Интеграл по контуру

[volchenok]

Я это и сказал. В курсе ТФКП просто не было таких интегралов какой тут попался.

[Otta]

Были, и Вы сами об этом пишете.

volchenok в сообщении #1526443 писал(а):

Меня учили что если выбрать контур в виде буквы С с разрезом по положительному лучу то такие интегралы уже однозначны

Так вот - нет, неоднозначны.

Но я не настаиваю. Не было так не было.

[volchenok]

Ну благодаря Вам я понял, что есть интегралы, у которых такой контур не дает однозначную ветвь. И вообще что сначала нужно определиться с выбором ветви, а потом смотреть на контур.

[Otta]

volchenok

volchenok в сообщении #1526447 писал(а):

что есть интегралы, у которых такой контур не дает однозначную ветвь.

Контур и ветвь - две вещи независимые. Как отрезок интегрирования и подынтегральная функция.
Интегралы от многозначных функций, само собой, будут зависеть от выбора ветви. В том числе и те, которые Вы когда-то решали. Тогда Вам было нужно не интеграл по контуру найти (это одно), а совершенно определенный интеграл от функции вещественной переменной по отрезку вещ. прямой, безо всякой многозначности. Многозначные функции возникают, когда Вы эти функции смотрите в комплексной плоскости.
Интегрирование по контуру в тех задачах, что Вы помните, играло вспомогательную роль, и как следствие, на выбор ветви вы просто не обращали внимание, выбирая первую попавшуюся и наиболее удобную. А могли там же нечаянно или намеренно выбрать другую. Процедура подсчета не изменилась бы, а вычисления - да.

[volchenok]

Да, Вы правы. В курсе ТФКП использовали эту технологию для вычисления вещественных интегралов через вычеты.

[Otta]

Вы меня не поняли.
Вот считаете Вы интеграл

$$\int_0^\+\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx$$

.
"Школьная" процедура подсчета обязывала Вас в этом месте взять известно какой контур. Который при устремлении радиусов внутренней и внешней окружности "стремится" к тому, который здесь, по окружностям интегралы уходят. Обозначу его $C$, верхний берег $C_+$, нижний $C_-$

Давайте дальше посмотрим. А дальше, чтобы вычислить интеграл по верхнему+нижнему берегу (это было нужно, даже если забыть о вычетах, иначе Вы не выразите искомый интеграл) Вы писали так:

$$\int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx= -\int_{C_+}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx+\int_{C_-}\frac{-\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx$$

Стоп.
Выбор ветви к этому моменту по умолчанию уже состоялся.
На верхнем берегу значение корня положительно.
А почему не отрицательно? Могли же выбрать и отрицательным.

Могли. Поменялись бы расчеты. Поменялось бы значение интеграла по этому контуру. И все. Исходный интеграл, который выражается, в частности, через этот, остался бы тем же. Есть желание - проверьте.

То же касается и логарифмов, и любых других многозначных функций. Опять же - есть желание, проверьте.
Вроде с интегралом в стартовом посте Вы разобрались. Остальное уже как хотите.

[volchenok]

Спасибо, что не ограничились только моим примером, так как мне полезно понять всю процедуру в целом. Итак, Ваш интеграл у меня в курсе учили решать так:

После выбора упомянутого контура, говорим, что на верхнем берегу разреза аргумент равен 0 , а на нижнем $2 \pi$, после опускания интегралов по окружностям, в итоге получаем

$$\int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx= \int_{C_+}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx+\int_{C_-}\frac{-\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx-\int_{0}^{\infty}\frac{-\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx=2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx$$

Здесь ошибок нет?

[Otta]

volchenok в сообщении #1526512 писал(а):

После выбора упомянутого контура,

Ошибок-то нет, но Вы не заметили, что выбрали не только контур, но и ветвь многозначной функции?

Эту ветвь можно было выбрать другой, и тоже бы ошибок не было.

Кстати, ветвь какая? Чему она равна на верхнем берегу разреза? В зависимости от этого ошибки либо есть, либо нет.
Если она та же, что у меня - они есть.

[volchenok]

Да, я знаю, что у меня ветвь выбрана уже, в моих выражениях уже все однозначно, а под корнями уже стоят абсолютные значения. То есть ветвь корня выбрана такой, что на верхнем берегу разреза знак перед корнем положительный, а на нижнем - отрицательный. Наверное это не та же ветвь, что у Вас.

[Otta]

volchenok
А порядок обхода контура $C$ какой?

[volchenok]

Порядок обхода контура: стартуем с верхнего берега разреза от нуля и до бесконечности, далее против часовой стрелки по окружности попадаем на нижний берег разреза и на нем с бесконечности в нуле замыкаем контур.

[Otta]

volchenok в сообщении #1526578 писал(а):

до бесконечности, далее против часовой стрелки по окружности попадаем на нижний берег разреза

А где Вы в бесконечности окружность будете строить?

[volchenok]

Ну да, Вы правы. Формально я пропустил шаг устремления радиуса окружности в бесконечность. То есть если быть точным, то порядок обхода такой:

вдоль верхнего берега разреза идем до радиуса окружности $R$ далее по окружности против часовой стрелки попадаем на нижний берег разреза и уже на нем от R до 0 замыкаем контур. При устремлении $R$ в бесконечность остаются только интегралы по берегам разреза с противоположным направлениями обхода.

[Otta]

Не вполне корректно, но по крайней мере, теперь знаки правильные.

Так вот, речь о том, что ветвь можно было выбрать и другой, так чтобы она принимала отрицательные значения на верхнем берегу. Это повлияло бы на значение интеграла в левой части. Но на значение исходного интеграла от функции вещественной переменной - нет.

[volchenok]

То есть, вместо того что я написал, можно писать следующее:

$$\int_C \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx= \int_{C_+}\frac{-\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx+\int_{C_-}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{-\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx=-2 \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}\,dx$$

?

Как тогда изменится часть с вычетами, если я решу посчитать этот интеграл вычетами?