2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 22:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В формулу Байеса входят (в числе прочих величин) априорные вероятности, но этот термин не означает, что они вообще задаются произвольно. Мы тут обсуждали модель, в которой, по единодушному мнению, вероятности 1F2S и 1S2F получаются $3/4$ и $1/4$. Конечно, так или иначе придётся начать с выбора равновероятных элементарных событий, но это точно не 1F2S и 1S2F. Равновероятны фазы (до отбрасывания тех, которые противоречат условию) — по-моему, естественное предположение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 23:14 


10/03/16
3855
Aeroport
svv в сообщении #1520560 писал(а):
Равновероятны фазы (до отбрасывания тех, которые противоречат условию) — по-моему, естественное предположение.


Можно отсюда поподробнее? Одна из фаз меняется с периодом 1 час, другая 2 часа, и мы вводим равномерное распределение на прямом произведении этих отрезков? А момент высадки типа находится на границе этого прямоугольника, потому как кокос упал?

-- 30.05.2021, 23:17 --

А, вроде начинает доходить

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 23:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Всё точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение31.05.2021, 06:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9489
Москва
Разница с "индонезийским вертолётом" в том, что информации о существовании индонезийских вертолётов в доступности нет (а вдруг прилетел на авиабазу Кубинка для участия в воздушном параде по случаю 76 годовщины победы над Японией?). А что пальм две, одна "быстрая", вторая "медленная", нам задано. И произвольный выбор лишь в том, чтобы обозначить её №1и №2. Не зависящий от моряка момент - где он потерпел кораблекрушение, с какой стороны увидел две пальмы. И зависящий - нумеровать слева направо или справа налево. И оба выбора совершенно равнозначны. Так что 0.5 и 0.5 вполне обоснованный выбор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение31.05.2021, 20:39 


31/05/21
12
С. Петербург
Спасибо автору за задачу. Забрал себе в базу. Решение несложное, но поучительное. Евгений Машеров
прав, я рассуждал так же. Только осталось дописать решение: Первая стратегия - остаться у первой пальмы (с которой упас кокос). Тогда матожидание будет $\frac{7}{16}$ часа. А при второй стратегии - $\frac{14}{16}$. То есть, по принципу максимизации полезности решение остаться у пальмы с выпавшим кокосом явно лучше. Кстати, по принципу минимизации риска оно также лучше.

Для понимания рекомендую еще чуть обобщить задачу (чтоб не рассуждали больше о дискретизациях, пределах и двумерных распределениях). Пусть этот кокос упал не в начальный момент времени, а в произвольный момент t во время пути. Тогда апостериорные вероятности вычисляются аналогично, но применение здесь простой геометрической вероятности будет более очевидным. В матожидание добавится параметр t, но вывод останется прежним.

А вообще эта задача отлично иллюстрирует так называемый Байесовский принцип принятия решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение31.05.2021, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Balexxx в сообщении #1520672 писал(а):
Тогда матожидание будет $\frac{7}{16}$ часа. А при второй стратегии - $\frac{14}{16}$.

Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 00:43 


31/05/21
12
С. Петербург
Да, в уме считал, чуть ошибся. Вот, с поправкой. Простите за вид, неудобно в TEXE таблицы набирать. В клетках 1,2 и 2,1 стоят матожидания кокоса при данной ситуации.

$$\begin{pmatrix}
 & $Вероятность ситуации$ & 3/4 & 1/4 &  \\
 & $Стратегия - Ситуация$ & $Первая$ & $Вторая$ & $ Матожидание & $Дисперсия (риск)$  \\
 & $Первая$ & 0,5 & 0,25 &  7/16 & 0,012  \\
& $Вторая$ & 0,75 & 1,5 & 15/16 & 0,105  \\
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 01:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Поясните, пожалуйста, какую ситуацию Вы называете первой, а какую второй? (Со стратегиями понятно.)

-- Вт июн 01, 2021 01:56:55 --

Когда моряк высадился на берег, кокос упал либо с быстрой пальмы, либо с медленной. Если Вы эти две ситуации называете, соответственно, первой и второй (другой разумной интерпретации таблицы я не вижу), в таблице надо поменять местами числа $1.5$ и $0.25$:
$$\begin{tabular}{l|c|c}
 & быстрая & медленная \\
 & пальма & пальма \\
\hline
вероятность & $3/4$ & $1/4$ \\
1 стратегия & $0.5$ & $1.5$ \\
2 стратегия & $0.75$ & $0.25$
\end{tabular}$$
Конечно, при этом изменятся и дальнейшие вычисления, и вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 01:57 


31/05/21
12
С. Петербург
Первая - пальма, с которой упал кокос, быстрая. Вторая - наоборот.
Спорная клетка 1,2. При первой стратегии моряк может подобрать кокос только с первой пальмы. Если кокос упал с нее, то 0,5. Тут все согласны. Если кокос упал с медленной пальмы, то с первой пальмы он еще не падал и среднее время ожидания кокоса в этой ситуации 0,25.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 02:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо. Ну, если я выбрал первую стратегию — сесть под пальмой, с которой упал кокос, а ситуация оказалась второй (пальма медленная), то с момента, когда я до неё доползу, мне останется ждать кокоса 1.5 часа, без вариантов.

-- Вт июн 01, 2021 02:09:12 --

Balexxx в сообщении #1520696 писал(а):
Если кокос упал с медленной пальмы, то с первой пальмы он еще не падал и среднее время ожидания кокоса в этой ситуации 0,25.
Так ведь нас интересует среднее время ожидания падения кокоса не с любой пальмы, а только с выбранной. Вы же сами написали, что моряк может подобрать кокос только с той пальмы, под которую сел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 02:16 


31/05/21
12
С. Петербург
Да, Вы правы. Затупил чего-то на ровном месте. Решение обратное:

$$\begin{pmatrix}
 & $Вероятность ситуации$ & 3/4 & 1/4 &  \\
 & $Стратегия - Ситуация$ & $Первая$ & $Вторая$ & $ Матожидание & $Дисперсия (риск)$  \\
 & $Первая$ & 0,5 & 1,5 &  3/4 & 0,188  \\
& $Вторая$ & 0,75 & 0,25 & 5/8 & 0,047  \\
\end{pmatrix}$$

А при увеличении параметра t, матожидание второго варианта будет лучше еще на 0.5t. А при увеличении времени подхода к пальме на 0,5-1 можно подобрать параметр так, что оба решения будут равноценны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 02:26 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Отлично, теперь всё совпадает (дисперсию не проверял).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение01.06.2021, 19:24 


21/05/16
4292
Аделаида
Balexxx в сообщении #1520701 писал(а):
А при увеличении параметра t, матожидание второго варианта будет лучше еще на 0.5t. А при увеличении времени подхода к пальме на 0,5-1 можно подобрать параметр так, что оба решения будут равноценны.

Да, на предыдущей странице всё расписано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение02.06.2023, 18:27 


02/06/23
1
Хоть решение уже расписано в нескольких интерпретациях, но позволю себе тоже предложить свой вариант с точки зрения логики и выбора опт. стратегии. Ибо задача интересная.
К. -кокос; П. -пальма; М.- моряк, О.- обезьяна
Имеем:

Исход 1. К. упал с п. А (которая дает 1 к. в 1ч.)
Стратегия 1. Идем к п. А. $30 + 30 = 60$ мин (с учетом пути).
Стратегия 2. Идем к п. B:
Худший вариант: (к. упал в момент подхода и о. забрала его пусть на 1 мин. раньше) $ 29+ 120 $= 2ч. 29 мин.
Лучший вариант: к. упал сразу после прихода м. - $31$ мин.
Среднее арифм. = $1,5$ч.

Исход 2. К. упал с п. B (которая дает 1 к. в 2ч.)
Стратегия 1. Идем к п. B. $30+ 90 = 2$ч.
Стратегия 2. Идем к п. A.
Худший вариант: $29 +60 = 89$ мин.
Лучший вариант: $1$ ч.
Среднее 74 мин = 1ч. 14 мин.

Итого:
Стратегия 1 (идти к упавш.): $(60+120)/2 = 1$ч. 30 мин. в среднем (время ожидания включая путь).
Стратегия 2 (идти к не упавш.): $(74+90)/2 $ ~ 2ч.

Возможно где-то ошибаюсь, и вероятности нужно рассчитать поминутно. Но вот с точки зрения выбора оптимальной стратегии, думаю, это правильный вариант.
*Решение задачи без учета условия "Что кокосы не падали во время движения м."

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group