2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение01.06.2021, 05:13 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Padawan в сообщении #1520627 писал(а):
Поясните, пожалуйста, для тупых, что дают эти равенства (проинтегрированные)?

Можно так.
$$
x \sim \cos t + \lambda v(t), \quad y \sim \sin t + \lambda u(t).
$$
$$
x(2\pi) \sim 1 + \lambda v(2\pi), \quad y(2\pi) \sim \lambda u(2 \pi).
$$
Имеем $x(0) = 1, y(0) = 0$. Значит после интегрирования тех самых равенств
$$
u(2\pi) = u(0) = 0, \quad v(2\pi) = v(0) + \dots.
$$
После чего видно, что там происходит с координатой $x$.

На самом деле можно обойтись только вторым равенством. Положим
$$
J(\lambda) = \int \limits_0^{2\pi}(x^2(t) + y^2(t))\, dt.
$$
Тогда
$$
J'(0) = 2\int \limits_0^{2\pi}(v(t)\cos t + u(t)\sin t)\, dt = \dots
$$
Отсюда видно, как меняется энергия после одного оборота вокруг центра.
А вообще, как уже указал GAA, это т.н. ляпуновские величины. Можно поискать в литературе указания как ими лучше всего воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение02.06.2021, 10:33 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
GAA в сообщении #1520693 писал(а):
Следовательно:
если $L_1 <0$, т.е. $a+b <0$, то точка покоя — устойчивый фокус;
если $L_1 >0$, т.е. $a+b >0$, то точка покоя — неустойчивый фокус;
если $L_1 =0$, то требуется рассмотреть $L_2 $ и возможно величины более высокого порядка.

А разве нельзя в третьем пункте сразу сделать вывод, что траектории замкнутые? При непрерывном изменении параметров они же обязаны замкнуться, переходя от закручивающихся траекторий к раскручивающимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение02.06.2021, 16:24 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Чтобы точка покоя была центром — все ляпуновские величины должны быть равны нулю.
Из старых книг см, например,
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (djvu);
Баутин Н.Н, Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. (pdf).

[upd] Из этого бесконечного числа величин конечная часть является существенными (остальные равны нулю, если существенные равны нулю), но определение верхней границы числа существенных ляпуновских величин и указание конкретных индексов этих существенных величин — вроде бы является открытой проблемой («проблема центра и фокуса»).[/upd]

-- Wed 02.06.2021 15:28:49 --

Padawan в сообщении #1520866 писал(а):
При непрерывном изменении параметров они же обязаны замкнуться, переходя от закручивающихся траекторий к раскручивающимся.
Не знаю.

-= Добавлено =-

Вот довольно очевидная и неинтересная модификация примера сообщения post1520337.html#p1520337:
$\dot x =\varepsilon x -  y - x^3$, $\dot y = x + \varepsilon y - y^3.$
  • при $\varepsilon > 0$ — неустойчивый фокус;
  • при $\varepsilon < 0$ — устойчивый фокус;
  • при $\varepsilon = 0$ — устойчивый фокус. (Но можно очевидным способом подобрать константы и будет неустойчивый фокус или центр.)
Вложение:
Комментарий к файлу: Фазовые кривые для трёх значений параметра
spiral.PNG
spiral.PNG [ 20.53 Кб | Просмотров: 0 ]


Редактирование: исправлена опечатка ($\dot y = x - \varepsilon y - y^3$ на $\dot y = x + \varepsilon y - y^3$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение02.06.2021, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
А вот в примере (я проверил с https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html, без обоснования)
$$
\left\{\begin{aligned}
&x' = -y +\varepsilon x+ax^3,\\
&y'=\hphantom{-} x-\varepsilon y +b y^3
\end{aligned}\right.
$$
выводы моей первоначальной задачи с $\varepsilon=0$ (устойчивый фокус при $a+b<0$, неустойчивый фокус при $a+b>0$, центр при $a+b=0$) сохраняются при $|\varepsilon|<1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение03.06.2021, 23:55 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Выше я привёл очевидный пример, когда устойчивый грубый фокус ($\varepsilon < 0$) становится негрубым устойчивым фокусом ($\varepsilon = 0$), а затем грубым неустойчивым ($\varepsilon > 0$), поскольку считать ничего не надо. (Необходимое уже получено в ветке.)
Вот ещё пример. При $a+b=0$ первая ляпуновская величина в случае
$\dot x = -y +ax^3$, $\dot y = x +by^3 + y^5$
равна нулю, а вторая не равна. При $a+b=0$ начало координат не центр, а фокус.

Red_Herring в сообщении #1520971 писал(а):
А вот в примере (я проверил с https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html, без обоснования)...
В «канонической форме» система будет иметь вид
$\dot u = - \varepsilon v +a u^3$, $\dot v = \varepsilon u +b v^3.$
Заменой независимой переменной, а затем изменением обозначений параметров $a$ и $b$ система приводится к исходной системе, с $\varepsilon = 0$. Так что системы — качественно эквивалентны, при $|\varepsilon| < 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение04.06.2021, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
GAA в сообщении #1521121 писал(а):
В «канонической форме» система будет иметь вид

А что такое «каноническая система»? Та, которая получена линейной заменой (и перемасштабированием по $t$)? Тогда, будет
$$
\left\{\begin{aligned}
&x' = -y + a (\cos(\alpha) x-\sin(\alpha)y )^3,\\
&y'=\hphantom{-} x+b (\sin(\alpha) x )+\cos(\alpha)y) ^3
\end{aligned}\right.
$$
т.е. третьи степени запутываются. Конечно, можно попробовать добавить нелинейную замену, и доказать, что можно избавиться также и от высших степеней, оставив лишь два куба

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение04.06.2021, 20:24 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
GAA в сообщении #1521121 писал(а):
В «канонической форме» система будет иметь вид
$\dot u = - \varepsilon v +a u^3$, $\dot v = \varepsilon u +b v^3.$
Ошибка. Должно быть
$\dot u = - \sqrt {1-\varepsilon^2} v + \ldots, $\dot v = \sqrt{1-\varepsilon^2} u + \ldots.$
Дальше, да, не упрощается: будут кубы линейной комбинации $u$ и $v$.
В лоб считать ляпуновские величины будет утомительно.

-- Fri 04.06.2021 19:32:12 --

Я о линейной замене думал. Просто так не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение04.06.2021, 23:26 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Если не ошибся повторно (завтра проверю), то $$\dot u = -\sqrt{1-\varepsilon^2} v + \frac {(1-\varepsilon^2)^{3/2}au^3 + 3a\varepsilon (1-\varepsilon^2)u^2 + 3a\sqrt{1-\varepsilon^2}\varepsilon^2uv^2 + (a\varepsilon^2-b) \varepsilon v^3} {(1 - \varepsilon^2)^{3/2}},$$$$\dot v = \sqrt{1-\varepsilon^2}u+ \frac b {1-\varepsilon^2} v^3.$$$$L_1 = \frac 3 4 \frac {\pi (a+b)} {(1-\varepsilon^2) \sqrt {1-\varepsilon}}.$$Таким образом, если $a+b \ne 0$, то результаты, как в случае $\varepsilon = 0$. Если $a+b = 0$, то требуется дополнительное исследование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение05.06.2021, 09:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если $a=-b=-1$ (конкретное положительное значение, очевидно, неважно), то
$$\begin{align}
&\frac{dx}{-y+\varepsilon x-x^3}=\frac{dy}{x-\varepsilon y+y^3}\\
\implies 
&(x-\varepsilon y-y^3)dx +(y-\varepsilon x-x^3)\,dy=0\\
\implies
&\frac{(x-\varepsilon y-y^3)dx +(y-\varepsilon x-x^3)\,dy}{(1+xy)^3}=0\\
\implies
&H(x,y):=\frac{x^2+y^2-\varepsilon}{2(1-xy)^2}=C
\end{align}$$
с тем же интегрирующим фактором, что и при $\varepsilon=0$.

Разумеется, это работает при любом $\varepsilon$, но если мы рассмотрим $H(x,y)-H(0,0)=\dfrac{x^2+y^2-2\varepsilon xy + \varepsilon x^2y^2}{2(1-xy)^2}$, то увидим, что только при $|\varepsilon|<1$ будет невырожденный минимум в $0$, а при $|\varepsilon|>1$ будет невырожденное седло. А вот при $\varepsilon=1$ будет вырожденный минимум, а при $\varepsilon=-1$ вырожденное седло, и действительно, в первом случае у системы ДУ будет центр, а во втором седло (вырожденные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение17.12.2022, 13:44 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Вопрос об устойчивости нуоевого решения системы $$
\left\{\begin{aligned}
y'=&\hphantom{-}x + f(x,y),\\
x'=&-y +g(x,y),
\end{aligned}\right.
$$
где $f,g=O(x^2+y^2)$ -голоморфны в нуле,
решается полностью.
В полярных координатах в окрестности нуля эта система приводится к виду $$\frac{dr}{d\varphi}=\lambda r^m(1+u(r,\varphi)),\quad |u|\le c r,\quad m\in\{2,3,\ldots\},\quad r(0)=r_0>0.$$

1) $\lambda=0$ -совсем неинтересно;

2) Если $\lambda<0$ -асимптотическая устойчивость: $r'<0$;

3) При $\lambda>0$ надо следить за отображением за период $T:r_0\mapsto r(2\pi)$, а его можно получить с любой точностью, раскладывая решение в ряд по степеням $r_0$.
Так $\frac{dT}{dr_0}\Big|_{r_0=0}=1$.

3a) Если $T^{(j)}(0)=0$ при $j=2,\ldots , s$ и $T^{(s+1)}(0)>0$ будет неустойчивость;

3b) если $T^{(s+1)}(0)<0$ то асимпт. устойчивость.

3c) $T^{(j)}(0)=0,\quad j=2,3,\ldots$ -- устойчивость (это значит, что $T\equiv r_0$)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group