Кокосовые пальмы

[svv]

В формулу Байеса входят (в числе прочих величин) априорные вероятности, но этот термин не означает, что они вообще задаются произвольно. Мы тут обсуждали модель, в которой, по единодушному мнению, вероятности 1F2S и 1S2F получаются $3/4$ и $1/4$. Конечно, так или иначе придётся начать с выбора равновероятных элементарных событий, но это точно не 1F2S и 1S2F. Равновероятны фазы (до отбрасывания тех, которые противоречат условию) — по-моему, естественное предположение.

[ozheredov]

svv в сообщении #1520560 писал(а):

Равновероятны фазы (до отбрасывания тех, которые противоречат условию) — по-моему, естественное предположение.

Можно отсюда поподробнее? Одна из фаз меняется с периодом 1 час, другая 2 часа, и мы вводим равномерное распределение на прямом произведении этих отрезков? А момент высадки типа находится на границе этого прямоугольника, потому как кокос упал?

-- 30.05.2021, 23:17 --

А, вроде начинает доходить

[svv]

Всё точно.

[Евгений Машеров]

Разница с "индонезийским вертолётом" в том, что информации о существовании индонезийских вертолётов в доступности нет (а вдруг прилетел на авиабазу Кубинка для участия в воздушном параде по случаю 76 годовщины победы над Японией?). А что пальм две, одна "быстрая", вторая "медленная", нам задано. И произвольный выбор лишь в том, чтобы обозначить её №1и №2. Не зависящий от моряка момент - где он потерпел кораблекрушение, с какой стороны увидел две пальмы. И зависящий - нумеровать слева направо или справа налево. И оба выбора совершенно равнозначны. Так что 0.5 и 0.5 вполне обоснованный выбор.

[Balexxx]

Спасибо автору за задачу. Забрал себе в базу. Решение несложное, но поучительное. Евгений Машеров
прав, я рассуждал так же. Только осталось дописать решение: Первая стратегия - остаться у первой пальмы (с которой упас кокос). Тогда матожидание будет $\frac{7}{16}$ часа. А при второй стратегии - $\frac{14}{16}$. То есть, по принципу максимизации полезности решение остаться у пальмы с выпавшим кокосом явно лучше. Кстати, по принципу минимизации риска оно также лучше.

Для понимания рекомендую еще чуть обобщить задачу (чтоб не рассуждали больше о дискретизациях, пределах и двумерных распределениях). Пусть этот кокос упал не в начальный момент времени, а в произвольный момент t во время пути. Тогда апостериорные вероятности вычисляются аналогично, но применение здесь простой геометрической вероятности будет более очевидным. В матожидание добавится параметр t, но вывод останется прежним.

А вообще эта задача отлично иллюстрирует так называемый Байесовский принцип принятия решения.

[Geen]

Balexxx в сообщении #1520672 писал(а):

Тогда матожидание будет $\frac{7}{16}$ часа. А при второй стратегии - $\frac{14}{16}$.

Это неверно.

[Balexxx]

Да, в уме считал, чуть ошибся. Вот, с поправкой. Простите за вид, неудобно в TEXE таблицы набирать. В клетках 1,2 и 2,1 стоят матожидания кокоса при данной ситуации.

$$\begin{pmatrix} & $Вероятность ситуации$ & 3/4 & 1/4 & \\ & $Стратегия - Ситуация$ & $Первая$ & $Вторая$ & $ Матожидание & $Дисперсия (риск)$ \\ & $Первая$ & 0,5 & 0,25 & 7/16 & 0,012 \\ & $Вторая$ & 0,75 & 1,5 & 15/16 & 0,105 \\ \end{pmatrix}$$

[svv]

Поясните, пожалуйста, какую ситуацию Вы называете первой, а какую второй? (Со стратегиями понятно.)

-- Вт июн 01, 2021 01:56:55 --

Когда моряк высадился на берег, кокос упал либо с быстрой пальмы, либо с медленной. Если Вы эти две ситуации называете, соответственно, первой и второй (другой разумной интерпретации таблицы я не вижу), в таблице надо поменять местами числа $1.5$ и $0.25$:

$$\begin{tabular}{l|c|c} & быстрая & медленная \\ & пальма & пальма \\ \hline вероятность & $3/4$ & $1/4$ \\ 1 стратегия & $0.5$ & $1.5$ \\ 2 стратегия & $0.75$ & $0.25$ \end{tabular}$$

Конечно, при этом изменятся и дальнейшие вычисления, и вывод.

[Balexxx]

Первая - пальма, с которой упал кокос, быстрая. Вторая - наоборот.
Спорная клетка 1,2. При первой стратегии моряк может подобрать кокос только с первой пальмы. Если кокос упал с нее, то 0,5. Тут все согласны. Если кокос упал с медленной пальмы, то с первой пальмы он еще не падал и среднее время ожидания кокоса в этой ситуации 0,25.

[svv]

Спасибо. Ну, если я выбрал первую стратегию — сесть под пальмой, с которой упал кокос, а ситуация оказалась второй (пальма медленная), то с момента, когда я до неё доползу, мне останется ждать кокоса 1.5 часа, без вариантов.

-- Вт июн 01, 2021 02:09:12 --

Balexxx в сообщении #1520696 писал(а):

Если кокос упал с медленной пальмы, то с первой пальмы он еще не падал и среднее время ожидания кокоса в этой ситуации 0,25.

Так ведь нас интересует среднее время ожидания падения кокоса не с любой пальмы, а только с выбранной. Вы же сами написали, что моряк может подобрать кокос только с той пальмы, под которую сел.

[Balexxx]

Да, Вы правы. Затупил чего-то на ровном месте. Решение обратное:

$$\begin{pmatrix} & $Вероятность ситуации$ & 3/4 & 1/4 & \\ & $Стратегия - Ситуация$ & $Первая$ & $Вторая$ & $ Матожидание & $Дисперсия (риск)$ \\ & $Первая$ & 0,5 & 1,5 & 3/4 & 0,188 \\ & $Вторая$ & 0,75 & 0,25 & 5/8 & 0,047 \\ \end{pmatrix}$$

А при увеличении параметра t, матожидание второго варианта будет лучше еще на 0.5t. А при увеличении времени подхода к пальме на 0,5-1 можно подобрать параметр так, что оба решения будут равноценны.

[svv]

Отлично, теперь всё совпадает (дисперсию не проверял).

[kotenok gav]

Balexxx в сообщении #1520701 писал(а):

А при увеличении параметра t, матожидание второго варианта будет лучше еще на 0.5t. А при увеличении времени подхода к пальме на 0,5-1 можно подобрать параметр так, что оба решения будут равноценны.

Да, на предыдущей странице всё расписано.

[KingDog]

Хоть решение уже расписано в нескольких интерпретациях, но позволю себе тоже предложить свой вариант с точки зрения логики и выбора опт. стратегии. Ибо задача интересная.
К. -кокос; П. -пальма; М.- моряк, О.- обезьяна
Имеем:

Исход 1. К. упал с п. А (которая дает 1 к. в 1ч.)
Стратегия 1. Идем к п. А. $30 + 30 = 60$ мин (с учетом пути).
Стратегия 2. Идем к п. B:
Худший вариант: (к. упал в момент подхода и о. забрала его пусть на 1 мин. раньше) $ 29+ 120 $= 2ч. 29 мин.
Лучший вариант: к. упал сразу после прихода м. - $31$ мин.
Среднее арифм. = $1,5$ч.

Исход 2. К. упал с п. B (которая дает 1 к. в 2ч.)
Стратегия 1. Идем к п. B. $30+ 90 = 2$ч.
Стратегия 2. Идем к п. A.
Худший вариант: $29 +60 = 89$ мин.
Лучший вариант: $1$ ч.
Среднее 74 мин = 1ч. 14 мин.

Итого:
Стратегия 1 (идти к упавш.): $(60+120)/2 = 1$ч. 30 мин. в среднем (время ожидания включая путь).
Стратегия 2 (идти к не упавш.): $(74+90)/2 $ ~ 2ч.

Возможно где-то ошибаюсь, и вероятности нужно рассчитать поминутно. Но вот с точки зрения выбора оптимальной стратегии, думаю, это правильный вариант.
*Решение задачи без учета условия "Что кокосы не падали во время движения м."