Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями

[sup]

Padawan в сообщении #1520627 писал(а):

Поясните, пожалуйста, для тупых, что дают эти равенства (проинтегрированные)?

Можно так.

$$ x \sim \cos t + \lambda v(t), \quad y \sim \sin t + \lambda u(t). $$

$$ x(2\pi) \sim 1 + \lambda v(2\pi), \quad y(2\pi) \sim \lambda u(2 \pi). $$

Имеем $x(0) = 1, y(0) = 0$. Значит после интегрирования тех самых равенств

$$ u(2\pi) = u(0) = 0, \quad v(2\pi) = v(0) + \dots. $$

После чего видно, что там происходит с координатой $x$.

На самом деле можно обойтись только вторым равенством. Положим

$$ J(\lambda) = \int \limits_0^{2\pi}(x^2(t) + y^2(t))\, dt. $$

Тогда

$$ J'(0) = 2\int \limits_0^{2\pi}(v(t)\cos t + u(t)\sin t)\, dt = \dots $$

Отсюда видно, как меняется энергия после одного оборота вокруг центра.
А вообще, как уже указал GAA, это т.н. ляпуновские величины. Можно поискать в литературе указания как ими лучше всего воспользоваться.

[Padawan]

GAA в сообщении #1520693 писал(а):

Следовательно:
если $L_1 <0$, т.е. $a+b <0$, то точка покоя — устойчивый фокус;
если $L_1 >0$, т.е. $a+b >0$, то точка покоя — неустойчивый фокус;
если $L_1 =0$, то требуется рассмотреть $L_2 $ и возможно величины более высокого порядка.

А разве нельзя в третьем пункте сразу сделать вывод, что траектории замкнутые? При непрерывном изменении параметров они же обязаны замкнуться, переходя от закручивающихся траекторий к раскручивающимся.

[GAA]

Чтобы точка покоя была центром — все ляпуновские величины должны быть равны нулю.
Из старых книг см, например,
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (djvu);
Баутин Н.Н, Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. (pdf).

[upd] Из этого бесконечного числа величин конечная часть является существенными (остальные равны нулю, если существенные равны нулю), но определение верхней границы числа существенных ляпуновских величин и указание конкретных индексов этих существенных величин — вроде бы является открытой проблемой («проблема центра и фокуса»).[/upd]

-- Wed 02.06.2021 15:28:49 --

Padawan в сообщении #1520866 писал(а):

При непрерывном изменении параметров они же обязаны замкнуться, переходя от закручивающихся траекторий к раскручивающимся.

Не знаю.

-= Добавлено =-

Вот довольно очевидная и неинтересная модификация примера сообщения post1520337.html#p1520337:

$\dot x =\varepsilon x - y - x^3$, $\dot y = x + \varepsilon y - y^3.$

• при $\varepsilon > 0$ — неустойчивый фокус;
• при $\varepsilon < 0$ — устойчивый фокус;
• при $\varepsilon = 0$ — устойчивый фокус. (Но можно очевидным способом подобрать константы и будет неустойчивый фокус или центр.)

Вложение:

Комментарий к файлу: Фазовые кривые для трёх значений параметра

spiral.PNG [ 20.53 Кб | Просмотров: 0 ]

Редактирование: исправлена опечатка ($\dot y = x - \varepsilon y - y^3$ на $\dot y = x + \varepsilon y - y^3$)

[Red_Herring]

А вот в примере (я проверил с https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html, без обоснования)

$$ \left\{\begin{aligned} &x' = -y +\varepsilon x+ax^3,\\ &y'=\hphantom{-} x-\varepsilon y +b y^3 \end{aligned}\right. $$

выводы моей первоначальной задачи с $\varepsilon=0$ (устойчивый фокус при $a+b<0$, неустойчивый фокус при $a+b>0$, центр при $a+b=0$) сохраняются при $|\varepsilon|<1$.

[GAA]

Выше я привёл очевидный пример, когда устойчивый грубый фокус ($\varepsilon < 0$) становится негрубым устойчивым фокусом ($\varepsilon = 0$), а затем грубым неустойчивым ($\varepsilon > 0$), поскольку считать ничего не надо. (Необходимое уже получено в ветке.)
Вот ещё пример. При $a+b=0$ первая ляпуновская величина в случае

$\dot x = -y +ax^3$, $\dot y = x +by^3 + y^5$

равна нулю, а вторая не равна. При $a+b=0$ начало координат не центр, а фокус.

Red_Herring в сообщении #1520971 писал(а):

А вот в примере (я проверил с https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html, без обоснования)...

В «канонической форме» система будет иметь вид

$\dot u = - \varepsilon v +a u^3$, $\dot v = \varepsilon u +b v^3.$

Заменой независимой переменной, а затем изменением обозначений параметров $a$ и $b$ система приводится к исходной системе, с $\varepsilon = 0$. Так что системы — качественно эквивалентны, при $|\varepsilon| < 1$.

[Red_Herring]

GAA в сообщении #1521121 писал(а):

В «канонической форме» система будет иметь вид

А что такое «каноническая система»? Та, которая получена линейной заменой (и перемасштабированием по $t$)? Тогда, будет

$$ \left\{\begin{aligned} &x' = -y + a (\cos(\alpha) x-\sin(\alpha)y )^3,\\ &y'=\hphantom{-} x+b (\sin(\alpha) x )+\cos(\alpha)y) ^3 \end{aligned}\right. $$

т.е. третьи степени запутываются. Конечно, можно попробовать добавить нелинейную замену, и доказать, что можно избавиться также и от высших степеней, оставив лишь два куба

[GAA]

GAA в сообщении #1521121 писал(а):

В «канонической форме» система будет иметь вид

$\dot u = - \varepsilon v +a u^3$, $\dot v = \varepsilon u +b v^3.$

Ошибка. Должно быть

$\dot u = - \sqrt {1-\varepsilon^2} v + \ldots, $\dot v = \sqrt{1-\varepsilon^2} u + \ldots.$

Дальше, да, не упрощается: будут кубы линейной комбинации $u$ и $v$.
В лоб считать ляпуновские величины будет утомительно.

-- Fri 04.06.2021 19:32:12 --

Я о линейной замене думал. Просто так не получится.

[GAA]

Если не ошибся повторно (завтра проверю), то

$$\dot u = -\sqrt{1-\varepsilon^2} v + \frac {(1-\varepsilon^2)^{3/2}au^3 + 3a\varepsilon (1-\varepsilon^2)u^2 + 3a\sqrt{1-\varepsilon^2}\varepsilon^2uv^2 + (a\varepsilon^2-b) \varepsilon v^3} {(1 - \varepsilon^2)^{3/2}},$$

$$\dot v = \sqrt{1-\varepsilon^2}u+ \frac b {1-\varepsilon^2} v^3.$$

$$L_1 = \frac 3 4 \frac {\pi (a+b)} {(1-\varepsilon^2) \sqrt {1-\varepsilon}}.$$

Таким образом, если $a+b \ne 0$, то результаты, как в случае $\varepsilon = 0$. Если $a+b = 0$, то требуется дополнительное исследование.

[Red_Herring]

Если $a=-b=-1$ (конкретное положительное значение, очевидно, неважно), то

$$\begin{align} &\frac{dx}{-y+\varepsilon x-x^3}=\frac{dy}{x-\varepsilon y+y^3}\\ \implies &(x-\varepsilon y-y^3)dx +(y-\varepsilon x-x^3)\,dy=0\\ \implies &\frac{(x-\varepsilon y-y^3)dx +(y-\varepsilon x-x^3)\,dy}{(1+xy)^3}=0\\ \implies &H(x,y):=\frac{x^2+y^2-\varepsilon}{2(1-xy)^2}=C \end{align}$$

с тем же интегрирующим фактором, что и при $\varepsilon=0$.

Разумеется, это работает при любом $\varepsilon$, но если мы рассмотрим $H(x,y)-H(0,0)=\dfrac{x^2+y^2-2\varepsilon xy + \varepsilon x^2y^2}{2(1-xy)^2}$, то увидим, что только при $|\varepsilon|<1$ будет невырожденный минимум в $0$, а при $|\varepsilon|>1$ будет невырожденное седло. А вот при $\varepsilon=1$ будет вырожденный минимум, а при $\varepsilon=-1$ вырожденное седло, и действительно, в первом случае у системы ДУ будет центр, а во втором седло (вырожденные).

[krum]

Вопрос об устойчивости нуоевого решения системы

$$ \left\{\begin{aligned} y'=&\hphantom{-}x + f(x,y),\\ x'=&-y +g(x,y), \end{aligned}\right. $$

где $f,g=O(x^2+y^2)$ -голоморфны в нуле,
решается полностью.
В полярных координатах в окрестности нуля эта система приводится к виду

$$\frac{dr}{d\varphi}=\lambda r^m(1+u(r,\varphi)),\quad |u|\le c r,\quad m\in\{2,3,\ldots\},\quad r(0)=r_0>0.$$

1) $\lambda=0$ -совсем неинтересно;

2) Если $\lambda<0$ -асимптотическая устойчивость: $r'<0$;

3) При $\lambda>0$ надо следить за отображением за период $T:r_0\mapsto r(2\pi)$, а его можно получить с любой точностью, раскладывая решение в ряд по степеням $r_0$.
Так $\frac{dT}{dr_0}\Big|_{r_0=0}=1$.

3a) Если $T^{(j)}(0)=0$ при $j=2,\ldots , s$ и $T^{(s+1)}(0)>0$ будет неустойчивость;

3b) если $T^{(s+1)}(0)<0$ то асимпт. устойчивость.

3c) $T^{(j)}(0)=0,\quad j=2,3,\ldots$ -- устойчивость (это значит, что $T\equiv r_0$)