Кокосовые пальмы

[TOTAL]

kotenok gav в сообщении #1520470 писал(а):

TOTAL, да. Но в среднем вторая пальма даст орех позже, чем первая.

Моряк не тратил 30 минут, а мгновенно оказался на острове. Сколько в среднем надо ждать орех от первой пальмы, сколько от второй?

[Geen]

kotenok gav в сообщении #1520464 писал(а):

Если нам выпал первый отрезок, то под первой пальмой моряк получит кокос за $1-x$ часов, а под второй - через $s-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+2}2-x=1-0.5x$.

Уточните, пожалуйста, среднее чего Вы считаете?

[kotenok gav]

TOTAL в сообщении #1520472 писал(а):

Моряк не тратил 30 минут, а мгновенно оказался на острове. Сколько в среднем надо ждать орех от первой пальмы, сколько от второй?

Ну, из моего решения - 50 минут от первой и 80 от второй.

Geen в сообщении #1520474 писал(а):

Уточните, пожалуйста, среднее чего Вы считаете?

Среднее $s-x$.

[TOTAL]

kotenok gav в сообщении #1520475 писал(а):

TOTAL в сообщении #1520472 писал(а):

Моряк не тратил 30 минут, а мгновенно оказался на острове. Сколько в среднем надо ждать орех от первой пальмы, сколько от второй?

Ну, из моего решения - 50 минут от первой и 80 от второй.

От первой - это значит от той же самой. Минимум час, а не 50 минут.

[kotenok gav]

Нашёл ошибку. Правильно, вроде бы, так:

$f=0$ или $s=0$ (не оба). Если прошло $x$ часов, то, если $f=0$, $s\geq x$, а если $g=0$, $g\geq x$. Если $x\geq1$, описанная ситуация невозможна. Значит, $x<1$.
У нас есть отрезки $f=0, x\leq s<2$ и $s=0, x\leq f<1$. Соотношение их длин составляет $2-x$ к $1-x$. Значит, вероятность того, что нам выпал первый отрезок (т.е. первая пальма - быстрая) равна $\dfrac{2-x}{3-2x}$, а того, что второй - $\dfrac{1-x}{3-2x}$.
Если нам выпал первый отрезок, то под первой пальмой моряк получит кокос за $1-x$ часов, а под второй - через $s-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+2}2-x=1-0.5x$.
Если нам выпал второй отрезок, то под первой пальмой моряк получит кокос за $2-x$ часов, а под второй - через $f-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+1}2-x=0.5-0.5x$.
Значит, среднее время получения кокоса под первой пальмой составляет $(1-x)\dfrac{2-x}{3-2x}+(2-x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{4-6x+2x^2}{3-2x}$, а под второй - $(1-0.5x)\dfrac{2-x}{3-2x}+(0.5-0.5x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{2.5-3x+x^2}{3-2x}$.
Значит, нам надо сравнить числа $4-6x+2x^2$ и $2.5-3x+x^2$. Второе число больше тогда и только тогда, когда $x^2-3x+1.5$ отрицательно, т.е. $x>\dfrac{3-\sqrt3}2$ (т.к. $x$, очевидно, меньше $x>\dfrac{3+\sqrt3}2$).
Значит, если $x$ меньше этого числа, то моряк должен выбрать вторую пальму, если больше, то первую, а если равно, то без разницы.

[svv]

Geen в сообщении #1520471 писал(а):

И вообще, гонимый жаждой моряк за полчаса пройдёт не менее 3км - разглядеть с такого расстояния пальму, а уж тем более что там с чего падало....

Он ползёт...

[TOTAL]

lel0lel в сообщении #1520418 писал(а):

Под какой из пальм нужно караулить кокос, чтобы как можно быстрее напиться

Если пальмы стоят рядом, то без разницы. А если между пальмами расстояние в 15 минут, то эти минуты надо включить в условие и указать начальное положение моряка. Задача становится сложной, особенно для измученного жаждой моряка.

[Geen]

TOTAL в сообщении #1520510 писал(а):

А если между пальмами расстояние в 15 минут

Да пусть они вообще в противоположных направлениях... а пока он ползёт к пальме, в момент $y$ падаёт второй кокос...

[Евгений Машеров]

По-моему, типичная задача на теорему Байеса. Априорные вероятности по $\frac 1 2$, событие A составное, включает два независимых события: $A_1$падение кокоса с первой пальмы и $A_2$непадение в течение получаса со второй. Момент начала наблюдения считаем распределённым равномерно.
Если первая пальма "быстрая", то вероятность падения кокоса $P(A_1)$равна $\tau$, где "тау" - продолжительность падения кокоса с пальмы, выраженная в часах. Точное значение продолжительности не важно, поскольку в ходе вычислений она сократится. Вероятность непадения кокоса со второй пальмы за полчаса $P(A_2)$равна $\frac 3 4$
Если вторая пальма "быстрая", то $P(A_1)=\tau/2$, $P(A_2)=\frac 1 2$
В общем, 3:1, что "быстрая" первая пальма.

[svv]

Задачу можно слегка модифицировать (и добавить драматизма) так. Если моряк не напьётся за время $T$, считая от момента, когда достиг выбранной пальмы, он погибнет. Каковы у моряка шансы остаться в живых в зависимости от $T$ и выбранной пальмы (первая/вторая)?
Тут уже «не до жиру, быть бы живу».

[ozheredov]

Евгений Машеров в сообщении #1520514 писал(а):

Априорные вероятности по $\frac 1 2$

Мой исходный вопрос как раз был таким -- если использовать в задаче вероятностный подход, нужно откуда-то брать априорные вероятности, которые скорее всего автор задачи положил по $\frac 1 2$. Я считаю, что это неправильно. Какова априорная вероятность того, что у меня во дворе завтра приземлится боевой вертолет военно-воздушных сил Индонезии? $\frac 1 2$ -- либо приземлится, либо нет?

[svv]

ozheredov в сообщении #1520536 писал(а):

априорные вероятности, которые скорее всего автор задачи положил по $\frac 1 2$

А какие там вероятности положены по $\frac 1 2$?

[ozheredov]

svv
Ну, типа, какая пальма slow и какая fast... От этого будет зависеть множество, на котором определены фазы пальм. Можно наверное строить с.в. по-другому, но мы, кажется, снова упремся в априорные вероятности, которые нужно будет волевым усилием задавать. Или я опять не разобравшись?

[svv]

Ну, одна пальма fast, другая slow, а где тут момент произвольного выбора? Я имею в виду, при построении вероятностного пространства.

-- Вс май 30, 2021 22:14:52 --

P.S. Я понимаю, бывают такие ситуации в математике, когда вроде всё расписано, а нет уверенности, хоть ты тресни.

[ozheredov]

svv
У нас есть некое наблюдение (упало, пока шел не падало, и т.п.), вероятность которого такая, если пальма, с которой упало, Fast, а вторая пальма Slow, и другая, ежели наоборот. И если применять Байеса, то вот эти два события 1F2S и 1S2F -- должны иметь некую априорную вероятность.

P.S. Не уверен на 100% в том что написал. Критикуйте )