Размышления о ВТФ для Р = 3

[vasili]

Уважаемый ananova! Если Вы нашли, что равенство (12) получено ошибочно, то укажите на ошибку.Зачем искать другие равенства, тем более с использованием числа x, от которого освобождено равенство (12).

[ananova]

Уважаемый, vasilii!

(Оффтоп)

с Новым годом!

С уравнением (12) все в порядке и оно справедливо. Зачем искать другие равенства? Вы спрашиваете. Ответ - для перепроверки.

[ananova]

lasta прав, - уравнение (12) получается в три строчки без треугольных чисел, поэтому важно проверить последующий анализ с привлечением числа $k$.

-- Пт янв 01, 2016 13:08:47 --

Попробую дать другое толкование результату после перепроверки...

[ananova]

Обнаружил, на мой взгляд, неточность

vasili в сообщении #1085705 писал(а):

4. Из (13) с учетом (14) следует

$y = (k + 1) p_1p_2….p_i….p_s$, тогда (13) будет

$$y-x_1 =(k +1) p_1p_2….p_i….p_s - k p_1p_2….p_i….p_s = = p_1p_2….p_i….p_s\engo(15)$$

По-моему, должно быть так:

$$y-x_1 =(p_1p_2….p_i….p_s)^3\engo(15)$$

Т.к. $z-x=y+1-(x_1+1)$ является кубом, то и $y-x_1$ есть этот же куб.

В связи с этим непонятно, почему $y=(k+1)p_1p_2….p_i….p_s$?

[vasili]

Размышление о ВТФ для n = 3
I.
1.Пусть существуют натуральные, попарно взаимно простые числа $x,y$ и z, удовлетворяющие уравнению

$x ^ 3 + y ^ 3 - z ^ 3 = 0\engo (1) $.

Пусть $(z, 3) = 3\engo (2)$ и $(z, x)$ - числа нечетные.

2. Из чисел $(z, x)$ составим трехчлен

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\engo (3)$ - число нечетное.

3. Найдем вид простых делителей трехчлена (3)

3.1. В силу (2) и взаимной простоте чисел $(z, x)$
простое число 3 не может быть делителем трехчлена (3)

3.2. Покажем, что простые числа вида $(6n + 5)$ так же не могут быть делителями трехчлена (3).
Пусть $p_1 = 6n +5$ делитель трехчлена (3), тогда будет справедливо сравнение

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv z ^ 3 + x ^ 3\equiv 0\mod p_1\engo (4) $, отсюда

$z ^ 3\equiv - x ^ 3\mod p_1\engo (5) $.

Благодаря МТФ имеем

$z ^ {6n + 4} - x ^ {6n + 4} = (z ^ 3) ^ {2n + 1} z - (x ^ 3) ^ {2n +1} x\equiv 0\mod p_1 $, отсюда с учетом (5) имеем

$(z ^ 3) ^ {2n + 1} (z + x)\equiv 0\mod p_1 $, так как $(z , p_1) = 1$, [в противном случае из (4) следует, что и x делится на $p_1$, что противоречит взаимной простоте чисел z и x], то

$(z + x)\equiv 0\mod p_1\engo (6) $.

3.3. После преобразования левой части сравнения (4) получим

$(z + x) ^ 2 -3z x\equiv 0\mod p_1$, отсюда с учетом (6) имеем

$3z x\equiv 0\mod p_1$, что не возможно.
Пришли к противоречию.
Следовательно, простые числа $p_1 = 6n + 5$ не могут быть делителями трехчлена (3).

4. Тогда в силу того, что трехчлен (3) число нечетное, то делителями трехчлена (3) могут быть простые числа вида $6n +1$.
II.
5. Далее в рассуждениях используем метод сравнения чисел по модулю (метод Гаусса) и в качестве модуля возьмем делитель трехчлена (3), т.е. простое число $p_2 = 6n +1$.

Очевидно, будут справедливы, следующие сравнения

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\equiv z ^ 3 +x ^ 3\equiv 0\mod p_2\engo (7) $,

$(z + x)\not\equiv 0\mod p_2\engo(7a)$

$x ^ 3 + y ^ 3 - z ^ 3\equiv 0\mod p_2\engo (8) $.

6. Рассмотрим некоторые свойства сравнения (7) и формул Абеля для числа y

Пусть $y = u_1d_1$, где $d_1 ^ 3 = z - x\engo (9) $, а

$u_1 ^ 3 = z ^ 2 + z x + x ^ 2\engo (10) $

Сравним равенство (10) по модулю $p_2$, предварительно преобразовав его
$u_1 ^ 3\equiv (z ^ 2 - z x + x ^ 2) + 2 z x\mod p_2 $,

отсюда с учетом сравнения (7) имеем

$u_1 ^ 3\equiv 2 z x\mod p_2\engo (11) $.

Возведем сравнение (11) в степень $2n$ – делитель числа $(p_2 - 1) = 6n + 1 - 1 = 3(2n)$ - получим

$u_1 ^ {6n}\equiv 2 ^ {2n}(z x) ^ {2n}\mod p_2 $, отсюда с учетом МТФ
$2 ^ {2n} (z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (12) $.

Покажем, что $(z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $.

Из (7) следует $z (z - x)\equiv - x ^ 2\mod p_2$, а

умножая на x и возводя, это сравнение в степень $2n$ и, учитывая

равенство (9) - формулу Абеля $(z - x) = d_1 ^ 3 $ имеем

$(z x) ^ {2n}(d_1 ^ 3) ^ {2n}\equiv (-x ^ 3) ^ {2n}\mod p_2 $, отсюда

с учетом МТФ

$(z x) ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (13) $,

тогда из (12) с учетом (13) следует, что

$2 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2\engo (14) $.

[Условию (14) удовлетворяют не все простые числа вида $6n + 1$.
Так простые числа 7, 13, 19, 37,…, не удовлетворяют условию (14), а простые числа 31, 43,109, 127, 157,229 этому условию удовлетворяют.]
III.
3.1. Введем «Допущение», а именно:

$3 ^ {2n}\equiv m_1\mod p_2 $ или

$3 ^ {2n}\equiv m_2\mod p_2\engo (15) $,

где $m_1$ и $m_2$ вычеты, принадлежащие системе наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$ и, принадлежащие показателю 3 по модулю $p_2$. Таких вычетов только 2(два), так как $\varphi (3) = 2 $.

Это «Допущение» не имеет пока доказательства в общем виде.
Однако оно подтверждается на частных примерах.
Примеры:
$3 ^ {2n} = 3 ^ {10}\equiv (m_2 = 25)\mod 31 $. [m_1 = 5].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {14}\equiv (m_2 = 36)\mod 43 $. [m_1 =6].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {36}\equiv (m_2 = 63)\mod 109 $. [m_1 = 45].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {42}\equiv (m_2 = 107)\mod 127 $. [m_1 =19].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {52}\equiv (m_2 = 144)\mod 157 $. [m_1 = 12].
$3 ^ {2n} = 3 ^ {76}\equiv (m_2 = 134)\mod 229 $. [m_1 = 94].
3.2. Свойства вычетов $m_1$ и $m_2$.
--$m_1^3 - 1\equiv 0\mod p_2\engo (16)$,
--$m_1^3 - 1\equiv 0\mod p_2\engo(17) $,
--$m_1m_2\equiv 1\mod p_2\engo(18)$,
--$m_1^2\equiv m_2\mod p_2\engo(19) $,
--$m_2^2\equiv m_1\mod p_2\engo(20) $,
--$m_1 + m_2 + 1\equiv 0\mod p_2\engo(21) $.

3.3. Ниже нас будет интересовать, какие наименьшие натуральные вычеты чисел $(z,x)$ по модулю $p_2$ будут удовлетворять сравнению (7).
Пусть, $M = {1, 2,3,..,m_1,..,m_2,.. …,(p_2-1)}$ - система наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$, где
$p_2 - 1 =6n = 3(2n) $ и где $m_2 > m_1$.

3.4. Пусть
$z\equiv m_2\mod p_2 $ , а $x\equiv m_1\mod p_2 $,тогда (7)

$z^3 + x^3\equiv m_2^3 + m_1^3\equiv (1 +1) =2\equiv 0\mod p_2 $,
что невозможно. Пришли к противоречию. Вычеты чисел $(z,x)$
не могут быть равными вычетам $m_1$ и $m_2$.

3.5. Так как простое число $p_2$ является делителем трехчлена (3), то тогда должны существовать вычеты, принадлежащее системе наименьших натуральных вычетов по модулю $p_2$ такие, что удовлетворяют сравнению (7).

Такими вычетами будут
$m_2 + 2$, $m_1 + 2$ или $m_2 - 1$, $m_1 - 1$.
В самом деле, пусть
$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $, тогда

с учетом этого сравнение (7) будет

$(m_2 + 2) ^ 2 - (m_2 +2) (m_1 + 2) + (m_1 +2) ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, отсюда
с учетом (18),(19) и (20) имеем

$m_1 +4m_2 +4 - 1 -2(m_1 + m_2) - 4 + m_2 + 4m_1 + 4\equiv 0\mod p_2 $,
отсюда с учетом (21) будет

$3(m_1 + m_2) + 3 = -3 + 3\equiv 0\mod p_2 $.

Вывод: вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ удовлетворяют сравнению(7).

Пусть теперь

$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $, тогда

с учетом этого сравнение (7) будет

$(m_2 - 1) ^ 2 - (m_2 - 1) (m_1 - 1) + (m_1 - 1) ^ 2\equiv 0\mod p_2 $, отсюда

с учетом (18),(19) и (20) имеем

$m_1 -2m_2 + 1 -1 + m_2 + m_1-1 + m_2 -2m_1 +1\equiv 0\mod p_2 $,
отсюда
$(2m_1 - 2m_1) + (2 - 2) + (2m_2 - 2m_2)\equiv 0 \mod p_2 $.

Вывод: вычеты $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ удовлетворяют сравнению (7).

3.6. Однако вычеты, удовлетворяющие (7), не удовлетворяют формулам Абеля - равенствам (9) и (10).

Покажем, что вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ и $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ не удовлетворяют сравнению $2z x\equiv u_1^3\mod p_2\engo(11) $.
Сравнение (11) с учетом вычетов, удовлетворяющих (7) будет

$2(m_2 +2) (m_1 + 2)\equiv u_1^3\mod p_2 $,

$2(m_2 - 1) (m_1 - 1)\equiv u_1^3\mod p_2 $,

отсюда с учетом (18),(19) и (20) имеем

$2[1 + 2(m_2 + m_1) + 4]\equiv 2(1 - 2 + 4)\equiv 2(3)\equiv u_1^3\mod p_2 $, а

для вычетов $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ с учетом (21) будет

$2[1 - (m_2 + m_1) +1] = 2(1 + 1 +1)\equiv 2(3)\equiv u_1^3\mod p_2$.

И после возведения полученных сравнений в степень $2n$ имеем

$2 ^ {2n}3 ^ {2n}\equiv (u_1 ^ 3) ^ {2n}= u_1 ^ {6n}\equiv 1\mod p_2 $,отсюда

c учетом (14) имеем

$3 ^ {2n}\equiv 1\mod p_2 $,

что не возможно. Противоречит «Допущению».

3.7. Покажем что вычеты $m_2 + 2$, $m_1 + 2$ и $m_2 - 1$, $m_1 - 1$ не удовлетворяют равенству $z - x =d_1^3$ (9).
Пусть
$z\equiv (m_2 + 2)\mod p_2 $ или$z\equiv (m_2 - 1)\mod p_2 $,

$x\equiv (m_1 + 2)\mod p_2 $ или $x\equiv (m_1 - 1)\mod p_2 $.

Сравним равенство (9) по модулю $p_2$

$z - x\ equiv d_1^3\equiv (m_2 +2(-1) - m_1 – 2(-1))\equiv m_2 - m_1\mod p_2$,

отсюда с учетом (21) [-m_1 = m_2 + 1] имеем

$z - x= d_1^3\equiv 2m_2 +1\mod p_2 $,
Возведем полученное сравнение в 2-ю степень и учитывая (7) получим

$(z^2 - z x + x^2) - z x\equiv (4m_2^2 +4m_2 +1 + 3) - 3\mod p_2$,
отсюда с учетом (21)
$z x\equiv 3\mod p_2 $, полученное сравнение возведем в степень

$2n$, а с учетом (13) получим

$(z x)^{2n}\equiv 1\equiv 3^{2n}\mod p_2 $, что не возможно. Противоречит «Допущению».

Вывод: Равенства (9) и (10) – формулы Абеля не справедливы, а следовательно и равенство (1) не справедливо, что и требовалось доказать.
Надеюсь, что участники Форума помогут мне доказать справедливость «Допущения», т.е. сравнения
$3^{2n}\equiv m_1\mod p_2 $ или $3^{2n}\equiv m_2\mod p_2 $, где $p_2 = 6n + 1$ такое простое число, для которого справедливо сравнение
$2^{2n}\equiv 1\mod p_2 $.

[Valprim]

vasili в сообщении #1512557 писал(а):

3.6. Однако вычеты, удовлетворяющие (7), не удовлетворяют формулам Абеля - равенствам (9) и (10).

Как я понял, на трином (7) не накладываются ограничения, связанные с тем, что $x+y$ - куб. Но в противном
случае трином может быть кубом. $39^3+52^3=(39+52)\cdot 13^3$.
Поэтому не понятно какие противоречия возникают при анализе данного тринома.

[Valprim]

Простите. С этим примером я ошибся. Числа не взаимно простые. Поэтому другой, $17^3+53^3=(17+53)\cdot 13^3$.

[vasili]

Уважаемый Valprim! Сумма кубов $z^3 + x^3\equiv 0\mod p_2$. Ваш пример не удовлетворяет этому условию.

[Valprim]

vasili в сообщении #1522702 писал(а):

Сумма кубов $z^3 + x^3\equiv 0\mod p_2$. Ваш пример не удовлетворяет этому условию.

Почему не удовлетворяет? $17^3+53^3 =70\cdot 13^3 \equiv 0 \mod 13; \qquad 13=6\cdot 2+1= p_2$.

[vasili]

Уважаемый Valprim! Простое число 13 не удовлетворяет условию $2^{2n} \equiv 1\mod 13$, где $2n = (13 -1)/3 = 4$.
$2^4=16\equiv 3\mod 13$.

[Valprim]

vasili в сообщении #1512557 писал(а):

2. Из чисел $(z, x)$ составим трехчлен

$z ^ 2 - z x + x ^ 2\engo (3)$ - число нечетное.

Этот трином не вытекает из уравнения Ферма. Есть $y ^ 2 - y x + x ^ 2$. И если во всех ваших формулах заменить $z$ на $y$, то противоречия исчезают. Поэтому и числовой пример приведен для суммы $X^3+Y^3$.
МТФ применяется к преобразованиям тринома не из Уравнения Ферма. Сделанные выводы из этого не могут относится к Уравнению Ферма.

[vasili]

Уважаемый Valprim! Трином $z^2 -z x + x^2$ образован на нечетных числах$(z,x)$, удовлетворяющих равенству $x^3 + y^3-z^3 = 0$. Простыми делителями тринома показано являются числа $p_2 = 6n +1$, которые удовлетворяют условию $2^{2n}\equiv 1\mod p_2$. Мною найдено 7 таких чисел:31,43,109,127,157,223,229.

[Valprim]

vasili в сообщении #1522881 писал(а):

Трином $z^2 -z x + x^2$ образован на нечетных числах$(z,x)$, удовлетворяющих равенству $x^3 + y^3-z^3 = 0$.

Но это не по (1). Пусть на нечетных числах $(z,x)$. По (1), $z^3-x^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)$. Тогда

$$z^3 \equiv x^3 \mod p_1 \qquad (5)$$

И ничего этого

vasili в сообщении #1512557 писал(а):

Благодаря МТФ имеем

$z ^ {6n + 4} - x ^ {6n + 4} = (z ^ 3) ^ {2n + 1} z - (x ^ 3) ^ {2n +1} x\equiv 0\mod p_1 $, отсюда с учетом (5) имеем

$(z ^ 3) ^ {2n + 1} (z + x)\equiv 0\mod p_1 $, так как $(z , p_1) = 1$, [в противном случае из (4) следует, что и x делится на $p_1$, что противоречит взаимной простоте чисел z и x], то

$(z + x)\equiv 0\mod p_1\engo (6) $.

3.3. После преобразования левой части сравнения (4) получим

$(z + x) ^ 2 -3z x\equiv 0\mod p_1$, отсюда с учетом (6) имеем

$3z x\equiv 0\mod p_1$, что не возможно.

уже не получится.

[vasili]

Уважаемый Valprim! Я не понимаю Ваши вопросы. Причем здесь $z^3 -x^3\equiv 0\mod p_1&$

[Valprim]

Уважаемый vasili,
Должен признать, что я не внимательно отнёсся к вашим рассуждениям. Вы используете трином $z^2-xz+x^2$ просто как нечетное число, не объявляя его кубом. Не является кубом у Вас и сумма $z+x$. Поэтому такой подход допустим.
И я снимаю вопросы по этому злополучному для меня триному.