Топология, первое знакомство.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519733 писал(а):

Пусть нам дана пара $(2, 3)$. Какое здесь отношение? Неизвестно, потому что оно не указано.

Если отношение $R$ (рассматриваемое как подмножество декартова произведения $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$) состоит из одной пары $(2,3)$, т.е. $R=\{(2,3)\}$, это значит, что число $2$ состоит в отношении $R$ с числом $3$, а больше никакое число ни с каким числом в этом отношении не состоит. Если $R=\{(2,3),\,(4,5)\}$, то это значит, что $2R3$, $4R5$, и больше никакие числа ни с какими в этом отношении не состоят. Тогда, например, $R[\{2,4\}]=\{3,5\}$, $R[\{1,2\}]=\{3\}$, $R[\{5,6\}]=\varnothing$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519733 писал(а):

Чтобы задать отношение, надо либо перечислить все соответствия, либо указать правило, по которому можно их найти.

Ну да. Вот элементы подмножества декартова произведения - эти самые пары - и перечисляют, что первому элементу в каждой паре соответствует второй элемент в этой же паре.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519733 писал(а):

Как я понимаю, подмножество $A$ декартова произведения $X\times Y$ это еще не отношение

Нет, уже отношение.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519733 писал(а):

Отношение $xRy, \;\; x\in X, y\in Y$ это отображение $R$ подмножества $A$ декартова произведения $X\times Y$ в некоторое множество $B$:

$$R\colon A\subseteq X\times Y\to B,$$

или

$$xRy=z, \; z\in B.$$

Если отношение $R$ это сложение натуральных чисел, то $X,Y=\mathbb N$, значит, $X\times Y={\mathbb N}^2$, $A=X\times Y={\mathbb N}^2, \; B=\mathbb N$:

$$R\colon {\mathbb N}^2\to \mathbb N.$$

В случае с парой $(2, 3)$, то есть при $x=2, y=3$, имеем $2R 3=2+3=5$.

Нет, всё не так! $2R3$ - это не число, а утверждение, оно может принимать только значения "да" и "нет", т.е. может быть верным или неверным. Для тех отношений $R$, для которых $(2,3)\in R$, утверждение $2R3$ верно, а для тех, для которых $(2,3)\notin R$ - неверно.

Пример отношения - знак "$<$". Например, $2<3$ верно, а $5<4$ неверно. На языке множеств это значит, что $(2,3)\in <$, а $(5,4)\notin <$ (хотя так редко пишут).

Vladimir Pliassov в сообщении #1519733 писал(а):

Таким образом, (во всяком случае здесь) под бинарным отношением имеется в виду отношение между аргументом и функцией (от одного аргумента)

Это частный случай отношения. Если $f:\,X\to Y$ - функция (отображение), то можно ввести отношение $\{(x,f(x))\,|\,x\in X\}$. Но не все бинарные отношения таковы, например отношение $<$ не таково.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Кажется, начинаю разбираться.

Рефлексивность:

$$a\,R\,a,$$

например, $2=2$.

Антирефлексивность:

$$a\,\not R\,a,$$

например,

Цитата:

Антирефлексивные отношения:

отношение неравенства (${\displaystyle \neq \;}$);
отношения строгого порядка:
отношение строгого неравенства (${\displaystyle <\;}$);
отношение строгого подмножества (${\displaystyle \subset }$);
отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.

Симметричность:

$$a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a,$$

например, $\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\sim \triangle ABC.$

Цитата:

Пусть $R$ — отношение, определенное на множестве $M=\{a,b,c\}$. При этом $R=\{(a,b),\,(b,c),\,(a,a),\,(b,a),\,(c,b)\}$. Для этого отношения имеем $\forall x,y\in M\; (x,y)\in R\to (y,x)\in R$. По определению $R$ симметрично. https://it.rfei.ru/course/~QVDa/~chapte ... y-relation

Антисимметричность:

$$a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b,$$

Цитата:

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если $a\leq b$ и $b\leq a, \;\;a=b$. https://it.rfei.ru/course/~QVDa/~chapte ... y-relation

Транзитивность:

$$a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c,$$

например, $a\parallel b, \; b\parallel c \Rightarrow a\parallel c$;

Цитата:

Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условие $\forall a,b,c\in M\;\; a>b\wedge b>c\to a>c$. https://it.rfei.ru/course/~QVDa/~chapte ... y-relation

Антитранзитивность:

$$a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c,$$

например, Маша любит Федю, Федя любит Иру, поэтому Маша не любит Иру.
Или $a\perp b, \; b\perp c \Rightarrow a\not \perp c$.

Связность:

$$a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a,$$

Цитата:

Связный граф - граф, содержащий ровно одну компоненту связности Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь https://yandex.ru/turbo/google-info.org ... znost.html

Цитата:

Эквивалентное бинарное отношение
Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка
Бинарное отношение $R$ на множестве $M$ называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка. https://it.rfei.ru/course/~QVDa/~chapte ... y-relation

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519800 писал(а):

Связность:

$$a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a,$$

Vladimir Pliassov в сообщении #1519800 писал(а):

Связный граф - граф, содержащий ровно одну компоненту связности Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь

А какое тут отношение $R$?

Видимо, Вы не до конца понимаете, что термины в математике имеют много значений. То, что называется "связностью" в одном математическом тексте, и то, что называется связностью в другом математическом тексте, может не иметь вообще ничего общего (к слову, у понятия "связность" в диф.геометрии есть и третье значение, тоже не имеющее отношения к этим двум). Поэтому, если необходимо работать с двумя разными источниками, то в них надо обращать внимание на определения используемых понятий. Если они одинаковы или равносильны, то имеется в виду одно и то же, а если нет то нет.

[Vladimir Pliassov]

Отношение $R$ здесь, как я понимаю, это "путь от ... к ...".

Мне показалось очень ясным, что утверждения (?)

$$a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$$

и

Цитата:

между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь

соответствуют друг другу: $a\neq b$ это значит, что пара вершин $(a, b)$ состоит из двух разных вершин (а не из одной и той же вершины, взятой два раза), $\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$ значит, что в этом случае существует либо путь от $a$ к $b$, либо путь от $b$ к $a$.

Что же касается самой связности, то мне она представляется в том, что любые две вершины графа связаны как минимум путем в одну сторону (правда вместо "между любой парой вершин" я бы сказал: "между элементами любой пары вершин").

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519838 писал(а):

Отношение $R$ здесь, как я понимаю, это "путь от ... к ...".

Путь — это не отношение. Путь — это последовательность рёбер графа, удовлетворяющая определённым условиям, а отношение — это функция от своих аргументов, принимающая значения "истина"/"ложь". Конечно, эта функция имеет разного рода модели в теории множеств; например, бинарное отношение на множестве $X$ можно моделировать как подмножество декартова квадрата $X^2$, или ещё как-нибудь, но это в любом случае не путь.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519838 писал(а):

соответствуют друг другу: $a\neq b$ это значит, что пара вершин $(a, b)$ состоит из двух разных вершин (а не из одной и той же вершины, взятой два раза), $\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$ значит, что в этом случае существует либо путь от $a$ к $b$, либо путь от $b$ к $a$.

Ага, то есть Вы рассматриваете ориентированный граф и вводите на множестве его вершин отношение $R$ так: $aRb$ тогда и только тогда, когда существует путь из $a$ в $b$. И хотите назвать такой граф связным, если для любых двух разных вершин существует либо ориентированный путь из первой во вторую, либо ориентированный путь из второй в первую.

Я не знаток теории графов, особенно ориентированных, но не уверен, что существует такое понятие связности ориентированного графа (может и существует). Определение связности графа, которое Вы процитировали, скорее всего относится к неориентированным графам. А для неориентированных графов формулировка $a\,R\,b\lor b\,R\,a$ неудачна, потому что для них $aRb$ и $bRa$ означало бы одно и то же.

С другой стороны, для любых графов фрагмент формулировки $a\neq b\to\dots$ точно неудачен, потому что, кажется, при любом адекватном определении $aRa$ будет верно, так что неясно, зачем вводить требование различности вершин $a$ и $b$.

Возможно, на этом пути, если специально задаться такой целью, можно связать понятие связности отношения и понятие связности графа. Но нужно ли? - решайте сами.

[Vladimir Pliassov]

1.

Спасибо! У меня не было таких далеко идущих планов (правда, теперь Вы подсказали мне, о чем они могли бы быть), я просто искал примеры отношения связности и нашел только этот (как я вижу, не бесспорный).

А какие другие примеры связности можно привести? И есть ли какое-то общее представление об отношении связности?

2.

Цитата:

$A\times B=\{(x, y): x\in A, y\in B\}$. Если $B$ не пусто, то областью определения отношения $A\times B$ служит $A$.

Келли, http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_03.pdf

А если $B$ пусто, то что? Что здесь имеется в виду? Зачем он это сказал?

Кстати, если $B$ пусто, может ли идти речь о декартовом произведении $A\times B$? Каждый элемент множества $A$ составляет пару с каждым элементом множества $\varnothing$, и при этом получается вырожденное произведение $A\times B$ (множество вырожденных пар), то есть множество $A$?

Тогда вырожденное произведение $A\times B$ это вырожденное отношение $A\times B$, то есть одноместное отношение $A$, соответствующее свойству?

Цитата:

Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. (Википедия)

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519864 писал(а):

А если $B$ пусто, то что?

Любой элемент $A\times B$ - это обязательно упорядоченная пара, в которой первый элемент принадлежит $A$, а второй принадлежит $B$.
Если $B=\varnothing$, то таких пар не может существовать. Значит, тогда $A\times B=\varnothing$.
Это значит, что в отношении $A\times B$ не состоят друг с другом никакие элементы.
Теперь посмотрите определение области определения отношения и скажите, чему она равна для такого отношения и почему.

[Vladimir Pliassov]

У Келли

Цитата:

Областью определения отношения $R$ называется множество всех первых координат входящих в $R$ элементов ... формально область определения $R=\{x: \text {для некоторого} \;y \;\;(x, y)\in R\}$

Поскольку при $B=\varnothing$ не существует некоторого $y\in B$, не существует и $(x, y)\in R$, поэтому не существует и $x:\;(x, y)\in R$, таким образом, область определения $R=\{x: \text {для некоторого} \;y \;\;(x, y)\in R\}=\varnothing.$

Если это правильно, то тогда понятно, что Келли имел в виду под

Цитата:

Если $B$ не пусто, то областью определения отношения $A\times B$ служит $A$.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Да, верно.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1519841 писал(а):

Путь — это не отношение. ... отношение — это функция от своих аргументов, принимающая значения "истина"/"ложь".

Наверное, так будет правильно:

Mikhail_K в сообщении #1519844 писал(а):

$aRb$ тогда и только тогда, когда существует путь из $a$ в $b$.

Как записать эту функцию (принимающую значения "истина"/"ложь") применительно к $aRb$?

Это должно быть отображение $A\times B \to \{0, 1\}$?

Ее аргументы это $a$ и $b$?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1519654 писал(а):

В качестве упражнения попробуйте подобрать такое отношение $R$ и такие множества $A$ и $B$, чтобы $R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$.

Снова попытался решить Вашу задачу, но пришел к противоречию с формулой $R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B]$ (наверное, в результате неправильного понимания).

Путь $\textbf x, \textbf y, \textbf z$ будет ортогональный базис в трехмерном евклидовом пространстве $L$.

Пусть $A$ будет множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf x, \textbf y$,

$B$ -- множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf x, \textbf z$,

$C$ -- множеством всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf y, \textbf z$,

$X$ будет множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf x$,

$Y$ -- множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf y$,

$Z$ -- множеством всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf z$,

и пусть $R$ будет отношением ортогональности векторов пространства $L$.

Тогда $A\cap B=X, \; R[A\cap B]=C$, то есть каждый вектор множества $X$ ортогонален каждому вектору множества $C$,

$R[A]=Z, \; R[B]=Y\Rightarrow R[A]\cap R[B]=\textbf 0.$

Таким образом, $R[A\cap B]\not \subset R[A]\cap R[B]$.

Что не так?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520047 писал(а):

Что не так?

$R[A]=Z$ - неверно. Подумайте почему, используя определение.

На самом деле, даже $R[A\cap B]=C$ неверно, хотя это сложнее заметить. Проще заметить ошибку в $R[A]=Z$.

[Vladimir Pliassov]

У Келли:

Цитата:

$R[A]$, множество всех $R$-образов точек из $A$ определяется как $\{y:\;xRy\; \text {для некоторого}\;x\;\text {из} \;a\}$

$A$ это множество всех векторов линейной оболочки векторов $\textbf x, \textbf y$ (обозначим ее $L_{\textbf x, \textbf y}$), каждый из элементов $A$ отношением $R$ отображается в каждый элемент множества $Z$ (множества всех векторов линейной оболочки вектора $\textbf z$, обозначим ее $L_\textbf z$), то есть каждый вектор подпространства $L_{\textbf x, \textbf y}$ пространства $L$ ортогонален каждому вектору подпространства $L_\textbf z$ пространства $L$ (это много-многозначное отображение).

Иначе говоря, каждый вектор плоскости $x, y$ отношением $R$ (отношением ортогональности) отображается в каждый вектор оси $z$.

Таким образом, $Z$ это "множество всех $R$-образов точек из $A$" (здесь каждый вектор это точка), то есть $R[A]=Z$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520058 писал(а):

каждый вектор плоскости $x, y$ отношением $R$ (отношением ортогональности) отображается в каждый вектор оси $z$

Но только ли в них? Тут же не функциональное отношение, один вектор может отображаться много куда. Например, куда отображается вектор $(1, 0, 0)$?