Кокосовые пальмы

[svv]

Давайте чуть иначе. Момент высадки считаем нулевым, а фаза быстрой (fast) пальмы $f=0...59$ и фаза медленной (slow) пальмы $s=0...119$ — это независимые равномерно распределённые дискретные случайные величины. Фаза пальмы, по определению, это момент первого падения кокоса с этой пальмы, начиная с момента высадки.

Условие, что в момент высадки упал один кокос: $f=0$ или $s=0$, но не оба. Далее рассматриваем только такие исходы, когда это условие выполнено. Та пальма, фаза которой равна нулю, и называется первой.
Условие, что второй кокос упал не ранее чем через полчаса: если $f=0$, то $s\geqslant 30$; если $s=0$, то $f\geqslant 30$.

[Geen]

svv в сообщении #1520435 писал(а):

Мне помог такой костыль, как дискретное время.

Это выглядит нечестно - ведь исходно, до аннигиляций, случайная точка высадки (время, остров) равномерно распределена на прямоугольнике... а первая аннигиляция редуцирует его до трёх отрезков (без крайних точек) - а у них мера 0....

[svv]

Утверждаете ли Вы, что если потом устремить шаг дискретности к нулю, условные вероятности не будут стремиться к вероятностям исходной задачи?
Приём и был задуман как избавляющий от необходимости сравнивать нулевые меры.

[Geen]

svv в сообщении #1520444 писал(а):

Утверждаете ли Вы

Ну это уж совсем нечестно - я высказал сомнения, а с меня требуют доказательство

[svv]

Хорошая модель должна обеспечивать (пусть в пределе при $\Delta t\to 0$), что с вероятностью $2/3$ первая пальма оказывается быстрой, а с вероятностью $1/3$ медленной. Не хотелось вводить это аксиоматически.

[Geen]

svv в сообщении #1520444 писал(а):

Приём и был задуман как избавляющий от необходимости сравнивать нулевые меры.

Думаю, надо "разбавить" точные величины (упал кокос, шёл полчаса) небольшим случайным "шумом" и доказать, что от распределения шума результат не зависит...

Хотя я почти не сомневаюсь, что результат будет положительным, но хочется каких-то оснований работоспособности такого приёма (а то вот он мне понравился, а его применю когда нельзя)...

-- 30.05.2021, 01:54 --

svv в сообщении #1520446 писал(а):

с вероятностью $2/3$ первая пальма оказывается быстрой, а с вероятностью $1/3$ медленной.

Там же отношение длин отрезков 1 к 3?

[svv]

В непрерывной модели фазы лучше измерять в часах. Тогда мы работаем на прямоугольнике $(f,s)\in [0;1)\times[0;2)$. Моряк избегает первой аннигиляции, если попадает либо на ось абсцисс, либо на ось ординат (но не на обе, но это мелочь). Их пересечение с прямоугольником даёт объединение двух открытых отрезков (красненькие). Может, на этом объединении и надо вводить меру? Вертикальный отрезок соответствует случаю, когда $f=0$, то есть когда первая пальма — быстрая, и он вдвое длиннее горизонтального, отсюда и отношение вероятностей. (Другой способ сказать, что быстрая пальма даёт кокосы вдвое чаще.)



На всякий случай повторю, я теперь использую такие соглашения, они лучше:

svv в сообщении #1520442 писал(а):

Давайте чуть иначе. Момент высадки считаем нулевым, а фаза быстрой (fast) пальмы $f=0...59$ и фаза медленной (slow) пальмы $s=0...119$ — это независимые равномерно распределённые дискретные случайные величины. Фаза пальмы, по определению, это момент первого падения кокоса с этой пальмы, начиная с момента высадки.

-- Вс май 30, 2021 03:12:09 --

Geen в сообщении #1520447 писал(а):

Там же отношение длин отрезков 1 к 3?

А, наконец, я Вас понял. Я имел в виду, $1:2$ после первой аннигиляции. А до второго условия (про полчаса) я ещё не дошёл.

[lel0lel]

svv
Возможно, имеет смысл на графике сразу указать, что ненулевая фаза больше получаса. Тогда отношение отрезков будет таким, как указал Geen. Пока набирал сообщение вы про это сказали.

[svv]

Тогда вот такой график:

Думаю, в самом деле надо ввести меру на объединении этих отрезков, а в рассмотрении дискретного варианта нет необходимости.

Добавил циферки в формате ${\color{blue}T_1;}{\color{magenta}T_2}$.
${\color{blue}T_1}$ — сколько времени моряку ждать кокоса, если он сядет под первой пальмой.
${\color{magenta}T_2}$ — сколько ждать, если сядет под второй пальмой.

[TOTAL]

lel0lel в сообщении #1520418 писал(а):

Пока моряк шёл до пальм прошло полчаса, за это время кокосы не падали.

Пока моряк шёл до пальм прошло $30(3-\sqrt{3})$ минут, за это время кокосы не падали. Куда теперь бежать моряку?

[kotenok gav]

Тогда получается такое решение в общем виде (всё взято из решения svv):
$f=0$ или $s=0$ (не оба). Если прошло $x$ часов, то, если $f=0$, $s\geq x$, а если $g=0$, $g\geq x$. Если $x\geq1$, описанная ситуация невозможна. Значит, $x<1$.
У нас есть отрезки $f=0, x\leq s<2$ и $s=0, x\leq f<1$. Соотношение их длин составляет $2-x$ к $1-x$. Значит, вероятность того, что нам выпал первый отрезок (т.е. первая пальма - быстрая) равна $\dfrac{2-x}{3-2x}$, а того, что второй - $\dfrac{1-x}{3-2x}$.
Если нам выпал первый отрезок, то под первой пальмой моряк получит кокос за $1-x$ часов, а под второй - через $s-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+2}2-x=1-0.5x$.
Если нам выпал второй отрезок, то под второй пальмой моряк получит кокос за $2-x$ часов, а под первой - через $f-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+1}2-x=0.5-0.5x$.
Значит, среднее время получения кокоса под первой пальмой составляет $(1-x)\dfrac{2-x}{3-2x}+0.5(1-x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{(1-x)(2.5-1.5x)}{3-2x}=\dfrac{2.5-4x+1.5x^2}{3-2x}$, а под второй - $0.5(2-x)\dfrac{2-x}{3-2x}+(2-x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{(2-x)(2-1.5x)}{3-2x}=\dfrac{4-5x+1.5x^2}{3-2x}$.
Очевидно, что числа $1.5x^2$ и $3-2x$ положительны. Значит, нам надо сравнить числа $2.5-4x$ и $4-5x$. Нетрудно заметить, что второе число всегда больше (т.к. $x<1.5$).
Значит, моряк должен всегда выбирать первую пальму.

[Geen]

TOTAL в сообщении #1520459 писал(а):

Куда теперь бежать моряку?

https://youtu.be/_FQEA0dAA0I

[TOTAL]

kotenok gav в сообщении #1520464 писал(а):

Значит, моряк должен всегда выбирать первую пальму.

Первая пальма даст орех минимум через час.

[kotenok gav]

TOTAL, да. Но в среднем вторая пальма даст орех позже, чем первая.

[Geen]

И вообще, гонимый жаждой моряк за полчаса пройдёт не менее 3км - разглядеть с такого расстояния пальму, а уж тем более что там с чего падало....