Интеграл по контуру

[Otta]

А посмотрите. Ветвь Вы выбрали, запишите ее аналитическое продолжение на плоскость. Посчитайте вычеты. Выразите интеграл. В общем, процедура та же.

[volchenok]

Раз то что я написал верно, то вот что получается
С одной стороны

$$2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx = \int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx = 2 \pi i \underbrace{res}_{i}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}+ 2 \pi i \underbrace{res}_{-i}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1} = \sqrt 2 \pi$$

С другой стороны

$$-2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx = \int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx = 2 \pi i \underbrace{res}_{i}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}+ 2 \pi i \underbrace{res}_{-i}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1} = \sqrt 2 \pi$$

Я понимаю, что тут есть ошибка и она связана с тем, что я не правильно выбрал во втором случае ветвь. Но мне не понятно как ее выбрать тут, точнее, как понять на какой берег разреза попадают точки $i$ и $-i$, чтобы определиться со знаком.

[Otta]

volchenok в сообщении #1526587 писал(а):

что я не правильно выбрал во втором случае ветвь.

Судя по всему, Вы ее неправильно продолжили. Пишите сюда, как считаете хотя бы один вычет во втором случае. И хотя бы один в первом.

volchenok в сообщении #1526587 писал(а):

Но мне не понятно как ее выбрать тут, точнее, как понять на какой берег разреза попадают точки $i$ и $-i$, чтобы определиться со знаком.

Ну это... где разрез, а где точки. Ни на какой.

Учебник есть под боком? Какой?

[volchenok]

В первом случае:

$2 \pi i \underbrace{res}_{i}\frac{\sqrt x}{x^2+1}=2 \pi i \frac{x^{1/2}}{2x}|_{x=e^{i \pi /2}}= 2 \pi i \frac{e^{i \pi /4}}{2 i}=\pi \frac{\sqrt 2}{2}(1+i)$

Соответственно я писал, что во втором тоже самое, хотя я думаю что я не прав в этом. Просто я не знаю, что нужно поменять в приведенных выше выкладках.

Учебника прям под рукой нет, но на компьютере есть электронный вариант Шабунина "Комплексный анализ"

[Otta]

volchenok в сообщении #1526598 писал(а):

$2 \pi i \frac{x^{1/2}}{2x}|_{x=e^{i \pi /2}}= 2 \pi i \frac{e^{i \pi /4}}{2 i}$

Ну положим. И вот Вы считаете значение корня квадратного в точке. А у него значений не одно. А Вы выбираете это. Почему?

volchenok в сообщении #1526598 писал(а):

Учебника прям под рукой нет, но на компьютере есть электронный вариант Шабунина "Комплексный анализ"

Шабунина (этого) не знаю, знаю Сидоров, Федорюк, Шабунин "Лекции по ТФКП". И всем советую.
Электронного варианта всегда достаточно.

[volchenok]

ну вот поэтому я и спрашиваю, из каких соображений нужно выбирать знак у корней? В интеграле это было связано с выбором ветви перед взятием интегралов, а тут как?


Да, я этот учебник и имел в виду. Мне он тоже нравится.

[Otta]

volchenok
У Вас книжка есть. Там все это написано. Я, признаться, в замешательстве, какие проблемы.
Хорошо.
Контрольные вопросы:
1. Как вычисляется значение квадратного корня в произвольной точке?
2. Почему во втором случае корень на верхнем берегу отрицателен?

-- 20.07.2021, 19:00 --

volchenok в сообщении #1526610 писал(а):

В интеграле это было связано с выбором ветви перед взятием интегралов, а тут как?

И тут так. Выбрали ветвь - одну во всех интегралах. Нельзя в одном интеграле работать с одной ветвью и приравнивать к значению интегралов от другой.
Слова "аналитическое продолжение", я думаю, слышали. Так вот с ним и работаем.

[volchenok]

с интегралами я разобрался, проблемы в выборе знака у слагаемого в части вычетов В интегралах стало понятно, что все зависит от выбора ветви: выбрали ветвь где на верхнем берегу плюс, значит там плюс. А тут точка не из берега разреза ведь.

1. В произвольной не совсем уверен, но вообще думаю, что считается корнем из модуля, а знак перед корнем выбирается выбором ветви.
2. Так была выбрана ветвь

Цитата:

И тут так. Выбрали ветвь - одну во всех интегралах. Нельзя в одном интеграле работать с одной ветвью и приравнивать к значению интегралов от другой.

С интегралами все понятно, так оказалось что выживают только интегралы по берегам, где все понятно. Непонятно что в точках вне берегов.

[Otta]

volchenok в сообщении #1526616 писал(а):

Так была выбрана ветвь

Как - так? А если бы был корень кубический? Какие бы были варианты для выбора ветви на верхнем берегу?

Вам не про интегралы сейчас надо читать. А про то, как вычислять корни. Они вычисляются в каждой точке. (Как и логарифм - считается всюду, кроме нуля.)

[volchenok]

я понял) извините, ступил. Я вспомнил что выбор ветви, это выбор целого числа к мнимой добавке логарифма. Мне так проще все это воспринимать. И стало все на свои места. Естественно понял, что выбор ветви един не только для интегралов, но и для слагаемого с вычетами. И так

$\sqrt x = \sqrt{|x|} (-1)^k (\cos(\frac{\arg x}{2})+i \sin(\frac{\arg x}{2}))$

Соответственно для четных $k$ получаем одну ветвь, для нечетных - другую.

[Otta]

volchenok в сообщении #1526620 писал(а):

что выбор ветви един не только для интегралов, но и для слагаемого с вычетами.

Да.

volchenok в сообщении #1526620 писал(а):

Соответственно для четных $k$ получаем одну ветвь, для нечетных - другую.

Запись, конечно, весьма неканоническая. По ней, скажем, невозможно судить, будете ли Вы считать аналогичную задачу, но с кубическим корнем наверху, с не первой попавшейся ветвью, а какой-то другой. Но оставляю это уже Вам.

[volchenok]

С кубическим корнем все аналогично ведь, хоть и не упрощается это как с квадратным

$x^{1/3}=|x|^{1/3}(\cos(\frac{\arg x}{3}+\frac{2 \pi k}{3})+i \sin(\frac{\arg x}{3}+\frac{2 \pi k}{3}))$

[volchenok]

Раз здесь все правильно, то спрошу последний вопрос. Чуть чуть изменим Ваш интеграл, пусть в знаменателе стоит минус, правильно ли я понимаю, что несмотря на то что особых точек две, вычет нужно считать только в одной точке, так как вторая лежит на разрезе?

$$2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}\,dx = \int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2-1}\,dx = 2 \pi i \underbrace{res}_{-1}\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}=2 \pi i \frac{i}{-2}= \pi$$

[Otta]

volchenok
Очевидным образом расходящиеся интегралы считать не принято.

[volchenok]

В смысле главного значения тоже?