Топология, первое знакомство.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо, я понял, что оперировать надо только с множествами.

Someone в сообщении #1520256 писал(а):

Соответственно, отношению равенства на этом множестве соответствует множество $\{(a,a),(c,c)\}\subset\{a,c\}^2=\{(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)\}$. Если хотите, можете изобразить это "матрицей".

Но почему же не изобразить? Ведь это декартово произведение (декартов квадрат), мне кажется, что его очень удобно представлять в виде матрицы, то есть пусть будет

$$\{(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)\}=\begin {bmatrix} a\\ c \end {bmatrix}\begin {bmatrix} a&c \end {bmatrix}=\begin {bmatrix} (a,a)&(a,c)\\ (c,a)&(c,c) \end {bmatrix}.$$

И матрица

$$\begin {bmatrix} (a,a)&(a,c)\\ (c,a)&(c,c) \end {bmatrix}\eqno {(3)}$$

будет "заготовкой" матрицы отношения, определенного на множестве $\{a, c\}$, то есть вместо каждой пары в (3) надо поместить либо единицу, если для этой пары отношение выполняется, либо ноль, если не выполняется. Для отношения равенства получим

$$\begin {bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end {bmatrix},\eqno {(4)}$$

для отношения неравенства --

$$\begin {bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end {bmatrix}.\eqno {(5)}$$

Кстати, если определять отношение на множестве таким образом, само по себе декартово произведение области определения отношения на его область значений в виде матрицы (3) еще не задает отношения, потому что в (3) не указано, какой паре соответствует единица, а какой ноль.

[Vladimir Pliassov]

По-моему, у Келли http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_03.pdf стр.23 ошибка:

Цитата:

отношение $R$ называется антисимметричным тогда и только тогда, когда $xRy$ и $yRx$ никогда не выполняются одновременно. Иными словами, $R$ антисимметрично в том и только в том случае, когда $R\cap R^{-1}$ пусто.

Это не антисимметричное, а асимметричное отношение.

Цитата:

Асимметричное отношение в математике — бинарное отношение $R$ на некотором множестве $X$, обладающее для любых $a,b$ из $X$ следующим свойством «невзаимности»[1]: если $a$ связано данным отношением с $b$, то $b$ не связано с $a$. Формальная запись:

$$\forall a,b\in X(aRb\Rightarrow \lnot (bRa)).$$

Примером может служить отношение «меньше» между вещественными числами: если $x<y$, то невозможно, чтобы одновременно $y<x$. Напротив, отношение «меньше или равно» не является асимметричным, так как в случае $x=y$ верны оба неравенства: $x\leqslant y;\ y\leqslant x.$ Другой пример: отношение «быть родителем». (Википедия)

«быть родителем» -- асимметричность.

Антисимметричность:

$$a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b,$$

Цитата:

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если $a\leq b$ и $b\leq a, \;\;a=b$. https://it.rfei.ru/course/~QVDa/~chapte ... y-relation

Цитата:

Не следует путать асимметричное и антисимметричное отношение — последнее не исключает возможности $aRb$ и $b R a$ одновременно, если $a=b.$ (Википедия)

[mihaild]

Не то чтобы ошибочно, но расходится с современной принятой терминологией, и в оригинале так же. Видимо либо 70 лет назад были другие определения, либо Келли стандартные не нравились.

[Vladimir Pliassov]

Поскольку в теории множеств рассматриваются только множества (но не мультимножества), отношение равенства занимает в ней особое место: в пределах одного множества оно возможно только для пар, каждая из которых представляет собой один и тот же элемент, взятый два раза, но не для пар, состоящих из разных элементов.

Например, в пределах одного множества $X=\{a, b, c\}$ общая формула транзитивности равенства

$$\forall a, b, c\in X, \; a=b\land b=c\Rightarrow a=c,$$

вырождается в

$$\forall a\in X, \; a=a\land a=a\Rightarrow a=a$$

(так как $a\ne b, b\ne c$).

В противоположность этому, скажем, отношение параллельности в пределах одного множества $X$ возможно для пар, состоящих из разных элементов (например, из разных прямых), поэтому формула транзитивности параллельности имеет невырожденный вид:

$$\forall a, b, c\in X, \; a\parallel b\land b\parallel c\Rightarrow a\parallel c.$$

То же самое касается симметричности равенства, в общем виде это

$$\forall a, b\in X, \; a=b\Rightarrow b=a,$$

но в пределах одного множества --

$$\forall a\in X, \; a=a\Rightarrow a=a.$$

Для симметричности параллельности:

$$\forall a, b\in X, \; a\parallel b\Rightarrow b\parallel a.$$

Что касается рефлексивности равенства, то, поскольку рефлексивность, вообще, есть отношение элемента с самим собой, общая формула рефлексивности равенства совпадает с формулой для одного множества:

$$\forall a\in X, \; a=a.$$

Для рефлексивности параллельности:

$$\forall a\in X, \; a\parallel a.$$

Очевидно, общие формулы транзитивности равенства

$$\forall a, b, c\in X, \; a=b\land b=c\Rightarrow a=c$$

и симметричности равенства

$$\forall a, b\in X, \; a=b\Rightarrow b=a$$

не вполне актуальны для одного множества (то есть они актуальны для него только в том отношении, что их можно представить в виде $\forall a\in X, \; a=a\land a=a\Rightarrow a=a$, $\forall a\in X, \; a=a\Rightarrow a=a$).

Может быть, они вполне актуальны для разных пересекающихся множеств, но с этим еще надо разбираться.

(И, разумеется, они вполне актуальны для мультимножеств, но я их сейчас не рассматриваю).

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1520320 писал(а):

Очевидно, общие формулы транзитивности равенства

$$\forall a, b, c\in X, \; a=b\land b=c\Rightarrow a=c$$

и симметричности равенства

$$\forall a, b\in X, \; a=b\Rightarrow b=a$$

не вполне актуальны для одного множества

Вполне актуальны. Процитированные здесь утверждения верны.

Запись $a=b$ вполне корректна - она означает, что $a$ и $b$ представляют собой один и тот же элемент, но это не обязывает нас отказываться от этой записи и заменять её на $a=a$.

[Vladimir Pliassov]

"не вполне актуальны", конечно, "не вполне удачное" выражение, я просто не знаю, как надлежащим образом выразить свою мысль, но я там дальше написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1520320 писал(а):

(то есть они актуальны для него только в том отношении, что их можно представить в виде $\forall a\in X, \; a=a\land a=a\Rightarrow a=a$, $\forall a\in X, \; a=a\Rightarrow a=a$).

Во всяком случае, если можно так сказать, эти формулы в общем виде более актуальны, например, для мультимножества или, предположительно, для разных множеств, потому что в одном и том же мультимножестве и в одной и той же совокупности множеств могут иметься одинаковые элементы, а в множестве -- нет.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1520119 писал(а):

Vladimir Pliassov
Зачем с боями и большим трудом продираться через сложные книги? Может взять книги попроще? Например, алгебру проще читать по Кострикину или Винбергу или Калужнину ..., чем по Ленгу.

Я тоже несколько месяцев назад хотел, чтобы мне помогли прочитать Верещагина-Шена, но после нескольких указаний на то, что я просто не готов к этой книге, я принялся за настоятельно рекомендуемого мне Кострикина. Всему свое время.

(Оффтоп)

очень надеюсь, что меня не оставят без помощи в освоении его.