Система ДУ

[Таня Санафеева]

Привет! Умные люди подскажите в таком вопросе:

дана система
dx/dt = - 5x - 4y
dy/dt = - 2x - 3y

требуется записать данную систему и ее решение в матричной форме.

Не могу понять, как это сделать. Буду благодарна всем ответам.

[Leox]

а решение системы у вас уже имеется? что записывать будете?

[GAA]

Исключительно подробно и с примерами, решение системы уравнений матричным методом можно найти, например, в книге [1]. Но эту тему можно изучать и по другим книгам, см. например, [2] (нужные разделы легко найти по оглавлению). Многое зависит от программы и Ваших знаний. Посмотрите разные книги. Они, наверное, есть в библиотеке в бумажном виде.
[1] Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
[2] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

[Таня Санафеева]

Первый вопрос этого задания был "найти общее решение системы". Я решила ее методом Эйлера. Вот ответы:
x = C1• e^(-t) + C2 • e^(-7t)
y = - C1• e^(-t) + 2 • C2 • e^(-7t)

[Brukvalub]

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ \end{array}} \right)^\prime = \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 5} & { - 4} \\ { - 2} & { - 3} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ \end{array}} \right)\quad \Rightarrow \quad \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ \end{array}} \right) = e^{\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 5} & { - 4} \\ { - 2} & { - 3} \\ \end{array}} \right)t} \left( {\begin{array}{*{20}c} {C_1 } \\ {C_2 } \\ \end{array}} \right) \]

[Таня Санафеева]

Ребята, я решила систему в общем виде и ни как не получается вставить картинку с решением, HELP ME!

[GAA]

Как вставлять формулы см. в теме Первые шаги в наборе формул.

[Таня Санафеева]

Вот что получилось при решении в общем виде. Если что не так - поправьте меня.:roll:

Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
$\frac{dx}{dt} = a_{11}x + a_{12}y$ $(1)$
$\frac{dy}{dt} = a_{21}x + a_{22}y$

равносильна матричному уравнению

$\frac{dY}{dt} = YA$, $(2)$
где $A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$ - постоянная матрица;
$Y=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & y_{12} \\ x_{21} & y_{22} \end{array} \right)$ - матрица фундаментальной системы решения $(1)$.
Интегральная матрица уравнения $(2)$ известна по формуле:

$Y = e^A^t$, $(3)$

где $e^A$ – экспоненциальная функция от матрицы $A$.

Приводим матрицу $A$ к каноническому виду и подставляем в уравнение $(3)$:

$A = S^-^1[k_1, k_2]S$,

где $k$ – характеристические числа,$[k_1, k_2]$ – диагональная матрица.

И получаем: $Y = [e^k^1^t, e^k^2^t]S$
Пусть $S=\left( \begin{array}{cc} q_1_1 & q_1_2 \\ q_2_1 & q_2_2 \end{array} \right)$
Тогда $ Y = \left( \begin{array}{cc} e^k^1^t & 0 \\ 0 & e^k^2^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} q_1_1 & q_1_2 \\ q_2_1 & q_2_2 \end{array} \right)$ $=$ $ \left( \begin{array}{cc} q_1_1e^k^1^t & q_1_2e^k^2^t \\ q_2_1e^k^1^t & q_2_2e^k^2^t \end{array} \right)$
Общее решение выглядит:
$X = C_1 q_1_1e^k^1^t + C_2q_2_1e^k^2^t$
$Y= C_1 q_1_2e^k^1^t + C_2q_2_2e^k^2^t$

[Таня Санафеева]

С нетерпением жду оценки

[Brukvalub]

Непонято, что нужно оценивать?
Умение переписать в форум кусок текста из учебника по дифурам?
Тогда - великолепно!!!

[AD]

Таня Санафеева в сообщении #152649 писал(а):

Приводим матрицу $A$ к каноническому виду и подставляем в уравнение $(3)$:

$A = S^-^1[k_1, k_2]S$,

где $k$ – характеристические числа,$[k_1, k_2]$ – диагональная матрица.

Привести к такому виду не всегда возможно.

[mkot]

Таня Санафеева писал(а):

Общее решение выглядит:
$X = C_1 q_1_1e^k^1^t + C_2q_2_1e^k^2^t$
$Y= C_1 q_1_2e^k^1^t + C_2q_2_2e^k^2^t$

не совсем правда. Это так только если $k_1 \neq k_2$ или если $k_1 = k_2$ и число
линейно независимых векторов, соответствующих $k_1$, не меньше кратности корня, то есть $2$.
Рассмотрите систему:

$$\frac{dx}{dt} = x + y,$$

$$\frac{dy}{dt} = y.$$

Её решение есть

$$x = (C_1t + C_2)e^t,$$

$$y = C_1e^t.$$

[Таня Санафеева]

Цитата:

Умение переписать в форум кусок текста из учебника по дифурам?

Не согласна, потому что в Матвееве конкретики на решение подобных заданий нет и достаточно запутано объяснено (лично для меня). Я упорядочила и сделала общую схему выполнения задачи и хочу узнать, правильна ли схема, нет ли чего-то, что возникло ниоткуда.

Цитата:

Привести к такому виду не всегда возможно

Но в данном случае-то можно, ведь эта схема решения именно для моего примера, не так ли?

[GAA]

0. Не злоупотребляйте форматированием — это нарушение правил форума.
1. Я проверил дифференцированием, что Ваше решение

Таня Санафеева писал(а):

x = C1• e^(-t) + C2 • e^(-7t)
y = - C1• e^(-t) + 2 • C2 • e^(-7t)

не соответствует системе

Таня Санафеева писал(а):

dx/dt = - 5x - 4y
dy/dt = - 2x - 3y

Отмечу, что собственные числа при этом найдены верно.
2. Изначально, по видимому, я не понял Вашего вопроса. Если бы приведенное Вами решение было правильным, ответ легко можно было бы записать в матричном виде.
3. Если вы все же должны в соответствии с программой уметь решать уравнения матричным способом и пользуетесь Матвеевым 1967 г. издания, посмотрите пример на с. 534.

Таня Санафеева писал(а):

Но в данном случае-то можно, ведь эта схема решения именно для моего примера, не так ли?

Да.

Исправил n2, не решение, а «ответ легко можно было бы записать в матричном виде»

[Таня Санафеева]

Вот что получилось при решении конкретной системы. :

Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

$\frac{dx}{dt} = -5x-4y$ $(1)$
$\frac{dy}{dt} = -2x-3y$

равносильна матричному уравнению

$\frac{dY}{dt} = YA$, $(2)$

где $A=\left( \begin{array}{cc} -5 & -4 \\ -2 & -3 \end{array} \right)$ - постоянная матрица;

$D(A-kl) = $Y=\left( \begin{array}{cc} -5-k & -4 \\ -2 & -3-k \end{array} \right)=0$

$k_1=-1, k_2=-7$

$ Y = \left( \begin{array}{cc} e^k^1^t & 0 \\ 0 & e^k^2^t \end{array} \right)S$

Приводим матрицу А к каноническому виду и подставляем в уравнение $Y = e^A^t$:

$A = S^-^1\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -7 \end{array} \right)S$
или

$SA =\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -7 \end{array} \right)S$
или

$S\left( \begin{array}{cc} -5 & -4 \\ -2 & -3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -7 \end{array} \right)S$
Пусть $S=\left( \begin{array}{cc} v_1_1 & v_1_2 \\ v_2_1 & v_2_2 \end{array} \right)$

Тогда $-5v_1_1-2V_1_2 = -v_1_1, -5v_2_1-2v_2_2 = -7v_2_1, v_1_2=-2, v_2_2=1$

Полагая, что $v_1_1=v_2_1=1, найдем: v_1_2=-2, v_2_2=1$, так что

$S=\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$
Тогда $ Y =\left( \begin{array}{cc} e^-^t & 0 \\ 0 & e^-^7^t \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ $=$ $ \left( \begin{array}{cc} e^-^t & -2e^-^7^t \\ e^-^7^t & e^-^7^t \end{array} \right)$

Общее решение выглядит:

$X=C_1e^-^t + C_2e^-^7^t$
$Y=-2C_1e^-^7^t + C_2e^-^7^t$