1.
Если бы мы могли помещать в фигурных скобках не знаки (например, буквы), которые обозначают объекты, а сами объекты!
К сожалению, это невозможно, но есть объекты, по обозначениям которых мы можем видеть, что это за объекты, то есть какой объект скрывается за данным обозначением.
Если поместить цифры
![$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/b/6db0fa7643726d8730ed6d9e902de61382.png)
в соответствующих упорядоченных сочетаниях в фигурные скобки вместе с сопутствующими знаками, такими как
![$+$ $+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df33724455416439909c33a7db76b2bc82.png)
и
![$-$ $-$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a69f75630cce402c7c381036296bca982.png)
, то, как бы ни было выражено некоторое число: например, как
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
, или как
![$2+3$ $2+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/6/5b694dcc45fb5c027c9763d38ae0697082.png)
, или как
![$-8+13$ $-8+13$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e37ed9bb19f51ff29b35cae16e3513682.png)
, при любом выражении мы видим (или можем вычислить) какое это число.
Таким образом, с точки зрения опознавания, числа представляют собой идеальные объекты, имея их обозначения в фигурных скобках, мы как бы имеем там их самих.
Это не то, что когда в фигурных скобках стоят буквы, и мы не знаем, какой объект скрывается за какой буквой.
В случае с числами мы это знаем (конечно, если допустить называние обозначения чисел буквами).
2.
Давайте разделять понятия множества и записи множества (хотя здесь я, разумеется, призываю Вас делать то, что Вы и так делаете).
В выражении
![$X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$ $X=\{a,b,c,d,e,f,g\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/2/1f22959fd9fde5abb729179c9bc4e84782.png)
в скобках стоит семь букв, но сколько элементов они означают? Как я теперь понимаю, тоже семь. Правда некоторые из них могут быть равны друг другу.
А раньше (то есть еще сегодня утром) я думал, что при
![$a=b=c$ $a=b=c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/1/b11e6eeff71a96de798a5e4addc53da982.png)
в скобках стоит семь букв, но при этом они означают только пять элементов.
Пусть при
![$a=b=c=1, \; d=4,e=5, f=6, g=7$ $a=b=c=1, \; d=4,e=5, f=6, g=7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/1/3219419ee7b43e768a6a0462c1e2b06082.png)
(то есть элементами множества
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
пусть будут натуральные числа, которые мы можем без проблем опознавать).
Я предлагаю, чтобы было правило, что запись
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f1cab89cf73b279f723374dd4d0afb582.png)
может заменяться на запись
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/8/048a5ebabd9e17ee901d2d479770955a82.png)
, но не на запись
![$\{1,4,5,6,7\}$ $\{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/c/a3cf6eba590ee9bcae590f661e902cd382.png)
, то есть записи могут заменяться друг на друга, только если они содержат одинаковое число элементов.
Чтобы отличить равенство записей множеств от равенства самих множеств, давайте для равенства записей употреблять знак тождества
![$\equiv $ $\equiv $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/e/7fecc193db3a05c1c1ae4c7504b795c182.png)
и называть это равенство тождеством, а для равенства множеств -- знак равенства
![$=$ $=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/1/591ff9c1652b7e605ef0190a9713c14082.png)
.
Тогда
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/a/56adac686e4a0cacf9e8acac9864d9dc82.png)
и
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}\equiv \{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}\equiv \{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/9/3c9097ef3f9f139483c18251da3af23782.png)
, но
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/d/e3df24c59f61aabce946d884f1b6623182.png)
и
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}\not \equiv \{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/2/8a29f87996d536bcc4f9f03c745a50df82.png)
.
Нетождественные записи могут быть записями равных множеств.
3.
Так вот, как я теперь понимаю, если у нас есть произвольная семерка
![$a,b,c,d,e,f,g$ $a,b,c,d,e,f,g$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/5/a95f2e1f5237ddeff3755fa9b8f1957882.png)
, то у нас есть семь объектов, из которых некоторые могут быть равны друг другу, то есть представлять собой один и тот же объект, взятый несколько раз.
И запись
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f1cab89cf73b279f723374dd4d0afb582.png)
обозначает совокупность семи объектов, из которых некоторые могут повторяться, например,
![$\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{a,b,c,d,e,f,g\}=\{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/c/61ccb1cd908fa71b2ab5fe87440bb02e82.png)
, то есть
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/8/048a5ebabd9e17ee901d2d479770955a82.png)
это множество с повторяющимися элементами, иначе говоря, мультимножество.
Цитата:
Мультимножество - это множество с повторяющимися элементами
https://sci.house/diskretnaya-matematik ... 87700.htmlЦитата:
Мультимножество -- модификация понятия множества, допускающая включение одного и того же элемента в совокупность по нескольку раз. (Википедия)
Так что в теории множеств все-таки имеются мультимножества, правда, они заменяются множествами, в которых из их элементов остаются только неповторяющиеся.
Но они в теории множеств есть, так как в ней есть выражение
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}=\{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/3/233a68bca019421bc8eac46a19531d6d82.png)
, которое включает в себя
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/8/048a5ebabd9e17ee901d2d479770955a82.png)
.
Другое дело, что мультимножество и множество это не одно и то же. Как я уже написал в связи с нетождественностью записей:
(то есть последнее выражение можно применять не только к нетождественности записей, но и к нетождественности мультимножества и множества.) (Здесь
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/8/048a5ebabd9e17ee901d2d479770955a82.png)
-- мультимножество, а
![$ \{1,4,5,6,7\}$ $ \{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/1/a01b52a98b7bc153a0eb2786a0b7ab1982.png)
-- множество.)
При этом
![$\{1,1,1,4,5,6,7\}= \{1,4,5,6,7\}$ $\{1,1,1,4,5,6,7\}= \{1,4,5,6,7\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/1/891fb2d75ba660bbe6ddc13a62e7b03382.png)
.