Интеграл по контуру

[volchenok]

Да, спасибо. С этим понятно. Значит что получается:

$\ln(-z)=\ln|z|$, когда $z<0$ (т.е. $k=0$)
А вот как выбрать k для второго случая, я не знаю. Подскажите пожалуйста
$\ln(-z)=\ln|z|+i\pi+2i\pi k$, когда $z>0$ (т.е. $k=?$)

[Otta]

Для какого - второго? Он один.
Взяли ветвь с $k=0$. Определились с этим, слава богу.
То есть $\ln(-z)=\ln |z| +i\arg(-z)$.
Ура.

Теперь берем точку на отрицательной полуоси (там аргумент нулевой) и ползем по верхней полуплоскости до верхнего берега разреза вдоль положительной полуоси. Каким станет $\arg (-z)$ ?

И то же самое проделайте в другую сторону, до нижнего берега разреза.

[volchenok]

Я думал отдельно нужно рассмотреть два случая : 1) $z<0$ для него $k=0$ и 2) $z>0$, разве нет?

Просто если нет, то при $z>0$ логарифм будет иметь мнимую часть, что вроде бы как нарушает вещественность исходного интеграла.

Насколько я понимаю, то ползем мы по дуге окружности к этому разрезу, да? Ну при смене знака $z$ $\arg(-z)$ увеличится на $\pi$, то есть ответ $\arg(-z)=\pi$

[Otta]

volchenok

volchenok в сообщении #1526368 писал(а):

Просто если нет, то при $z>0$ логарифм будет иметь мнимую часть, что вроде бы как нарушает вещественность исходного интеграла.

Вот это откуда Вы взяли? Там про вещественность говорится для отрицательных значений $z$.
Естественно, будет.

volchenok в сообщении #1526368 писал(а):

разве нет?

Разве нет. Ваша плоскость с разрезом - один лист римановой поверхности логарифма. Там можно выделить, чем мы и заняты, однозначную ветвь.
Возможно, Вам следует повторить теорию, если подзабылась.

volchenok в сообщении #1526368 писал(а):

Насколько я понимаю, то ползем мы по дуге окружности к этому разрезу, да?

Неважно, по чему ползем, аргумент на верхнем берегу определяется однозначно. Вам только нужно понять, $\arg (-z)$ увеличивается, когда Вы обходите начало координат по часовой стрелке или уменьшается. Этого будет достаточно, чтобы понять, чему он станет равен.

[volchenok]

Цитата:

Вот это откуда Вы взяли?

тогда я не правильно понял это ограничение на логарифм. Я думал задача выбрать ветвь так чтоб всюду где рассматривается интеграл, всюду было все только вещественным, по причине вещественности исходного интеграла.

Цитата:

Вам только нужно понять, $\arg (-z)$ увеличивается, когда Вы обходите начало координат по часовой стрелке или уменьшается.

естественно увеличивается, и как я писал он будет равен $\pi$, а как дальше?

[Otta]

volchenok
Меня всю дорогу разбирает любопытство - как случилось, что Вы стали читать эту статью?

volchenok в сообщении #1526374 писал(а):

тогда я не правильно понял это ограничение на логарифм. Я думал задача выбрать ветвь так чтоб всюду где рассматривается интеграл, всюду было все только вещественным, по причине вещественности исходного интеграла.

Нет, это стандартный способ (один из стандартных) зафиксировать выбор ветви.

volchenok в сообщении #1526374 писал(а):

естественно увеличивается, и как я писал он будет равен $\pi$, а как дальше?

Нет, не естественно. Возьмите отрицательное $z$. Посчитайте аргумент $-z$. Понятно, ноль. Теперь $z$ чуть-чуть сместите по часовой стрелке. Самую малость. Ясно, что аргумент $-z$ изменится незначительно. То есть станет или чуть больше, или чуть меньше нуля. Каким?
Посмотрите, где лежит точка, для которой считаете аргумент.

Дальше попробуйте делать выводы сами.

[volchenok]

Цитата:

Меня всю дорогу разбирает любопытство - как случилось, что Вы стали читать эту статью?

Случайно наткнулся на эту статью в открытом доступе и заинтересовался. Курс ТФКП проходил, а начало статьи оказалось понятным и легким, да и не думаю я что не под силу понять всю статью. Просто временно запутался с выбором веток логарифма. Еще очень сильно запутывает минус перед $z$, ведь получается что в начальной точке стоит $--z$ стоит.

Цитата:

Нет, это стандартный способ (один из стандартных) зафиксировать выбор ветви.

То есть, если бы я наоборот потребовал бы вещественности логарифма для $z$ с противоположным знаком, то это тоже было бы правильным? Ветвь ведь фиксирована.

Цитата:

Теперь $z$ чуть-чуть сместите по часовой стрелке. Самую малость. Ясно, что аргумент $-z$ изменится незначительно. То есть станет или чуть больше, или чуть меньше нуля. Каким?

Я понял, стартовав от положительного числа в сторону отрицательного аргумент будет уменьшаться , по причине того что по часовой стрелке движемся

[Otta]

volchenok в сообщении #1526380 писал(а):

То есть, если бы я наоборот потребовал бы вещественности логарифма для $z$ с противоположным знаком, то это тоже было бы правильным?

Давайте нормально говорить. Для положительных $z$?

volchenok в сообщении #1526380 писал(а):

Я понял, стартовав от положительного числа в сторону отрицательного аргумент будет уменьшаться , по причине того что по часовой стрелке движемся

Мы идем с отрицательной стороны, само $z$ -- отрицательно. Там мы знаем значение аргумента, нам его дали выбором ветви.
Тут все понятно?

Otta в сообщении #1526376 писал(а):

Возьмите отрицательное $z$. Посчитайте аргумент $-z$. Понятно, ноль. Теперь $z$ чуть-чуть сместите по часовой стрелке. Самую малость. Ясно, что аргумент $-z$ изменится незначительно. То есть станет или чуть больше, или чуть меньше нуля. Каким?
Посмотрите, где лежит точка, для которой считаете аргумент.

Вот в точности это и сделайте.

[volchenok]

Цитата:

Давайте нормально говорить. Для положительных $z$?

Да. Это было бы правильным? Ответ не изменился бы?

Цитата:

Мы идем с отрицательной стороны, само $z$ -- отрицательно. Там мы знаем значение аргумента, нам его дали выбором ветви.
Тут все понятно?

Да, я имел в виду уже само выражение $-z$, оно ведь положительно. Да, тут все понятно. Далее двигаясь вдоль разреза аргумент будет постоянным и равняться $\arg(-z)=-\pi$. А дальше как? Стартовать опять из отрицательной точки но уже против часовой стрелки?

[Otta]

volchenok в сообщении #1526382 писал(а):

Да. Это было бы правильным? Ответ не изменился бы?

1) а как Вы будете требовать вещественности $\ln(-z)$ для положительных $z$, если он вещественным быть не может?
2) есть и другое возражение, но бог с ним.
3) да, изменился бы. Я с самого начала говорила - меняете выбор ветви, меняется (вероятнее всего) значение интеграла.

volchenok в сообщении #1526382 писал(а):

Да, тут все понятно. Далее двигаясь вдоль разреза аргумент будет постоянным и равняться $\arg(-z)=-\pi$.

Вдоль разреза не надо двигаться, он не лежит в области. Надо обойти точку ветвления так, чтобы прийти на верхний берег.
Если там у Вас получится $\arg(-z)=-\pi$ - то это правильно.

volchenok в сообщении #1526382 писал(а):

Стартовать опять из отрицательной точки но уже против часовой стрелки?

Если я напишу об этом третий раз, будет убедительней? Что изменится?

[volchenok]

Цитата:

есть и другое возражение, но бог с ним

скажите пожалуйста про возражение, я хочу досконально во всем разобраться. Итак, получается что то как предлагается выбирать ветвь в статье, это единственно возможный способ? Просто еще в самом начале у меня спросили насчет выбора ветви, как она выбирается, вот я и думал что возможны несколько правильных способов.

Цитата:

Вдоль разреза не надо двигаться, он не лежит в области

Не правильно выразился, имел в виду двигаемся вдоль верхнего берега разреза до бесконечности. А вот как дальше?

[Otta]

volchenok в сообщении #1526384 писал(а):

Не правильно выразился, имел в виду двигаемся вдоль верхнего берега разреза до бесконечности.

Лучше не стало.
Это совсем не так, как нужно. Прочитайте, как нужно.

volchenok в сообщении #1526384 писал(а):

скажите пожалуйста про возражение, я хочу досконально во всем разобраться.

Я чуть выше упоминала, что будет проще всем, если сейчас уделять внимание только самому необходимому. Остальное спросите потом. Вот это можно спросить потом.

volchenok в сообщении #1526384 писал(а):

Просто еще в самом начале у меня спросили насчет выбора ветви, как она выбирается, вот я и думал что возможны несколько правильных способов.

Выбирается в зависимости от того, что именно мы хотим посчитать.

-- 17.07.2021, 05:47 --

volchenok
Прошу прощения, я неверно Вас интерпретировала. Да, на верхнем берегу разреза Вы правильно посчитали аргумент, но вроде я уже об этом сказала.
Я думала, Вы все еще заняты процедурой его подсчета. Зачеркнула лишнее.

[thething]

volchenok
Давайте я попробую изложить свою мысль поразвёрнутее (тем более, Вы уже определились с тем, что там на верхнем берегу происходит).

Поскольку контур тут составлен из берегов разреза, то логично выбирать начальное значение логарифма на каком-то из этих берегов. Пусть на верхнем. Чтобы не было путаницы с обозначениями, ветвь логарифма я обозначу $h(z)$. Так вот, что происходит на верхнем берегу -- нам неизвестно, но мы хотим, чтобы именно эти значения были начальными для требуемой по условию задачи ветви логарифма. Тогда при $x>0$ для верхнего берега пишем $h(x)=\ln|-x|+i\varphi_0$, где $\varphi_0\in\operatorname{Arg}(-x)$.

Теперь, чтобы найти значение $h(z)$ в любой другой точке $z$, надо из начальной точки с верхнего берега протянуть кривую в точку $z$ и посчитать приращение аргумента $\Delta_{\Gamma}\arg(-z)$ (на деле -- просто понять, на какой угол поворачивается радиус-вектор $z$ при движении с верхнего берега в точку $z$, на знак минус внимания не обращаем). Заметьте, что неважно, какую из точек на верхнем берегу мы выбираем за начальную, ибо приращение аргумента при движении из точки на верхнем берегу в точку на верхнем берегу равно нулю. После того, как найдено приращение аргумента, получаем значение выбранной ветви логарифма по формуле $h(z)=\ln|-z|+i(\varphi_0+\Delta_{\Gamma}\arg(-z))$.

Чтобы найти $\varphi_0$, и, тем самым, зафиксировать нужную ветвь логарифма, по условию, надо посчитать значение ветви на отрицательной действительной полуоси (в какой конкретно точке -- неважно) и использовать факт, что это значение должно быть действительно. Протягиваем кривую с верхнего берега на отрицательную полуось, получаем $\Delta_{\Gamma}\arg(-z)=\pi$, поэтому при $x<0$ пишем $h(x)=\ln|-x|+i(\varphi_0+\pi)$. Чтобы это было действительным числом, надо потребовать $\varphi_0=-\pi$. После этого про отрицательную полуось можно забыть. Ветвь уже выбрана, и можно, стартуя с верхнего берега разреза, посчитать, что будет на нижнем. По той же самой формуле, используя найденное фиксированное значение $\varphi_0$.

Резюмируя: чтобы найти значение логарифма в произвольной точке $z$, протягиваем кривую от начальной точки на верхнем берегу к точке $z$, вычисляем приращение аргумента (с учётом всех знаков) и подставляем это в формулу $h(z)=\ln|-z|+i(-\pi+\Delta_{\Gamma}\arg(-z))$.

[volchenok]

Всем большое спасибо. Я уже смог получить ответ после последнего сообщения Otta. Как я и говорил, главная сложность в понимании было как раз отличие в алгоритме которому меня учили и тому какой тут нужен. Меня учили что если выбрать контур в виде буквы С с разрезом по положительному лучу то такие интегралы уже однозначны и считаются просто: на верхнем берегу аргумент равен 0, на нижнем $2 \pi$. Оказалось что все сложнее. Сообщение thething тоже понятно. Спасибо Вам.

[Otta]

volchenok
Вы путаете
1) вычисление интеграла от функции с участием $\ln z$, а не $\ln (-z)$, как тут.
2) процедуру вычисления интеграла по положительному участку вещественной полупрямой функции вещественного аргумента с процедурой вычисления интеграла по контуру. Первый может быть выражен через второй, но значение второго зависит от выбора ветви.