Топология, первое знакомство.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519396 писал(а):

если открытые множества, о которых идет речь, не пересекаются, эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

А разве кто-то требовал, чтобы "окутывалась"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

То есть, так сказать, заслуга одного множества объединения приписывается всему объединению?

??? Объединение множеств — это одно множество, и, глядя на него, невозможно определить, какие множества и в каком количестве объединялись. И да, если одно из объединяемых множеств "окутывало" некоторую точку, то объединение тоже её "окутывает". Разве нет? И почему Вы хотите, чтобы каждую точку "окутывало" только одно множество?

(Vladimir Pliassov)

Извините, но некоторые ваши заявления вызывают у меня подозрения, что Вы просто валяете ваньку. И это отнюдь не первое.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519357 писал(а):

в учебнике сказано, что множества топологии называются открытыми, а почему они так называются, сразу не говорят, даже не намекают, так что пытаешься как-то сам выяснить

Какую пользу Вы хотите из этого извлечь?

Могу предложить такой вариант (это несерьёзная гипотеза, основанная на наглядности).
Начиналось всё, естественно, с топологии евклидовых пространств — двумерного и трёхмерного. Тут всё наглядно (на первый взгляд). Открытые множества — это множества, не включающие свою границу и потому не отгороженные от внешности, то есть, открытые извне. А замкнутые множества включают свою границу и потому как бы защищены ей как оболочкой, то есть, закрытые.

Но особо на этом не сосредотачивайтесь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1519357 писал(а):

Недавно взял Ленга, честно, с самого начала, с самых элементарных вещей, но уже через несколько страниц он приводит пример из топологии. Вот занялся топологией, освою ее, а потом начну изучать абелевы группы.

Из-за одного примера Вы хотите освоить топологию? В таком случае до абелевых групп Вы никогда не доберётесь. Я бы ограничился какой-нибудь минимальной информацией об этом примере.

[Vladimir Pliassov]

пианист в сообщении #1519403 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

Топология Зарисского состоит из всевозможных "проколотых" в конечном числе точек копий $\mathbb R$?

Да. Но ${\mathbb R}^1$ это вырожденный случай, не особенно интересный, разве лишь как экзотический пример.

Да, конечно, я забыл приписать: "для $X=\mathbb R$".

(Если ${\mathbb R}$ не имеет индекса, имеется в виду, что это ${\mathbb R}^1$?)

[пианист]

Да.
И как раз этот случай топологии Зарисского не интересен.
А вообще топология Зарисского пример естественным образом возникающей топологии, совершенно не похожей на привычную нам топологию ${\mathbb R}^n$.

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1519405 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

То есть, так сказать, заслуга одного множества объединения приписывается всему объединению?

Любое множество (кроме пустого) можно представить как объединение двух (непересекающихся) множеств.

Интервал $(1, 3)$ можно представить как объединение интервала $(1, 2)$ и полуоткрытого интервала $[ 2, 3)$?

Geen в сообщении #1519405 писал(а):

А "минимальное" множество совсем не обязано существовать. Например, в стандартной топологии на прямой Вы не найдёте для точки такую окрестность, которой можно было бы "приписать заслугу".

Здесь имеется в виду не сплошная прямая, а пунктирная, например, $\{(-\infty, a), (b, c), (d, e), (f, +\infty)\} \;\; a\ne b, c\ne d, e\ne f $, и пусть точка находится между $b$ и $c$.

То есть точка "окутывается" интервалом $(b, c)$, но не "окутывается" интервалами $(-\infty, a)}, (d, e), (e, +\infty)$.

-- 21.05.2021, 15:18 --

Someone в сообщении #1519407 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519396 писал(а):

если открытые множества, о которых идет речь, не пересекаются, эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

А разве кто-то требовал, чтобы "окутывалась"?

Vladimir Pliassov в сообщении #1519396 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1519367 писал(а):

если мы возьмём объединение произвольной системы открытых множеств, и возьмём точку из этого объединения, то она "окутывается" даже тем открытым множеством из системы, которому принадлежит, а уж объединением "окутывается" тем более

Mikhail_K в сообщении #1519380 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519370 писал(а):

но это если эти открытые множества пересекаются?

Почему?

Если под тем, что она "окутывается", Вы имеете в виду, что имеется ее окрестность, которая принадлежит тому множеству, которым она "окутывается", то, если открытые множества, о которых идет речь, не пересекаются, эта окрестность не принадлежит остальным множествам, и, значит, ими точка не "окутывается".

Someone в сообщении #1519407 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519398 писал(а):

То есть, так сказать, заслуга одного множества объединения приписывается всему объединению?

??? Объединение множеств — это одно множество, и, глядя на него, невозможно определить, какие множества и в каком количестве объединялись. И да, если одно из объединяемых множеств "окутывало" некоторую точку, то объединение тоже её "окутывает". Разве нет? И почему Вы хотите, чтобы каждую точку "окутывало" только одно множество?

Vladimir Pliassov в сообщении #1519416 писал(а):

Здесь имеется в виду не сплошная прямая, а пунктирная, например, $\{(-\infty, a), (b, c), (d, e), (f, +\infty)\} \;\; a\ne b, c\ne d, e\ne f $, и пусть точка находится между $b$ и $c$.

То есть точка "окутывается" интервалом $(b, c)$, но не "окутывается" интервалами $(-\infty, a)}, (d, e), (e, +\infty)$.

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519416 писал(а):

То есть точка "окутывается" интервалом $(b, c)$, но не "окутывается" интервалами $(-\infty, a)}, (d, e), (e, +\infty)$.

Это зависит от топологии. И только от топологии.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519416 писал(а):

Здесь имеется в виду не сплошная прямая, а пунктирная, например, $\{(-\infty, a), (b, c), (d, e), (f, +\infty)\} \;\; a\ne b, c\ne d, e\ne f $, и пусть точка находится между $b$ и $c$.

Имеется в виду, что интервалы не пересекаются?

Vladimir Pliassov в сообщении #1519416 писал(а):

То есть точка "окутывается" интервалом $(b, c)$, но не "окутывается" интервалами $(-\infty, a), (d, e), (e, +\infty)$.

Ну и что? Насколько я помню, речь шла не о каждом множестве отдельно, а об их объединении. То есть, о множестве $(-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,e)\cup(f,+\infty)$. С ним-то какая проблема?

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1519427 писал(а):

Имеется в виду, что интервалы не пересекаются?

Да.

Someone в сообщении #1519427 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1519416 писал(а):

То есть точка "окутывается" интервалом $(b, c)$, но не "окутывается" интервалами $(-\infty, a), (d, e), (e, +\infty)$.

Ну и что? Насколько я помню, речь шла не о каждом множестве отдельно, а об их объединении. То есть, о множестве $(-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,e)\cup(f,+\infty)$. С ним-то какая проблема?

Как я теперь понимаю, то, что множество $(-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,e)\cup(f,+\infty)$ "с дырками" ($a<b, c<d, e<f $), значения не имеет -- все равно оно "окутывает" точку $x, \;\; b<x<c$ (хотя и по-своему).

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519429 писал(а):

хотя и по-своему

Вы опять какое-то "по-своему" выдумали. Открытое множество $(-\infty,a)\cup(b,c)\cup(d,e)\cup(f,+\infty)$ "окутывает" неназванную точку точно в том же смысле, что и содержащий её интервал $(b,c)$, а именно, является окрестностью этой точки.
Не надо ничего выдумывать. Есть формальные определения, ими и пользуйтесь.

[Vladimir Pliassov]

В переводе Келли http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_03.pdf стр. 22 стоит:

Цитата:

$R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B]$.

Наверное, должно быть

$$R[A\cap B]=R[A]\cap R[B]?$$

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519653 писал(а):

Наверное, должно быть

$$R[A\cap B]=R[A]\cap R[B]?$$

Нет, в книге написано правильно.
В качестве упражнения попробуйте подобрать такое отношение $R$ и такие множества $A$ и $B$, чтобы $R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$.

[Vladimir Pliassov]

Пусть $R$ -- возведение в квадрат, $A$ -- четные числа, $B$ -- числа, которые делятся на $3$. Тогда

$$A\cap B$ -- множество чисел, которые делятся на $6$,

$R[A\cap B]$ -- множество квадратов чисел, которые делятся на $6: \; 36, 144, 324, \ldots,$

$R[A]$ -- множество квадратов четных чисел,

$R[B]$ -- множество квадратов чисел, которые делятся на $3$,

$R[A]\cap R[B]$ -- множество чисел, которые делятся на $36: \; \boxed {36}, 72, 108, \boxed {144}, 180, 216, 252, 288, \boxed {324}, \ldots,$

таким образом,

$$R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B].$$

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519657 писал(а):

$R[A]\cap R[B]$ -- множество чисел, которые делятся на $36$

Почему?

[Vladimir Pliassov]

Нет,

$R[A]\cap R[B]$ -- это тоже множество квадратов чисел, которые делятся на $6: \; \ldots, 36, 144, 324, \ldots,$.

Так что в данном случае

$$R[A\cap B]=R[A]\cap R[B].$$

Надо искать дальше.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1519693 писал(а):

Надо искать дальше.

Да, надо искать. Как это можно делать не вслепую? Ну вот смотрите. Благодаря теореме из книги Вы знаете, что в любом случае у Вас будет $R[A\cap B]\subset R[A]\cap R[B]$. Вам надо, чтобы при этом было $R[A\cap B]\neq R[A]\cap R[B]$. Это значит, что в множестве $R[A]\cap R[B]$ должен содержаться хотя бы один элемент, не принадлежащий $R[A\cap B]$. То есть элемент, одновременно лежащий в $R[A]$ и $R[B]$, но не в $R[A\cap B]$. Ну вот и подумайте, как построить отношение $R$ и множества $A$ и $B$, чтобы так получилось.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Конечно, буду искать, но я не очень хорошо понимаю, что такое отношение. Например, вчера я написал (но не отправил) следующее:

Цитата:

В самом ли деле отношение - это подмножество декартова произведения?

Цитата:

Прямое, или декартово произведение двух множеств — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств. (Википедия)

(Могу привести определения из других источников, но они все в принципе одинаковые.)

Далее

Цитата:

Отношение это множество упорядоченных пар. (Келли http://alexandr4784.narod.ru/dkelli/dkelli_00_03.pdf стр.21)

Цитата:

$n$-арное ( $n$-местное) отношение $R$ на множествах $X_1, X_2, \ldots, X_n$ - это подмножество декартова произведения этих $n$ множеств, т.е. $R\subseteq X_1\times X_2\times \ldots\times X_n$. https://lektsii.org/11-88088.html

Цитата:

Пусть $A$ – множество и $h\leq 1$. $h$-арным отношением на множестве $A$ называют произвольное подмножество $A^h$. https://mk.cs.msu.ru/images/a/a5/Dm-mag ... selezn.pdf

(Как я понимаю, здесь $h$ натуральное.)

Таким образом, повсеместно утверждается, что отношение это подмножество декартова произведения, то есть некоторое множество его элементов (у Келли просто говорится: "множество упорядоченных пар").

Но когда дается пара, разве уже дается отношение ее элементов?

Пусть нам дана пара $(2, 3)$. Какое здесь отношение? Неизвестно, потому что оно не указано.

Если мы скажем, что ставим этой паре в соответствие число $6$, тогда можно предположить, что отношением здесь является умножение, а когда число $5$ -- то сложение.

(Чтобы задать отношение, надо либо перечислить все соответствия, либо указать правило, по которому можно их найти.)

Как я понимаю, подмножество $A$ декартова произведения $X\times Y$ это еще не отношение (элементов $x, y$ перемножаемых множеств -- ведь именно это отношение имеется в виду?).

Отношение $xRy, \;\; x\in X, y\in Y$ это отображение $R$ подмножества $A$ декартова произведения $X\times Y$ в некоторое множество $B$:

$$R\colon A\subseteq X\times Y\to B,$$

или

$$xRy=z, \; z\in B.$$

Если отношение $R$ это сложение натуральных чисел, то $X,Y=\mathbb N$, значит, $X\times Y={\mathbb N}^2$, $A=X\times Y={\mathbb N}^2, \; B=\mathbb N$:

$$R\colon {\mathbb N}^2\to \mathbb N.$$

В случае с парой $(2, 3)$, то есть при $x=2, y=3$, имеем $2R 3=2+3=5$.

То есть я думал, что бинарное отношение это функция от двух аргументов.

Но потом еще раз обратился к Келли, а у него написано:

Цитата:

Например, множество всевозможных пар, состоящих из числа и его куба, можно было бы назвать кубическим отношением.

Таким образом, (во всяком случае здесь) под бинарным отношением имеется в виду отношение между аргументом и функцией (от одного аргумента) (то есть между аргументом и значением функции).

Тогда возникает вопрос: а как с тернарным отношением? В нем задействовано (по крайней мере или в точности?) три объекта: два аргумента и одно значение функции? или один аргумент и два значения функции? или что?