2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 14:58 


21/07/09
300
Здравсвуйте, уважаемые участники форума. Мне нужно посчитать интеграл по контуру, который представляет собой разрез по лучу положительной части оси абсцисс и с вырезанным нулем. Как я это решал. Я разбивал контур на три части: окружность, охватывающая начало координат (интеграл по ней при уменьшении радиуса к 0 стремится к нулю) , верхний берег разреза и нижний берег разреза.

$\int\limits_{C}\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}dz=\int\limits_{C_\varepsilon}\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}dz+\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{i\pi(s-1)}}{e^x-1}dz-\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{3i\pi(s-1)}}{e^x-1}dz=e^{2i\pi s}(e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dz$

однако в ответе другое выражение

$(e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dz$

Подскажите пожалуйста, где я ошибся

-- Вт июл 13, 2021 15:57:02 --

Я допускаю, что я неправильно взял контур. Вот как в условии было написано

"from $+\infty$ to $+\infty$ taken in a positive sense around a domain which includes the value 0 but no other point of discontinuity of the integrand in its interior"

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 17:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
volchenok
С контуром-то все в порядке. А про выбор ветви что сказано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 17:12 


21/07/09
300
Я не знаю, про это вроде бы ничего не сказано, хотя могу предположить, что намек есть в месте, где говорится про логарифм. Вот сама статья

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... X2oMYUULKn

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
volchenok в сообщении #1525999 писал(а):
Я не знаю, про это вроде бы ничего не сказано, хотя могу предположить, что намек есть в месте, где говорится про логарифм


Да, про это там как раз говорится. Т.е. на верхнем берегу нужно выбрать начальный аргумент $\varphi_0=-\pi$, тогда при движении с верхнего берега на отрицательную действительную полуось приращение $\pi$ уберёт мнимую часть логарифма.

(Оффтоп)

Otta
А куда подевался Ваш удав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 17:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да, это там и определяется.
Вы выбрали не ту ветвь, а интеграл от многозначной функции может зависеть от выбора ветви.
Выберите ту же, что в статье, и все получится. Видно же, что вся разница - в аргументах.

-- 13.07.2021, 19:27 --

Что, зря писала, что ли ))
Удав умер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 17:45 


21/07/09
300
В моем решении аргумент был равен $\pi$, так как логично что такой же аргумент у $-x$. Почему правильно все-таки брать $-\pi$. Кто такой удав и зачем его убивать?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение13.07.2021, 19:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
volchenok
volchenok в сообщении #1526003 писал(а):
В моем решении аргумент был равен $\pi$,

У чего, у $x$?
$\ln (-z) = \ln |z| + i\arg (-z) + 2\pi i k$
Пусть $z$ - вещественное отрицательное. Какой должна быть мнимая часть логарифма при таком условии, осуществимо ли это и если да, то при каком $k$.
Посмотрите. Если все выйдет, Вы получите нужную ветвь логарифма. С ней и надо работать.

Замечание: фактически все содержание этой темы сводится к тому, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
И возне с логарифмом: его надо правильно продолжить вплоть до границы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение14.07.2021, 12:07 


21/07/09
300
Да, у $x$. Ну Вы обозначили это $z$, пусть так. Тогда в это случае получаем

$\ln(-z)=\ln|z|+i\arg(-z)+2\pi ik=\ln|z|+i\pi+2\pi ik$ Соответственно выбор нужной ветви, это выбор $k$. Каким его нужно выбрать и из каких соображений?

И о каком условии Вы написали в
Цитата:
Какой должна быть мнимая часть логарифма при таком условии

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение14.07.2021, 19:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
volchenok в сообщении #1526062 писал(а):
И о каком условии Вы написали в

Перечитайте условия, наложенные на выбор ветви логарифма. Я о них. (Других-то и нету.)
volchenok в сообщении #1526062 писал(а):
$\ln(-z)=\ln|z|+i\arg(-z)+2\pi ik=\ln|z|+i\pi+2\pi ik$

$z$ - вещественное отрицательное! Внимательнее.

На самом деле, thething очень хорошо все сказал, но почему-то не легло. Попробуйте перечитать и вдуматься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение15.07.2021, 13:38 


21/07/09
300
Извините, что отвечаю не сразу. Пытался сам разобраться но до конца так и не разобрался. Меня вообще изначально запутала многозначность. Дело в том, что в курсе функций комплексного переменного у нас все наборот было: сначала брался контур, а потом шло интегрирование и сам выбор контура был обусловлен тем, чтобы убрать многозначность. А тут как-то по-другому. Берут контур, но ветку выбирают так, чтоб логарифм был только вещественным. Вопрос - почему и зачем?

Насколько я понял, то условие выбора ветви логарифма это его вещественность, прав ли я? и если да, то почему оно такое?
Цитата:
$z$ - вещественное отрицательное! Внимательнее.

А где я ошибся? Насколько я помню курс ТФКП, то для таких чисел как раз $\arg(z)=\pi$, разве нет?

То что написал thething не легло потому, что учили меня, что после выбора контура уже все однозначно, а тут контур вроде как выбран, а у нас еще стоит вопрос выбора ветвей логарифма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение15.07.2021, 14:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
volchenok в сообщении #1526180 писал(а):
то для таких чисел как раз $\arg(z)=\pi$,

А там чего аргумент?

-- 15.07.2021, 16:12 --

volchenok
Давайте я буду (или не я) отвечать пока только на те Ваши вопросы, которые имеют прикладное значение, т.е. нужны для решения задачи. Если потом понадобится, Вы сможете задать остальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение15.07.2021, 15:05 


21/07/09
300
Цитата:
А там чего аргумент?


А там $-z$. Так получается под логарифмом стоит положительное вещественное число? А из-за чего тогда весь сыр-бор? Ведь логарифм положительного вещественного числа всегда однозначен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение15.07.2021, 17:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Почему это однозначен? А куда тогда денется добавок $2\pi i k$? Не забудьте про него. И про выбор $k$ так, чтобы выполнялось единственное условие на логарифм. Выбрали, потом можно заниматься уже выбранной ветвью дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение16.07.2021, 00:59 


21/07/09
300
Да, вы правы. Забыл за эту добавку. Условие на логарифм, насколько я понял это его вещественность. Почему именно она?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по контуру
Сообщение16.07.2021, 01:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
volchenok
Так определили ветвь для подынтегральной функции. Работают с нею.

У Вас сейчас вопрос из серии: вот интеграл $\int_0^1 x^2\, dx$. Почему именно $x^2$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 65 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group