Система ДУ

[GAA]

Мой ответ совпадает с Вашим. Не злоупотребляйте цветовыделением.

[TOTAL]

Таня Санафеева писал(а):

Общее решение выглядит:
$X=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$
$Y=-2C_1e^-^7^t + C_2e^-^7^t$

Существуют ли способы убедиться, что это в самом деле решение?

[GAA]

Мой ответ: $x = C_1e^{-t} +2C_2e^{-7t},$ $y = -C_1e^{-t} +C_2e^{-7t}$
Добавлено
Ответ

Таня Санафеева писал(а):

$X=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$
$Y=-2C_1e^-^7^t + C_2e^-^7^t$

неверный (проверил подстановкой в систему) Приношу свои извинения, сразу не доглядел.
Спасибо TOTAL.

[Таня Санафеева]

Цитата:

Мой ответ совпадает с Вашим.

GAA, почему постоянные $v_1_2$ и $v_2_2$ у нас получились с разными знаками и почему у Вас в общем решении смешаны ответы частных решений, т.е $x=z_1_1+z_1_2$, а $y=z_2_1+z_2_2$, когда у меня
$x=z_1_1+z_2_1$, а $y=z_1_2+z_2_2$

[GAA]

1.

Таня Санафеева писал(а):

$ Y =\left( \begin{array}{cc} e^-^t & 0 \\ 0 & e^-^7^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ $=$ $ \left( \begin{array}{cc} e^-^t & -2e^-^7^t \\ e^-^7^t & e^-^7^t \end{array} \right)$

Это неправильно. (Матрицы переменожены с ошибкой)
2. А Ваш ответ $X=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$, $Y=-2C_1e^-^7^t + C_2e^-^7^t$ заведомо неверный, поскольку выражение для $y$ имеет вид $Ce^{-7t}$, а должно быть линейной комбинацией. Я сначала это даже не разглядел.

[Таня Санафеева]

У меня опечатка, т.е. $y=-2C_1e^-^t+C_2e^-^7^t$

[GAA]

Проверьте Ваш ответ $x=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$, $y=-2C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$ подстановкой в исходную систему уравнений. У меня получилось, что ответ неправильный.

[Таня Санафеева]

Я проверила решение методом Эйлера этой системы (это по заданию нужно было сделать первым, а потом представить в матричном виде) и нашла ошибку в вычислениях постоянной бетта, т.е. ответ, удовлетворяющий системе (с проверкой), получается:
$X=C_1e^-^7^t + C_2e^-^t$
$Y=(1/2)C_1e^-^7^t - C_2e^-^t$

Но этот ответ не получается (хотя и удовлетворяет системе) при решении матричным методом, не пойму в чем же дело.

[GAA]

Чему равно $ Y =\left( \begin{array}{cc} e^-^t & 0 \\ 0 & e^-^7^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ?
[Добавлено]
Сейчас занят на работе, не смогу ответить. Если не ответят другие, отвечу чуть позже.

[Таня Санафеева]

$ Y =\left( \begin{array}{cc} e^-^t & 0 \\ 0 & e^-^7^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ $=$ $ \left( \begin{array}{cc} e^-^t & -2e^-^t \\ e^-^7^t & e^-^7^t \end{array} \right)$

[mkot]

Таня Санафеева писал(а):

(определитель Вронского) $D(A-kl) = Y=\left( \begin{array}{cc} -5-k & -4 \\ -2 & -3-k \end{array} \right)=0$

А при чём здесь определитель Вронского? Это обычный характеристический многочлен матрицы.
По поводу определителя Вронского см. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B0%D0%BD

[Таня Санафеева]

Цитата:

А при чём здесь определитель Вронского? Это обычный характеристический многочлен матрицы.

Частные решения уравнения образуют фундаментальную систему на отрезке, если ни в одной точке определитель вронского не обращается в нуль.

[ewert]

но дело в том, что вопрос о независимости тут тривиален, и зачем тогда Вроньский.

Компоненты решения в любом случае являются комбинациями двух экспонент, и независимость сводится лишь к тому, что комбинации первой и второй констант для одной компоненты не пропорциональны аналогичным комбинациям для другой. А это вроде для всех предлагавшихся вариантов (буквально все не проверял) -- очевидно.

Вот лучше скажите, предлагался ли здесь стандартный вариант (мне за всеми значками не уследить):

$$\vec y_{\text{общее}}=C_1\vec b_1\cdot e^{-t}+C_2\vec b_2\cdot e^{-7t}$$

,

где $\vec b_1$ и $\vec b_2$ -- собственные векторы матрицы системы, отвечающие, соотв, с.ч. (-1) и (-7)?

[mkot]

Таня Санафеева писал(а):

Цитата:

Цитата:

А при чём здесь определитель Вронского? Это обычный характеристический многочлен матрицы.

Частные решения уравнения образуют фундаментальную систему на отрезке, если ни в одной точке определитель вронского не обращается в нуль.

Все это пусть. Но в записи

Таня Санафеева писал(а):

(определитель Вронского) $D(A-kl) = Y=\left( \begin{array}{cc} -5-k & -4 \\ -2 & -3-k \end{array} \right)=0$

я не могу увидеть запись определителя Вронского, а вижу только
$|A - \lambda E|$, что никогда не называлось определителем Вронского.

[Таня Санафеева]

Mkot, это характеристическое уравнение системы.