Система ДУ

[GAA]

Татьяна, у Матвеева $A$ - транспонированная матрица коэффициентов системы. В примере 1 Матвеева - это незаметно. Не досмотрел, виноват.
Добавлено
$A=\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)$

[Таня Санафеева]

Т.е. система после замены х=z1, y=z2, стала сопряженной с первоначальной?

[GAA]

Делайте как делали, только с матрицей $A$, указанной в добавлении моего предыдущего сообщения. В помощь: $S=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$.
Ответ, я уже писал раньше. Успехов!

[Таня Санафеева]

Уважаемый GAA, у меня не сходится приведенное ниже решение :

$\left( \begin{array}{cc} S_1_1 & S_1_2 \\ S_2_1 & S_2_2 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)$ $=\left( \begin{array}{cc} -7 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} S_1_1 & S_1_2 \\ S_2_1 & S_2_2 \end{array} \right)$
$-5S_1_1-4 S_1_2 =-7S_1_1$ $,$ $-5S_2_1-4 S_2_2 =-1S_2_1$
$S_1_2=(1/2)S_1_1$ $,$ $S_2_2=-S_2_1$
Предположим, что $S_1_1=S_2_1=1$ , тогда $S_1_2=1/2$ $,$ $S_2_2=-1$ , тогда $S=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$ $;$
или
предположим, что $S_1_2=S_2_2=1$ , тогда $S_1_1=2$ $,$ $S_2_1=-1$ , тогда $S=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$

[GAA]

Я делал так:
$\left( \begin{array}{cc} S_1_1 & S_1_2 \\ S_2_1 & S_2_2 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)$ $=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -7 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} S_1_1 & S_1_2 \\ S_2_1 & S_2_2 \end{array} \right)$.
(Т.е. «так же как делали Вы», но с транспонированной матрицей $A$.)
Добавлено
Но и Вы, конечно, начали делать правильно. Только промежуточные выкладки будут отличаться от моих.
Я бы обязательно сделал двумя способами, и сравнил бы результаты.

[Таня Санафеева]

Оба способа верны. Может оформить следующим образом:

$\frac{dx}{dt} = -5x-4y$
$\frac{dy}{dt} = -2x-3y$

Пусть $x=z_1$, а $y=z_2$, тогда

$\frac{dz_1}{dt} = -5z_1-4z_2$
$\frac{dz_2}{dt} = -2z_1-3z_2$ $(1)$

Введем две матрицы $Z(t)=\left( \begin{array}{cc} z_1_1 & z_1_2 \\ z_2_1 & z_2_2 \end{array} \right)$ и $P(t)=\left( \begin{array}{cc} p_1_1 & p_1_2 \\ p_2_1 & p_2_2 \end{array} \right)$
где$P$-матрица, полученная транспонированием матрицы коэффициентов это системы;
$Z$-матрица фундаментальной системы решения системы $(1)$, которая является решением уравнения $(2)$:

$\frac{dZ}{dt} = ZP$, $(2)$ - матричное уравнение соответствующей системе $(1)$.

Матрица, обращающая уравнение $(2)$ в тождество, называется интегральной матрицей и записывается в виде:
$Z_1=e^P^t$,

где $e^P^t$ - экспоненциальная функция от матрицы $P$ по переменной $t$.

В нашем случае получается, что

$P=\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)$

Составляем характеристическое уравнение $\left( \begin{array}{cc} -5-\lambda & -4 \\ -2 & -3-\lambda \end{array} \right)=0$
Его корни:$\lambda_1=-7$, $\lambda_2=-1$

Приводим матрицу $P$ к каноническому виду и подставляем в уравнение $Z_1 = e^P^t$:
$P = S^-^1\left( \begin{array}{cc} -7 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)S$
или
$SP=\left( \begin{array}{cc} -7 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)S$
или
$S\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -7 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)S$
Пусть $S=\left( \begin{array}{cc} S_1_1 & S_1_2 \\ S_2_1 & S_2_2 \end{array} \right)$,
Тогда $-5S_1_1-4S_1_2 = -7S_1_1, -5S_2_1-4S_2_2 = -S_2_1, S_1_2=(1/2)S_1_1, S_2_2=-S_2_1$

Полагая, что $S_1_1=S_2_1=1, найдем: S_1_2=1/2, S_2_2=-1$, так что
$S=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$
Тогда $ Z_1 =\left( \begin{array}{cc} e^-^7^t & 0 \\ 0 & e^-^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$ $=$ $ \left( \begin{array}{cc} e^-^7^t & (1/2)e^-^7^t \\ e^-^t & -e^-^t \end{array} \right)$
Общее решение выглядит:

$X=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$
$Y=-C_1e^-^t + (1/2)C_2e^-^7^t$

[GAA]

1. Не очень внимательно читал, однако сразу бросилась часто повторяющаяся описка по тексту. После строчки
$A=\left( \begin{array}{cc} -5 & -4 \\ -2 & -3 \end{array} \right)$, следовательно $A^T=\left( \begin{array}{cc} -5 & -2 \\ -4 & -3 \end{array} \right)$
всюду вместо $A$ без символа транспонирования должно идти $A^T$. Надеюсь другие участники Форума укажут другие недостатки, если таковые имеются.
2. Несмотря на то, что, в принципе, изложение в разных книгах этого вопроса эквивалентное, оформление решения отличается. Еще раз призываю Вас посмотреть конспект лекций, либо метод. указания, либо программу (в ней должен быть приведен список рекомендованной литературы). Все же Матвеев, на мой взгляд, для студентов заочного отделения (подробный очень).

[Таня Санафеева]

GAA, СПАСИБО Вам за Ваше терпение и помощь!