Интеграл по контуру

[volchenok]

Здравсвуйте, уважаемые участники форума. Мне нужно посчитать интеграл по контуру, который представляет собой разрез по лучу положительной части оси абсцисс и с вырезанным нулем. Как я это решал. Я разбивал контур на три части: окружность, охватывающая начало координат (интеграл по ней при уменьшении радиуса к 0 стремится к нулю) , верхний берег разреза и нижний берег разреза.

$\int\limits_{C}\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}dz=\int\limits_{C_\varepsilon}\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}dz+\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{i\pi(s-1)}}{e^x-1}dz-\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{3i\pi(s-1)}}{e^x-1}dz=e^{2i\pi s}(e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dz$

однако в ответе другое выражение

$(e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dz$

Подскажите пожалуйста, где я ошибся

-- Вт июл 13, 2021 15:57:02 --

Я допускаю, что я неправильно взял контур. Вот как в условии было написано

"from $+\infty$ to $+\infty$ taken in a positive sense around a domain which includes the value 0 but no other point of discontinuity of the integrand in its interior"

[Otta]

volchenok
С контуром-то все в порядке. А про выбор ветви что сказано?

[volchenok]

Я не знаю, про это вроде бы ничего не сказано, хотя могу предположить, что намек есть в месте, где говорится про логарифм. Вот сама статья

https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... X2oMYUULKn

[thething]

volchenok в сообщении #1525999 писал(а):

Я не знаю, про это вроде бы ничего не сказано, хотя могу предположить, что намек есть в месте, где говорится про логарифм

Да, про это там как раз говорится. Т.е. на верхнем берегу нужно выбрать начальный аргумент $\varphi_0=-\pi$, тогда при движении с верхнего берега на отрицательную действительную полуось приращение $\pi$ уберёт мнимую часть логарифма.

(Оффтоп)

Otta
А куда подевался Ваш удав?

[Otta]

Да, это там и определяется.
Вы выбрали не ту ветвь, а интеграл от многозначной функции может зависеть от выбора ветви.
Выберите ту же, что в статье, и все получится. Видно же, что вся разница - в аргументах.

-- 13.07.2021, 19:27 --

Что, зря писала, что ли ))
Удав умер.

[volchenok]

В моем решении аргумент был равен $\pi$, так как логично что такой же аргумент у $-x$. Почему правильно все-таки брать $-\pi$. Кто такой удав и зачем его убивать?)

[Otta]

volchenok

volchenok в сообщении #1526003 писал(а):

В моем решении аргумент был равен $\pi$,

У чего, у $x$?
$\ln (-z) = \ln |z| + i\arg (-z) + 2\pi i k$
Пусть $z$ - вещественное отрицательное. Какой должна быть мнимая часть логарифма при таком условии, осуществимо ли это и если да, то при каком $k$.
Посмотрите. Если все выйдет, Вы получите нужную ветвь логарифма. С ней и надо работать.

Замечание: фактически все содержание этой темы сводится к тому, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
И возне с логарифмом: его надо правильно продолжить вплоть до границы.

[volchenok]

Да, у $x$. Ну Вы обозначили это $z$, пусть так. Тогда в это случае получаем

$\ln(-z)=\ln|z|+i\arg(-z)+2\pi ik=\ln|z|+i\pi+2\pi ik$ Соответственно выбор нужной ветви, это выбор $k$. Каким его нужно выбрать и из каких соображений?

И о каком условии Вы написали в

Цитата:

Какой должна быть мнимая часть логарифма при таком условии

[Otta]

volchenok в сообщении #1526062 писал(а):

И о каком условии Вы написали в

Перечитайте условия, наложенные на выбор ветви логарифма. Я о них. (Других-то и нету.)

volchenok в сообщении #1526062 писал(а):

$\ln(-z)=\ln|z|+i\arg(-z)+2\pi ik=\ln|z|+i\pi+2\pi ik$

$z$ - вещественное отрицательное! Внимательнее.

На самом деле, thething очень хорошо все сказал, но почему-то не легло. Попробуйте перечитать и вдуматься.

[volchenok]

Извините, что отвечаю не сразу. Пытался сам разобраться но до конца так и не разобрался. Меня вообще изначально запутала многозначность. Дело в том, что в курсе функций комплексного переменного у нас все наборот было: сначала брался контур, а потом шло интегрирование и сам выбор контура был обусловлен тем, чтобы убрать многозначность. А тут как-то по-другому. Берут контур, но ветку выбирают так, чтоб логарифм был только вещественным. Вопрос - почему и зачем?

Насколько я понял, то условие выбора ветви логарифма это его вещественность, прав ли я? и если да, то почему оно такое?

Цитата:

$z$ - вещественное отрицательное! Внимательнее.

А где я ошибся? Насколько я помню курс ТФКП, то для таких чисел как раз $\arg(z)=\pi$, разве нет?

То что написал thething не легло потому, что учили меня, что после выбора контура уже все однозначно, а тут контур вроде как выбран, а у нас еще стоит вопрос выбора ветвей логарифма.

[Otta]

volchenok в сообщении #1526180 писал(а):

то для таких чисел как раз $\arg(z)=\pi$,

А там чего аргумент?

-- 15.07.2021, 16:12 --

volchenok
Давайте я буду (или не я) отвечать пока только на те Ваши вопросы, которые имеют прикладное значение, т.е. нужны для решения задачи. Если потом понадобится, Вы сможете задать остальные.

[volchenok]

Цитата:

А там чего аргумент?

А там $-z$. Так получается под логарифмом стоит положительное вещественное число? А из-за чего тогда весь сыр-бор? Ведь логарифм положительного вещественного числа всегда однозначен.

[Otta]

Почему это однозначен? А куда тогда денется добавок $2\pi i k$? Не забудьте про него. И про выбор $k$ так, чтобы выполнялось единственное условие на логарифм. Выбрали, потом можно заниматься уже выбранной ветвью дальше.

[volchenok]

Да, вы правы. Забыл за эту добавку. Условие на логарифм, насколько я понял это его вещественность. Почему именно она?

[Otta]

volchenok
Так определили ветвь для подынтегральной функции. Работают с нею.

У Вас сейчас вопрос из серии: вот интеграл $\int_0^1 x^2\, dx$. Почему именно $x^2$?