Кокосовые пальмы

[lel0lel]

На острове растут две кокосовые пальмы. Известно, что одна из пальм (неизвестно какая) роняет кокос строго один раз в час, другая пальма один раз в два часа. Как только лодка моряка причалила к берегу с первой пальмы упал кокос (который тут же утащили мартышки). Пока моряк шёл до пальм прошло полчаса, за это время кокосы не падали. Под какой из пальм нужно караулить кокос, чтобы как можно быстрее напиться (выбрать нужно одну из пальм, чтобы опередить мартышек)? Каково среднее оптимальное время ожидания?

(Оффтоп)

Задача, конечно, не сложная. Но для школьной олимпиады подходит

[ozheredov]

Условимся в терминах: "быстрая пальма" роняет раз в час, "медленная" раз в два часа, 1-я -- которая уронила, 2-я не роняла, "мертвое время" -- интервал, за который падения не происходит.

Рассмотрим стратегию сидения под первой пальмой. Ждать нужно 0.5ч, если она быстрая, и 1.5ч, если медленная. Итого наихудший вариант -- 1.5ч.

Рассмотрим стратегию сидения под второй пальмой. С нее ничего не падало, следовательно, "мертвое время" полностью накрывает собой получасовой интервал, так что справа от последнего остается менее 0.5ч, если пальма "быстрая", и менее 1.5ч, если медленная.

Выбор наилучшей стратегии в наихудшей ситуации предписывает сидеть под пальмой, с которой ничего не падало, не?

[lel0lel]

Нужно расчитать вероятность того, что пальма, с которой упал кокос "быстрая".

ozheredov в сообщении #1520420 писал(а):

остается менее 0.5ч, если пальма "быстрая", и менее 1.5ч, если медленная.

Давайте будем считать, что это менее может быть бесконечно малым, так как ничего неизвестно до того как лодка причалила. Может быть, что за долю секунды до причаливания упал ещё кокос.

[ozheredov]

lel0lel в сообщении #1520421 писал(а):

Давайте будем считать, что это менее может быть бесконечно малым, так как ничего неизвестно до того как лодка причалила. Может быть, что за долю секунды до причаливания упал ещё кокос.

Разумеется! Это как-то влияет на ответ? (Тем более, что если прикрутить к этому вероятности, как Вы и хотите, выяснится, что вероятность осмысленной величины соответствует далеко не долям секунды, ну и т.д.)

lel0lel в сообщении #1520421 писал(а):

Нужно расчитать вероятность того, что пальма, с которой упал кокос "быстрая".

Хотя я сильно против прикручивания вероятностной интерпретации задачам на чистый минимакс (а это она и есть, этим меня и зацепила ), хозяин задачи все же Вы, я не смею спорить с Вами... А ответ все таки этот имелся в виду ("сидеть под пальмой, с которой ничего не падало")? Если хотите сохранить интригу и не разглашать правильный ответ до определенного момента, стукните в ЛС, хорошо?

[мат-ламер]

ozheredov в сообщении #1520420 писал(а):

Выбор наилучшей стратегии в наихудшей ситуации предписывает сидеть под пальмой, с которой ничего не падало, не?

Ой, не всё так просто. Так пальма, с которой ничего не падало, с большей вероятностью окажется пальмой, с которой кокосы падают раз в два часа.

[lel0lel]

ozheredov в сообщении #1520422 писал(а):

ответ все таки этот имелся в виду ("сидеть под пальмой, с которой ничего не падало")?

Да, сейчас посчитал -- это правильный ответ. Но какое время ожидания?

[ozheredov]

мат-ламер в сообщении #1520423 писал(а):

Так пальма, с которой ничего не падало, с большей вероятностью окажется пальмой,

Каким макаром пальма может "оказаться"?? Случайным событием может быть решение моряка отнести данную пальму к классу "быстрых" или "медленных", а пальма изначально имеет некоторый класс, нет?

-- 29.05.2021, 22:58 --

lel0lel в сообщении #1520425 писал(а):

Да, сейчас посчитал -- это правильный ответ.

Thanks.

lel0lel в сообщении #1520425 писал(а):

Но какое время ожидания?

У меня затык с пониманием, как правильно прикрутить к этой задаче вероятностное пространство. Вот включился мат-ламер, надеюсь вы вдвоем сейчас мне мозги вправите )

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1520423 писал(а):

пальма, с которой ничего не падало, с большей вероятностью окажется пальмой, с которой кокосы падают раз в два часа

Это верно. Но тут есть маленькое но: если всё же двухчасовая пальма это та, с которой кокос упал, то ждать придется гарантировано полтора часа.

ozheredov
Давайте рассмотрим случай, когда моряк шёл полтора часа и заметил, что кокос упал в середине этого интервала, а не в начале как в условии. Тогда, если с другой пальмы кокос не падал, значит она с вероятностью $1$ двухчасовая пальма. Вот видите, вероятности можно "прикрутить".

[ozheredov]

lel0lel в сообщении #1520427 писал(а):

авайте рассмотрим случай, когда моряк шёл полтора часа и заметил, что кокос упал в середине этого интервала, а не в начале как в условии. Тогда, если с другой пальмы кокос не падал, значит она с вероятностью $1$ двухчасовая пальма. Вот видите, вероятности можно "прикрутить".

Пока не вижу. Случайным событием здесь является решение моряка отнести пальму к двухчасовому классу. Это решение, как случайное событие, оказывается верным с вероятностью единица, а не пальма с вероятностью единица оказывается принадлежащей некоторому классу.

Вышел я на улицу и увидел животное. Нельзя сказать, что животное с вероятностью $1$ оказалось кошкой -- оно всегда было кошкой, или собакой, и в момент принятия мной решения с ним не происходило никаких СЛУЧАЙНЫХ событий, которым можно было бы приписать вероятность. Я решил на основе того, что увидел, отнести животное к классу "кошка" (это случайное событие), и мой классификатор работает верно с вероятностью $1$.

Из вот этого

lel0lel в сообщении #1520421 писал(а):

Нужно расчитать вероятность того, что пальма, с которой упал кокос "быстрая".

я вангую, что нужно будет пользовать формулу Байеса. Туда нужно совать априорные вероятности для каждой пальмы быть быстрой или медленной. Это так?

[lel0lel]

Конечно, речь об условных вероятностях. То есть речь о вероятности пальмы быть "быстрой" в контексте предыдущих получасовых событий. Если же вам не нравится словосочетание "вероятность, что пальма, с которой упал кокос быстрая", то замените его на "вероятность, что пальма, с которой упал кокос, будучи названной быстрой, таковой и является". Но на мой взгляд это буквоедство.

[ozheredov]

lel0lel в сообщении #1520430 писал(а):

замените его на

ИМХО, проблемы начнутся уже на этапе определения априорных вероятностей. При условии заданности классов пальм мы имеем двумерную случайную величину (времена ожидания падения кокоса с первой и второй пальм соответственно) на прямом произведении "мертвых времен" -- полуторачасового и часового отрезка, если классы "2 - 1", и получасового и двухчасового, если классы "1 - 2", правильно?

[lel0lel]

ozheredov в сообщении #1520431 писал(а):

проблемы начнутся уже на этапе определения априорных вероятностей.

У меня таких проблем не возникло. Давайте немного подождём, может задача ещё кого-нибудь заинтересует. Если нет, то я выложу решение. И поскольку задачка моя, то можно сказать что авторское

[ozheredov]

lel0lel в сообщении #1520432 писал(а):

подождём

Ок.

[svv]

ozheredov в сообщении #1520426 писал(а):

как правильно прикрутить к этой задаче вероятностное пространство

Мне помог такой костыль, как дискретное время. Все события происходят в целое число минут от сотворения мира.
В океане есть $60$ островов (с номерами от $0$ до $59$), на каждом растёт быстрая и медленная пальма. Номер острова $n$ отвечает за "сдвиг фаз": если с медленной пальмы упал кокос, то через $n$ минут он упадёт с быстрой.
До начала игры выбирается одна из двух стратегий: ждать под первой пальмой или под второй.
В случайный момент (тут важен только остаток от деления номера минуты на $120$) моряк случайным образом выбирает остров и мгновенно оказывается на нём. Если в этот момент ни с одной пальмы не упал кокос, моряк аннигилирует (и игра заканчивается). Если в этот момент кокос упал с обеих пальм, моряк также аннигилирует. Если кокос упал со второй пальмы быстрее, чем через полчаса после падения с первой, моряк опять аннигилирует.

Теперь, я думаю, не будет сомнений в осмысленности вопросов, вроде: «Какова вероятность того, что первая пальма окажется быстрой, при условии, что моряк не аннигилировал?»

[ozheredov]

svv в сообщении #1520435 писал(а):

океане есть $60$ островов (с номерами от $0$ до $59$), на каждом растёт быстрая и медленная пальма. Номер острова $n$ отвечает за "сдвиг фаз": если с медленной пальмы упал кокос, то через $n$ минут он упадёт с быстрой.

У нас есть сдвиг фаз, равномерно распределенный от 0 до 59. Понятно.

svv в сообщении #1520435 писал(а):

В случайный момент (тут важен только остаток от деления номера минуты на $120$) моряк случайным образом выбирает остров и мгновенно оказывается на нём.

Есть время высадки моряка, равномерно распределенное на некотором интервале длиной 120 (пока не вникал, где его границы).

svv в сообщении #1520435 писал(а):

Если в этот момент (высадки - ozheredov) ни с одной пальмы не упал кокос, моряк аннигилирует (и игра заканчивается). Если в этот момент кокос упал с обеих пальм, моряк также аннигилирует. Если кокос упал со второй пальмы быстрее, чем через полчаса после падения с первой, моряк опять аннигилирует.

Я чего-то не догоняю -- как записать подчеркнутые события через условия на введенные Вами сл.величины -- сдвиг фаз и время высадки?