2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение28.05.2021, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Классифицировать точку $(0,0)$ для системы
$$
\left\{\begin{aligned}
y'=&\hphantom{-}x + ay^3,\\
x'=&-y +b x^3
\end{aligned}\right.
$$
$a$ и $b$ числовые параметры и ответ зависит от них. Читая осенью ОДУ я дал это в лекциях как пример функции Ляпунова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение28.05.2021, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
У меня пока такое предположение. Если $a$ и b одного знака, то ответ находится легко. В качестве функции Ляпунова можно взять $V(x,y)=x^2+y^2$ . Дифференцируя её - $(x^2+y^2)'=2bx^4+2ax^4$ , получаем, что если $a>0$ , $b>0$ , то система неустойчива, а если $a<0$ , $b<0$ , то система устойчива. Пусть теперь $a>0$ и $b<0$ . Допустим система устойчива по $x$ . Тогда получается, что она неустойчива по $y$ . То есть, если $a$ и $b$ разных знаков, то система тоже неустойчива. Возможно её траектории превращаются в этом случае во всё более вытянутые эллипсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Я советую в таких случаях выработать правильную гипотезу с помощью графического ОДУ калькулятора, например
https://aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
мат-ламер в сообщении #1520343 писал(а):
Дифференцируя её - $(x^2+y^2)'=2bx^4+2ax^4$ ,

Тут маленькая опечатка - $(x^2+y^2)'=2bx^4+2ay^4$ . Случай разных знаков $a$ и $b$ пока непонятен для меня. Фазовые портреты со стрелочками не помогли. По любому для малых $x$ и $y$ картинка похожа на окружность. Но это не доказательство.

Пока предположу гипотезу. Устойчивость будет зависеть от знака наибольшего по модулю $a$ и $b$ . То есть, если максимальное по модулю из этих чисел отрицательно, то система будет устойчивой, а если положительно, то нет. Если числа разных разных знаков и равны по модулю, то наверное будет фокус, т.е. устойчиво, но не асимптотически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
А почему бы не подправить $x^2+y^2$ членами четвертого порядка, чтобы справа стояло выражение либо строго положительное, либо строго отрицательное вне $0$? Мне фазовые портреты помогли, и очень хорошо.
мат-ламер в сообщении #1520379 писал(а):
то наверное будет фокус, т.е. устойчиво, но не асимптотически.

Разве это фокус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Решение.

(Оффтоп)

Возьмём $$V(x,y)=x^{2}+y^{2} + 2(a - b) (xy^3+yx^3).$$ Тогда $\dot{V}(x,y) = 2(a+b) (x^{4} + y^{4}) + \ldots$, где $\ldots$ обозначает члены порядка $6$. Отсюда при $a+b<0$ получаем асимптотическую устойчивость, а при $a+b>0$ неустойчивость.

UPD: Немного ошибся в вычислениях. Правильная функция такая:
$$V(x,y) = 3(x^{2}+y^{2}) + 2(a-b)(xy^{3}+yx^{3}) + 2axy^{3}-2b yx^{3}.$$

Тут конечно системы компьютерной алгебры не помогают (в окрестности нуля всё очень кругло). Вот если руками нарисовать, что происходит возле исходных окружностей:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Red_Herring в сообщении #1520384 писал(а):
Разве это фокус?

Опечатака, сильно спешил, дела по дому. Центр, конечно.

P.S. "конечно " - это, когда писал, думал про центр. Но что это действительно центр, то надо ещё доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение29.05.2021, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
demolishka в сообщении #1520388 писал(а):
Решение.
Да. А при $a+b=0$ есть интегрирующий множитель $\mu (x,y)=f(xy)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение30.05.2021, 05:28 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
demolishka
А как Вы искали это решение?
Хотелось бы иметь какое-нибудь "технологичное" решение. Чтобы не надо было ничего угадывать.
Мне кажется, что в данном случае такой подход имеется.
Систему легко свести к виду
$$
\left\{\begin{aligned}
y'=&\hphantom{-}x + \lambda ay^3,\\
x'=&-y +\lambda b x^3,
\end{aligned}\right.
$$
где $\lambda \to 0$.
Будем рассматривать решения с начальными данными $y(0) = 0$, $x(0) = 1$. Тогда имеем
$$
x(t) \sim \cos t, \quad y(t) \sim \sin t. 
$$
Дифференцируем по параметру в точке $\lambda = 0$
$$
\left\{\begin{aligned}
u'=&\hphantom{-}v + a\sin^3 t,\\
v'=&-u +b \cos^3 t,
\end{aligned}\right.
$$
Откуда имеем равенства
$$
(u \cos t - v \sin t)' = a\cos t \sin^3 t - b\sin t \cos^3 t,
$$
$$
(u \sin t + v \cos t)' = a \sin^4 t + b\cos^4 t.
$$
Осталось только проинтегрировать эти равенства по $t \in (0, 2\pi)$. По-видимому, отсюда можно как-то получить и Вашу функцию $V$.
Такой подход "не берет" случай $a + b =0$. С ним я разбирался с помощью перехода к переменным $x+y, x- y$ и соображений симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение30.05.2021, 06:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
sup в сообщении #1520455 писал(а):
А как Вы искали это решение?

Практически угадыванием :-), последовав совету добавить в функцию Ляпунова члены четвертого порядка. Я сначала добавил $2a x y^{3}$, чтобы убить слагаемое $2a y^{4}$ при дифференцировании $V(x,y)=x^{2}+y^{2}$ и получил слагаемое $2bx^{4}$ + члены высшего порядка. Потом прибавил только $-2b y x^{3}$ и получил $2 a y^{4}$. Потом решил собрать полную квадратичную форму. Ответ, типа $a + b < 0$ для устойчивости у меня еще до построения функции Ляпунова появился после попыток нарисовать фазовый портрет для разных знаков. Я вот из-за этого даже в своем решении выше неправильную функцию написал, так как получил $a+b$, а вычисления перепроверять не стал :D. Правильная (надеюсь, что теперь не ошибся) функция Ляпунова будет такой:

(Оффтоп)

$$V(x,y) = 3(x^{2}+y^{2}) + 2(a-b)(xy^{3}+yx^{3}) + 2axy^{3}-2b yx^{3}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение30.05.2021, 07:20 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Пан-нятна :-)
Ну, в таком случае мое решение мне "больше нравится". Не то чтобы я совсем против интуиции и поиска, но технологичность перевешивает. Кстати, подобные соображения можно применять и для других полиномиальных нелинейностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение30.05.2021, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
demolishka в сообщении #1520457 писал(а):
Правильная (надеюсь, что теперь не ошибся) функция Ляпунова будет такой:

Там для коэффициентов при $x^3y$ и $xy^3$ целый спектр.
sup в сообщении #1520458 писал(а):
Ну, в таком случае мое решение мне "больше нравится".
У меня эта задача родилась в качестве иллюстрации функции Ляпунова, т.ч. другие подходы не годились

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение31.05.2021, 04:35 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Red_Herring в сообщении #1520508 писал(а):
У меня эта задача родилась в качестве иллюстрации функции Ляпунова, т.ч. другие подходы не годились

Да, конечно. Я про свое решение высказался вовсе не в качестве критики.
На самом деле мне было просто лень подыскивать подходящую функцию :-)
Разумеется, это не значит, что таким вещам не стоит учиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение31.05.2021, 14:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
sup в сообщении #1520455 писал(а):
Откуда имеем равенства
$$
(u \cos t - v \sin t)' = a\cos t \sin^3 t - b\sin t \cos^3 t,
$$
$$
(u \sin t + v \cos t)' = a \sin^4 t + b\cos^4 t.
$$
Осталось только проинтегрировать эти равенства по $t \in (0, 2\pi)$.

Поясните, пожалуйста, для тупых, что дают эти равенства (проинтегрированные)?

-- Пн май 31, 2021 16:58:31 --

sup в сообщении #1520455 писал(а):
По-видимому, отсюда можно как-то получить и Вашу функцию $V$.

Тоже так думаю. Сейчас метод вытаскивания функции Ляпунова разработаем :)

-- Пн май 31, 2021 17:04:42 --

Правильно ли я понимаю, что для любого полиномиального возмущения системы

$$
\left\{\begin{aligned}
y'=&\hphantom{-}x + P(a,b,x,y)\\
x'=&-y +Q(a,b,x,y)
\end{aligned}\right.
$$
существует (полиномиальная?) функция $R(a,b)$ такая, что система устойчива ттт $R(a,b)>0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация системы ОДУ с кубическими возмущениями
Сообщение01.06.2021, 00:44 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Если не обсчитался, то первая ляпуновская величина $L_1 = \int_0^{2\pi} (b\cos^4\varphi + a \sin^4 \varphi) d\varphi = \frac 3 4 \pi (a+b)$.
Следовательно:
  • если $L_1 <0$, т.е. $a+b <0$, то точка покоя — устойчивый фокус;
  • если $L_1 >0$, т.е. $a+b >0$, то точка покоя — неустойчивый фокус;
  • если $L_1 =0$, то требуется рассмотреть $L_2 $ и возможно величины более высокого порядка.
Однако интуиция подсказывает, то при $a+b =0$ будет центр. И действительно при $a+b =0$ интеграл находится в элементарных функциях [уравнение для фазовых кривых интегрируется в элементарных функциях], и фазовые кривые являются замкнутыми линиями, окружающими точку покоя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group