только грубые оценки, подобные дифракционному пределу в оптике. Но дифракционный предел не ограничивает суперразрешение, хоть заглядывание под него и экспоненциально сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение30.08.2021, 22:18 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.
realeugene в сообщении #1529942 писал(а):
Вот только и длина когерентности не является строгой границей для возможности наблюдения.

Видимо это тот случай, когда строгая оценка невозможна, но возможна "хорошая", практически полезная. Водится ведь, скажем, ширина гауссианы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение30.08.2021, 22:43 


27/08/16
8581
Любопытно, какой можно специально поставить эксперимент для отличия распределения частицы в полости от равномерного? Например, обстреливая тонкий слой вблизи стенки полости узким пучком гамма-квантов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение31.08.2021, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1530083 писал(а):
Любопытно, какой можно специально поставить эксперимент для отличия распределения частицы в полости от равномерного?
Если чисто умозрительно, то с помощью туннельного микроскопа в принципе можно измерить распределение плотности электрона в яме с субатомным разрешением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение31.08.2021, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Видимо, пора ответ писать. Напоминаю, что требовалось оценить ширину ямы, при которой ее станет невозможно отличить от непрерывной прямой. (За числовыми коэффициентами порядка единицы не очень слежу, поэтому $\sim$ вместо знака равенства.)
Пусть у нас есть бесконечно глубокая потенциальная яма шириной $L.$ Казалось бы, при расширении ямы $L\to\infty$ мы должны плавно перейти к прямой, но хренушки. Состояниями в яме будут
$$\Psi_n(x)=A\sin\frac{\pi n x}{L},\;\text{где}\; n=1,2,\dots$$
Соответствующие энергии в единицах $\hbar=m=1$ будут, естественно,
$$E_n=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2.$$
Из этих состояний довольно сложно построить плоские волны с непрерывным спектром независимо от величины $L.$

Для разрешения сий великой проблемы можно сообразить, что свойства всего определяются вовсе не квантовой механикой, а термодинамикой (почему - написано выше). Значит, если при каких-нибудь $L$ статсуммы частиц в яме и без оной сравняются, то система перестала чувствовать стенки, что бы там не происходило с волновыми функциями. В этом смысле эта оценка похожа на оценку уважаемого chislo_avogadro. В статсумму, как известно, волновые функции вообще не входят.

Итак, для частицы в яме
$$Z\sim\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\beta\left(\frac{\pi n}{L}\right)^2\right)$$
Обозначив
$$a=\beta\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\;a\to0\;\text{при}\;L\to\infty,$$
получим
$$Z\sim\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a}),$$
где $\operatorname{\theta}_3(u,q)$ -- эллиптическая тета-функция третьего рода.

Нас интересует, как ведет себя $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ при $a\to0$ сверху. В эту сторону переход в учебниках написан - надо перейти от суммирования к интегрированию. Для особо въедливых с помощью бубна и Mathematic'и можно получить разложение $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ (первый член совпадет с результатом интегрирования, что не удивительно):
$$\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})\sim\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\text{при}\;a\to0.$$

Наконец ответ вопрос - когда происходит переход из ямы в прямую (мне лень было оценки делать, проще картинку нарисовать):
Вложение:
2to3.png
2to3.png [ 6.99 Кб | Просмотров: 470 ]

График $\operatorname{\theta}_3(0,e^{-a})$ (синяя линия) и ее асимптотика вблизи нуля (желтая линия).

Из картинки видно , что вплоть до точки $a=1,$ а может и до чуть больших $a,$ система ведет себя как частица на прямой.

В размерных единицах
$$a=\left(\frac{\pi\hbar}{L}\right)^2\frac{1}{2mkT}.$$
Условие $a\le 1$ в размерных единицах будет
$$\frac{\pi\hbar}{L}\le\sqrt{2mkT}.$$Последняя формула - оценка размера объекта, начиная с которого при бОльших размерах квантовая механика не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение31.08.2021, 19:24 


27/08/16
8581
amon в сообщении #1529791 писал(а):
но зная статсумму мы знаем все.
А как из статсуммы узнать плостность вероятности обнаружения частицы в непосредственной близи возле стенки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение01.09.2021, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1530160 писал(а):
А как из статсуммы узнать плостность вероятности обнаружения частицы в непосредственной близи возле стенки?
Вопрос из серии "при какой длине отрезка он превратится в прямую?" Ответ известен - ни при какой. У отрезка всегда есть концы, а у прямой нет. Поэтому измерив плотность на концах всегда получим ноль. Тем не менее, IMHO, исходная задачка осмысленная. Переход от ямы со стенками к бесконечной прямой во всю используется в статфизике и оценки ширины ямы, при которой яму можно считать прямой, я ни где не видел. Кроме того, исходный вопрос (тот, который мне задали) - при какой ширине ямы помещенный в нее электрон перестанет чувствовать ее стенки можно проверить экспериментально, и с приличной точностью ответы совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение07.09.2021, 16:48 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Эта задача напомнила мне старую добрую проблему об определении теплоемкости столба газа существенной высоты...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел для одномерной потенциальной ямы
Сообщение07.09.2021, 17:24 


07/08/14
3995
amon в сообщении #1530243 писал(а):
при какой ширине ямы помещенный в нее электрон перестанет чувствовать ее стенки
У ямы еще есть высота барьера, соответственно, автоматически возникает вопрос по этому параметру - при какой высоте потенциального барьера электрон перестает чувствовать его верхушку

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group