Спектр сигнала и амплитуда.

[ViktorArs]

Добрый день.
Есть спектр измеренного сигнала. В нем есть 2 явно выраженные частоты. Как по спектру рассчитать ампплитуду этих двух частот. Я до конца этого не пойму. Ведь спектр это у нас к примеру имеет размерность $V^2/Hz$. Как из этого сделать вольты. Причем правильно. Ибо мало ли какие подводные камни есть.

PS: Например подводный камень из практики. Есть в DFT и в IDFT коэффициент $1/N$. На практике бывает так, что он входит в DFT и не входит в IDFT. Бывает и наоборот. Преобразование туда суда дает одинаковый результат а вот спктры рзные. В разных програмах по разному и где как фиг его знает.

[Александрович]

ViktorArs в сообщении #1529561 писал(а):

Есть спектр измеренного сигнала. В нем есть 2 явно выраженные частоты. Как по спектру рассчитать ампплитуду этих двух частот.

Спектр это функция амплитуды от частоты. Для каждой частоты находите амплитуду.

[schoolboy]

ViktorArs, во-первых, надо разобраться с размерностями, почему у вас вольты в квадрате; если это спектр по мощности, то должны быть ватты на герц, если по амплитуде, то вольты. Короче говоря, если у вас спектр по мощности сигнала, то не хватает ом. Если не хотите заморачиваться с детальным разбором процедуры, которой получается этот спектр, то можно прокалибровать эту процедуру, подав на нее сигнал с известной амплитудой. Линейная или квадратичная зависимость в зависимости от того, какой спектр.

[ViktorArs]

Спасибо за комментари.
1. Это интересно, но похоже у меня имеет место чисто амплитудный спектр. Задал искуственно чистый синус заданной амплитуды. Показал ровно амплитуду. Хм, почему же я раньше полагал что разрешение спектра $V^2/Hz$. Даже и сам не понимаю. Буду домысливать данный момент. Честно говоря по ощущениям $V^2/Hz$ - это гдето вычитал.
2. Тогда еще вот такой вопрос. Сигнал может быть изменяющимся. Тогда спектр покажет содержимое гармоник на всем протяжеии этого сигнала. Даже ести например 2-я гармоника была в начале сигнала, а потом ее не стало, то все равно в спектре она будет и амплитуда ее будет меньше. И кажется меньше на столько на сколько длительность существования в сигнале 2-й гармоники относится к длительности всего сигнала. Это верная мысль? Если да то формулы где можно накопать об этом?
3. Дополнение ко второму вопросу. А если оно так, то как это интерпретироваь? Это же по факту всетаки не вольты наверно? Преобразование фурье - это интеграл. Если говорить о просто интеграле, то после интегрирования воль по оси времени, получатся $\textВ\cdot\textс$. Это же не вольты?
Но есть мысь другая, т.к. ДПФ - это не просто интегралл, а подыинтегралльня функция умножается на коэффициенты, то если они безразмерные, то также получится $\textВ\cdot\textс$. А если допустить что на выходе все таки вольты, то тогда какова размерность коэффициентов фурье?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы/обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- с размерностями в самом деле стоит разобраться;
- почему это попало в ПРР(М)?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[epros]

ViktorArs в сообщении #1529617 писал(а):

1. Это интересно, но похоже у меня имеет место чисто амплитудный спектр. Задал искуственно чистый синус заданной амплитуды. Показал ровно амплитуду. Хм, почему же я раньше полагал что разрешение спектра $V^2/Hz$. Даже и сам не понимаю. Буду домысливать данный момент. Честно говоря по ощущениям $V^2/Hz$ - это гдето вычитал.

Вообще-то, Фурье-образ (в просторечии именуемый "спектром") от чистой синусоиды не может просто "показать ровно амплитуду", ибо является дельта-функцией (множителем перед которой и является та самая амплитуда).

ViktorArs в сообщении #1529617 писал(а):

2. Тогда еще вот такой вопрос. Сигнал может быть изменяющимся. Тогда спектр покажет содержимое гармоник на всем протяжеии этого сигнала. Даже ести например 2-я гармоника была в начале сигнала, а потом ее не стало, то все равно в спектре она будет и амплитуда ее будет меньше. И кажется меньше на столько на сколько длительность существования в сигнале 2-й гармоники относится к длительности всего сигнала. Это верная мысль? Если да то формулы где можно накопать об этом?

Это неверная мысль. Похоже, что Вы пока не разобрались с тем, что такое спектр. Вообще-то спектр определяется для всего сигнала - от минус до плюс бесконечности по времени, а не от какого-то его отрезка. Хотя никто не запрещает определить спектр искусственно обрезанного сигнала (домноженного на нуль вне пределов некоторой области). Разумеется, спектр такого сигнала будет зависеть от того, как именно (в каких местах) он обрезан.

[Евгений Машеров]

С точки зрения прикладника:

(Оффтоп)

Взгляд, конечно, очень варварский, но верный

В термине "спектр мощности" слово "мощность" достаточно условно. Поскольку при ПФ размерной величины мы получаем ту же размерность, при переходе от ПФ к спектру мы берём квадраты модулей, и размерность квадрируется, то есть если входной сигнал в вольтах - то "квадратные вольты", умноженные на секунды или делённые на Герцы

(Оффтоп)

что совой о пень, что пнём о сову

Для перехода собственно к мощности от вольтажа надо знать сопротивление нагрузки, и если мы его не знаем, а лишь предполагаем постоянным - то имеем не мощность, а нечто ей пропорциональное. Тем не менее термин "спектр мощности"общепринят, хотя даже в электротехнике он неверен (а уж в экономике у нас вообще "квадратные доллары" всплывут)
При этом квадратичный "спектр мощности" не единственное применимое. Можно извлечь корень, получая "амплитудный спектр", можно прологарифмировать, переведя в децибелы. Для всех этих вариантов есть свои области применения, и что у Вас посчитано - надо особо выяснять.
Даже если у Вас "спектр мощности", извлекши корень Вы амплитуду, скорее всего, не получите. Даже если частота входного сигнала в точности попадёт на "зубец гребёнки частот", но, скорее всего, не попадёт, а будет между зубцами. Так что получится два пика, обрамляющих действительную частоту (и возможно, они поровну разделят "мощность", так что рассчитанная по каждому из них амплитуда будет в 1.414... раз ниже, но можно и не поровну), и много разбросанных по всему спектру "пичков". Они вызваны тем, что расчёт Вы ведёте не по идеальному сигналу, бесконечно длинному и неизменному, а по его отрезку, который предполагается повторяющимся (делаем бесконечный поезд из одинаковых вагончиков) и если частота не совпадает с каким-либо "зубцом гребёнки", на стыках у нас получается разрыв. А он даёт широкополосный сигнал, зашумляющий спектр на всём протяжении. Для борьбы с этим вводятся "окна". Во временной области они уменьшают значения на краях отрезка, умножая их на спадающую к нулю на краях и единичную в центре функцию (треугольную или колоколообразную, бывают и другие), так что разрыв исчезает, в частотной области их действие состоит в сглаживании спектра усреднением соседних по частоте значений. В частности, это помогает бороться с превращением одной синусоиды "неудачной частоты" в два пика - после сглаживания они сольются. Увы, применение окон приводит к снижению пиков сигнала.
На практике, получив неизвестную мне программу для вычисления спектра, я мог бы подать на вход сгенерированные синусоиды "хорошей" частоты разной амплитуды, чтобы исключить возможность того, что это не "спектр мощности", а, скажем, амплитудный или логарифмический. Затем подавал бы сигналы одинаковой амплитуды, но разных частот, определял бы значения соответствующих им пиков, извлекал бы из них корень (в предположении, что мы точно знаем, что "спектр мощности") и отыскивал бы поправочный коэффициент, зависящий от действия окон и других вычислительных деталей.
Что до того, относится ли эта тема к математике - ИМХО, да. К анализу ли или к вычислительной - в какой-то степени и к тому, и к тому. Может быть отнесена и к технической дисциплине "обработка сигналов", но она изрядно математизирована. А физика, экономика или нейрофизиология, везде такие методы применяются, возникает уже при интерпретации результатов.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1529697 писал(а):

Вообще-то спектр определяется для всего сигнала - от минус до плюс бесконечности по времени, а не от какого-то его отрезка.

Вообще-то Вы формально абсолютно правы. Но есть нюанс - это совершенно неприменимо в прикладном смысле. Нету ни у кого времени снимать весь сигнал от минус до плюс бесконечности по времени.

-- 26.08.2021, 15:09 --

Евгений Машеров в сообщении #1529703 писал(а):

Так что получится два пика, обрамляющих действительную частоту (и возможно, они поровну разделят "мощность", так что рассчитанная по каждому из них амплитуда будет в 1.414... раз ниже, но можно и не поровну), и много разбросанных по всему спектру "пичков"

Будет всё гораздо хуже.

Евгений Машеров в сообщении #1529703 писал(а):

Они вызваны тем, что расчёт Вы ведёте не по идеальному сигналу, бесконечно длинному и неизменному, а по его отрезку, который предполагается повторяющимся (делаем бесконечный поезд из одинаковых вагончиков)

Другая проблема - это алиасинг из-за дискретного ПФ. (На входе не гладкая функция на отрезке, а дискретный набор отсчетов).

[EUgeneUS]

ViktorArs

1. Вы не сказали, чем Вы снимаете спектр и даже не дали на него посмотреть (Аналоговый спектрометр и цифровое FFT - две большие разницы).
2. Преобразование Фурье в общем случае переводит гладкую апериодичную функцию, определенную на $(-\infty,\infty)$ в функцию (в общем случае) комплексной переменной.
3. Если "входящая функция" периодичная, либо мы её измеряем на конечном отрезке, то она преобразованием Фурье переводится в "гребенчатую"/дискретную функцию - коэффициенты пиков решетки Дирака (решетка из дельта-функций).
4. И обратно, если функция задана в виде коэффициентов пиков решетки Дирака, то она переводится в периодическую функцию.
5. Однако, дискретное преобразование Фурье (а FFT - это и есть дискретное преобразование Фурье) работает чуть по-другому. Оно переводит дискретную функцию в дискретную функцию.
6. Поэтому, как бы Вам не казалось визуально, что Вы видите непрерывный спектр - это не непрерывный спектр, а коэффициенты пиков решетки Дирака. Поэтому вертикальная ось такого спектра имеет размерность не $W/Hz$, или $V^2/Hz$, или $V/Hz$ - как для непрерывного спектра. А $W$, или $V^2$, или $V$.

Проблема измерения амплитуд составляющих сигнала заключается в том, что возникают артефакты дискретной обработки.
Один из них - так называемая "утечка спектра", в результате которой Вы видите не узкий пик шириной в один отсчет по частоте, а что-то подобное:


Верхняя часть - осциллограмма сигнала, нижняя часть результат FFT.
Кстати, как видим, размерность вертикальной оси в $dBV$ на деление, а отнюдь не в $dBV/Hz$ на деление. То есть это и есть амплитуда компонент спектра ($dBV$ легко пересчитываются в $V$).

При таких измерениях, а также зная, что сигнал бихроматический, амплитуда компонент - это величина пика на спектрограмме для соответствующе компоненты. На картинке сигнал трихроматический - видна 1, 3 и 5 гармоника, величину первой гармоники оценить легко, а вот для 3 и 5 уже проблематично - погрешность вносит длинный спад от первой пика первой гармоники.

Другая проблема таких измерений в том, что из-за шума (в том числе фазового шума входящего сигнала), величина пика может при разных выборках быть разной. Причину указал уважаемый Евгений Машеров. И тут действительно может помочь непрямоугольное окно.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1529708 писал(а):

epros в сообщении #1529697 писал(а):

Вообще-то спектр определяется для всего сигнала - от минус до плюс бесконечности по времени, а не от какого-то его отрезка.

Вообще-то Вы формально абсолютно правы. Но есть нюанс - это совершенно неприменимо в прикладном смысле. Нету ни у кого времени снимать весь сигнал от минус до плюс бесконечности по времени.

В прикладном смысле нужно просто чётко представлять себе, от какого именно отрезка сигнала мы снимаем спектр.

[EUgeneUS]

epros
Нет.

epros в сообщении #1529723 писал(а):

В прикладном смысле нужно просто чётко представлять себе

... что используется дискретное преобразование Фурье, а не преобразование Фурье от функции, непрерывной на отрезке

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1529724 писал(а):

В прикладном смысле нужно просто чётко представлять себе
... что используется дискретное преобразование Фурье, а не преобразование Фурье от функции, непрерывной на отрезке

Нет, дело не в дискретности. Гуглите теорему Котельникова и осознавайте, какие несущественные особенности вносит дискретность преобразования.

[EUgeneUS]

epros

Можно еще таблицу умножения погуглить. Ага.
Я прекрасно знаю
А) какие искажения в спектр монохроматического сигнала вносит непрерывное БФ на конечном прямоугольном окне.
Б) а какие - дискретное ПФ на конечном прямоугольном окне.
И они разные.

[epros]

Есть такие случаи, когда дискретизация не вносит совершенно никаких искажений. А в большинстве других случаев при выборе достаточного шага дискретизации искажения таковы, что ими можно пренебречь.
Ещё раз: Слова про то, что "такая-то гармоника была в начале сигнала, а потом ее не стало" имеют отношение к тому, как именно обрезан сигнал, преобразование Фурье от которого считается, а не к тому, является ли это преобразование дискретным.