Множества и объекты

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521587 писал(а):

Но хотелось бы заметить, что в фигурных скобках могут стоять не только переменные, но и постоянные.

В теории формальных языков вместо «постоянное обозначение» говорят «литерал». Постоянное обозначение чисел — «числовой литерал».

Vladimir Pliassov в сообщении #1521587 писал(а):

И также

beroal в сообщении #1521502

писал(а):
понятно, что $\{1, 1, 2\} = (\{1\}\cup \{1\})\cup \{2\} = \{1\}\cup \{2\} = \{1, 2\}$.
Но в отношении переменных дело обстоит несколько сложнее.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521587 писал(а):

А когда мы видим запись $X=\{a, b, c, d, e\}$, мы видим, что мощность множества $X$ может быть от $1$ до $5$, из каких же именно об'ектов оно может состоять прямо зависит от того, какие значения могут принимать переменные $a, b, c, d, e$.

Совершенно верно.

-- Пн июн 07, 2021 22:50:11 --

Nemiroff в сообщении #1521559 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521168 писал(а):

$a, b= 0\vee a, b=1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

Что вы тогда тут голову всем морочите? 9 страниц бессмыслицы.

По-моему, в ответе Vladimir Pliassov ошибка.

-- Пн июн 07, 2021 22:54:33 --

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$ Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.

Я тоже плохо понимаю. У вас $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ — это литералы или переменные?

[Vladimir Pliassov]

beroal в сообщении #1521687 писал(а):

В теории формальных языков вместо «постоянное обозначение» говорят «литерал». Постоянное обозначение чисел — «числовой литерал»..

Возьму на вооружение.

beroal в сообщении #1521687 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521168 писал(а):

$a, b= 0\vee a, b=1\Rightarrow \vert \{0,1,\pi,a,b\}\vert=4$,

По-моему, в ответе Vladimir Pliassov ошибка.

Точно! Должно быть три.

beroal в сообщении #1521687 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$ Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.

Я тоже плохо понимаю. У вас $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ — это литералы или переменные?

Это мне дали задание, но я там потом дописал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1521676 писал(а):

Есть ли указание, что $\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это разные множества?

Или в записи $\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521695 писал(а):

Возьму на вооружение.

Категорически не советую. В математике термин "литерал" не употребляется, и у Вас появится лишний повод для путаницы и недоразумений. В формальных теориях термы (имена объектов) могут быть переменными или постоянными (константами). Константа обозначает конкретный объект, переменная — произвольный. В частности, множество $\{x\}$, где $x$ — переменная, не является каким-то конкретным множеством, и без дополнительной информации о нём ничего сказать нельзя. Это просто произвольное одноэлементное множество. А $x$ не является конкретным элементом, и о нём тоже без дополнительной информации ничего сказать нельзя.

[tolstopuz]

beroal в сообщении #1521687 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$

Я тоже плохо понимаю. У вас $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ — это литералы или переменные?

Это цитата из книги "Топология без слез", я специально привел ее без комментариев.

-- Вт июн 08, 2021 00:19:53 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1521676 писал(а):

если $a=b=c=d=e$

Я специально дал этот пример. Фраза "Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$" стоит в самом начале рассуждения, и автор надеялся, что все читатели однозначно поймут его мысль.

[beroal]

tolstopuz в сообщении #1521704 писал(а):

Это цитата из книги "Топология без слез", я специально привел ее без комментариев.

Посмотрел, что в книге написано. Автор не уточнил, что в этих примерах строчные латинские буквы есть литералы. Причём в дальнейших примерах — переменные. Но не преминул сказать о важности доказательств. Смеётся он над читателями что ли. Ну да, топология без слёз…

Someone в сообщении #1521703 писал(а):

Категорически не советую. В математике термин "литерал" не употребляется, и у Вас появится лишний повод для путаницы и недоразумений.

Судя по английской википедии, константами могут называть и то и сё, например, постоянную функцию или коэффициенты многочлена. Честное слово, термин «литерал» мне кажется лучше.

[Someone]

(beroal)

beroal в сообщении #1521711 писал(а):

константами могут называть и то и сё, например, постоянную функцию или коэффициенты многочлена.

Никогда не испытывал никаких неудобств в связи с этим. Более того, в алгебре константы могут считаться нульарными операциями, а в математической логике — функциями с нулевым числом аргументов. Это ничему не мешает, а иногда удобно.

beroal в сообщении #1521711 писал(а):

Честное слово, термин «литерал» мне кажется лучше.

Убедите в этом всех математиков. "Литерал" — термин из программистской области деятельности, а не из математической.

[Vladimir Pliassov]

Глядя на запись множества, невозможно увидеть его мощность, но она ведь должна как-то определяться при постановке задачи? Или нет?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521714 писал(а):

в топологии при постановке задачи должно указываться, все ли элементы множества $X$ различны?

Вам 9 страниц в предыдущей теме и 9 страниц в этой теме втолковывали, что в множестве не бывает одинаковых элементов, и Вы опять спрашиваете то же самое?

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1521704 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521676 писал(а):

если $a=b=c=d=e$

Я специально дал этот пример. Фраза "Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$" стоит в самом начале рассуждения, и автор надеялся, что все читатели однозначно поймут его мысль.

Так как же понять его мысль? Что $\vert X\vert=5$?

Или это не имеет значения?

Someone в сообщении #1521715 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1521714 писал(а):

в топологии при постановке задачи должно указываться, все ли элементы множества $X$ различны?

Вам 9 страниц в предыдущей теме и 9 страниц в этой теме втолковывали, что в множестве не бывает одинаковых элементов, и Вы опять спрашиваете то же самое?

Это я спросонья. Я имел в виду, что $\vert X\vert=5$.

Предыдущее сообщение переделал.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
То есть вопрос Ваш вот в чём.
В какой-то книге Вы встречаете обозначение $X=\{a,b,c,d,e\}$. И спрашиваете: верно ли, что $|X|=5$?
Тут такое дело.
Чисто логически, из записи $X=\{a,b,c,d,e\}$ не вытекает, что $|X|=5$.
Но надо смотреть контекст. Вполне может быть, что автор, определяя $X$ как $\{a,b,c,d,e\}$ и ничего до этого момента про элементы $a,b,c,d,e$ не говоря, подразумевает, что элементы эти попарно различны, и тогда $|X|=5$.
А может, не подразумевает. Книгу я не смотрел.
Авторы - тоже люди, и математический текст редко бывает совершенно идеально строгим.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521714 писал(а):

А, вообще, в топологии при постановке задачи должно указываться, все ли элементы множества $X$ различны?

Когда дети играют в песочнице, они могут взять синюю формочку, красную формочку, ведерко, совочек и шагающий экскаватор и начать играть в какую-нибудь игру. Они очерчивают себе вселенную, в которой дальше будет развиваться игра. Фразой "Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$" автор делает примерно то же самое. Если рассказ начинается с $a,b,c,d,e$, которые потом будут совпадать, я заподозрю автора в злонамеренности и желании запутать.

Совсем другая ситуация в примере из Ленга, где вначале дано множество $S$, из которого потом выбираются $x$ и $y$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1521717 писал(а):

Чисто логически, из записи $X=\{a,b,c,d,e\}$ не вытекает, что $|X|=5$.
Но надо смотреть контекст.

Спасибо, понятно. А такой вопрос:

В записи $\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521720 писал(а):

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

Вы говорите какие-то непонятные слова. Смотрите на жизнь проще.

Мы общими усилиями выяснили, что $|X|=5$ и $a,b,c,d,e$ попарно различны. Задайте себе несколько вопросов и ответьте на них.

Верно ли, что $\{a\}=\{c,d\}$? Почему?
Верно ли, что $\{a\}=\emptyset$? Почему?
Верно ли, что $\{a,c,e\}=\{b,c,d\}$? Почему?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521720 писал(а):

$\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}$ это не обозначения элементов множества $\mathcal T_2$, а сами элементы, и потому они различны по определению?

Строго говоря, всё, что написано на бумаге - это только обозначения)
И если, например, $a=b=c=d=e$, то $X=\{a,b,c,d,e\}=\{a\}$ и $\{X,\varnothing,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}=\{X,\varnothing\}$.
Но наверняка, всё это пишется в неявном предположении, что элементы $a,b,c,d,e$ (если быть дотошным, то элементы с именами $a,b,c,d,e$, но такая дотошность не обязательна) попарно различны.

(Оффтоп)

Такое пустое множество $\varnothing$ красивее, чем такое $\emptyset$ и даже чем такое $\oslash$.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

Верно ли, что $\varnothing$ - это не обозначение множества, а само множество?
Верно ли, что $2$ - это не обозначение числа, а само число?
Верно ли, что стол - это не обозначение стола, а сам стол?