Топология, первое знакомство.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519103 писал(а):

Если да, то $X=\mathbb R$ не может браться в качестве основного множества дискретного пространства

mihaild в сообщении #1519003 писал(а):

Дискретная топология никакого отношения к "дискретным множествам" не имеет

[Vladimir Pliassov]

Но ведь

Someone в сообщении #1519071 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519002 писал(а):

в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ должны быть дискретными

Так и есть, и это легко проверяется.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519129 писал(а):

Но ведь

Someone в сообщении #1519071 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519002 писал(а):

в дискретном пространстве все подмножества множества $X$ должны быть дискретными

Так и есть, и это легко проверяется.

А, вы берете такое определение вместо предыдущего. Оно (определение) зависит от топологии, и никак не связано с интервалами. Относительно дискретной топологии $\mathbb R$ все его подмножества дискретны. Относительно стандартной - нет.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1519105 писал(а):

Присоединюсь к совету не читать интернет. Это может очень сильно запутать.

А что бы Вы порекомендовали по топологии?

[Anton_Peplov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519134 писал(а):

А что бы Вы порекомендовали по топологии?

Попробуйте Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1519153 писал(а):

Попробуйте Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

ТС эту книгу и читает.
Действительно, хорошая книга.

[Vladimir Pliassov]

Anton_Peplov в сообщении #1519153 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519134 писал(а):

А что бы Вы порекомендовали по топологии?

Попробуйте Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев. Элементарная топология.

Спасибо! Да, я ее и читаю.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519103 писал(а):

Это понятно, если множество состоит из отдельных точек, например, если $M=\{1, 2, 3\}$, то $x=2$ содержится в интервале $(1,5; \;2,5)$, не содержащем других точек множества $M$.

Но если множество $M$ это интервал $(a, b)$, то никакая его точка не содержится в некотором интервале, не содержащем других точек интервала $(a, b)$ . Разве нет?

Если да, то $X=\mathbb R$ не может браться в качестве основного множества дискретного пространства (поскольку среди его подмножеств имеются антидискретные множества, то есть интервалы).

Вы смешиваете два разных понятия: дискретное пространство и дискретное множество. Дискретность пространства определяется не множеством, на котором это пространство задано, а топологией. Множество само по себе, без топологии, не является ни дискретным, ни недискретным. Оно станет дискретным или недискретным только после того, как на нём будет задана топология.
А когда говорят о дискретном множестве, то имеется в виду, что это множество содержится в некотором топологическом пространстве, причём, каждая точка этого множества содержится в каком-нибудь открытом множестве, не содержащем других точек обсуждаемого множества. И это не "дискретное множество вообще", а "дискретное множество в данном топологическом пространстве".

Если говорить о множестве действительных чисел со стандартной топологией, определяемой интервалами, то, разумеется, интервал $(a,b)$ не является дискретным множеством. Но никто же не запрещает нам задать на $\mathbb R$ дискретную топологию…

И имейте в виду, что интервал в стандартной топологии не является антидискретным множеством (кстати, никогда не встречал такого термина; антидискретное пространство встречал: это пространство, в котором открытыми являются только пустое множество и всё пространство целиком).

Vladimir Pliassov в сообщении #1519103 писал(а):

Это из интернета -- https://helpiks.org/5-83257.html

Судя по тому, что Вы цитировали — это мусор, не надо его читать. Если Вам мало того учебника, который Вы читаете, могу порекомендовать более продвинутые.

П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. "Наука", Москва, 1977.
Дж. Л. Келли. Общая топология. "Наука", Москва, 1981.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1519248 писал(а):

Дж. Л. Келли. Общая топология. "Наука", Москва, 1981.

Начал читать Келли, пока что очень нравится, но, по-моему, там опечатка:

Цитата:

$\{x: x\in A\}=\{y: y\in A\}$, но $\{x: x\in A\}=\{A: A\in A\}$ http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_01.pdf стр.14, конец второго абзаца

$\{A: A\in A\}$ это, как я понимаю, множество, имеющее себя своим элементом.

Я справился по интернету и нашел следующее:

Someone в сообщении #105834 писал(а):

Dialectic писал(а):

Может ли кто-нибудь привести пример множества, которое содержит само себя, в качестве своего элемента?

Или как доказать, что такого множества не может существовать?

Это ведь надо делать в какой-то аксиоматической теории множеств. Обычно в такие теории включается аксиома регулярности (другое название - аксиома фундирования), запрещающая такие множества, но можно обходиться и без неё. Без этой аксиомы, например, написана книга

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Отсутствие аксиомы регулярности заметно усложняет авторам жизнь, но они справляются. Забавно, что они прямо говорят, что считают аксиому регулярности истинной, но, тем не менее, не хотят включать её в число аксиом теории множеств (без объяснения причины).

Что касается явного примера, то в тех случаях, когда решение какого-либо вопроса теории множеств зависит от используемой аксиоматики, "наивный" пример, как правило, становится невозможным. В данном случае, вероятно, требуется какая-нибудь аксиома существования множества, являющегося своим элементом, или построение модели, содержащей такие множества, что вряд ли просто.

То есть случай непростой и, я думаю, вряд ли мог бы быть привлечен к изложению самых начал предмета.

К тому же множество $\{x: x\in A\}$ состоит из элементов $x$, которых в общем случае может быть больше, чем один, а множество $\{A: A\in A\}$ состоит из единственного элемента $A$ (?), так что хотя бы поэтому в общем случае множества $\{x: x\in A\}$ и $\{A: A\in A\}$ не могут быть равны друг другу.

Если это опечатка, то как должно быть?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519324 писал(а):

Если это опечатка, то как должно быть?

Должно быть $\{x: x \in A\} \neq \{A: A \in A\}$ (в таких случаях полезно смотреть оригинальное издание)

Vladimir Pliassov в сообщении #1519324 писал(а):

$\{A: A\in A\}$ это, как я понимаю, множество, имеющее себя своим элементом.

Нет, это множество всех множеств, содержащих себя в качестве элемента. Аксиома регулярности влечет его пустоту.

[Vladimir Pliassov]

А, понял -- что это множество всех множеств, содержащих себя в качестве элемента, -- это же по аналогии с $\{x: x\in A\}$: здесь тоже буква $x$ без индекса, но означает (в общем случае) много элементов.

[xagiwo]

mihaild в сообщении #1519325 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519324 писал(а):

$\{A: A\in A\}$ это, как я понимаю, множество, имеющее себя своим элементом.

Нет, это множество всех множеств, содержащих себя в качестве элемента.

А мне кажется, это просто бессмыслица. Мы умеем (с оговорками) задавать множество $\{x: P(X)\}$, где $x$ – переменная. Множество $A$ у нас уже задано (не явно, но после того, как мы сказали, "пусть $A$ — какое-нибудь множество", мы воспринимаем его уже как какое-то конкретное множество) и должно в формуле $\{A: A \in A\}$ восприниматься не как переменная, а как константа. Тогда $\{A: A \in A\}$ выглядит так же осмысленно, как, например, $\{2: 2 > 2\}$ (в сравнении с $\{x: x > x\}$)

[Mikhail_K]

xagiwo в сообщении #1519338 писал(а):

Множество $A$ у нас уже задано (не явно, но после того, как мы сказали, "пусть $A$ — какое-нибудь множество", мы воспринимаем его уже как какое-то конкретное множество)

А когда это мы сказали "пусть $A$ - какое-нибудь множество"? Напротив, мы так не говорили. Запись $\{A:A\in A\}$ аналогична чему-то вроде $\{x:x^2=x\}$.

[xagiwo]

Mikhail_K в сообщении #1519339 писал(а):

А когда это мы сказали "пусть $A$ - какое-нибудь множество"?

http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_01.pdf страница 14, строка 11 Да и запись $\{x: x \in A\}$ рядышком подразумевает, что $A$ задано.

[Mikhail_K]

xagiwo
Посмотрев книгу, стёр своё сообщение. Ну да, когда мы уже задали множество $A$, лучше не писать $\{A:A\in A\}$ вообще. В книге, впрочем, и не говорится, что эта запись осмысленна - наоборот, говорится что не надо так делать.