Топология, первое знакомство.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Верно!

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1518740 писал(а):

1. У нас есть множество $X = \mathbb R$ - наше будущее топологическое пространство (его элементы - вещественные числа - называются точками).
2. Есть разные подмножества $X$. Например интервал $(0, 1)$ или одноэлементное множество $\{42\}$. Элементы подмножества - те же самые точки.
3. Есть $\Omega$ - множество некоторых подмножеств $X$ ($\Omega$ называется топологией). Элементы $\Omega$ - подмножества $X$.
4. Элементы $\Omega$ - не произвольные подмножества, а объединения каких-то множеств интервалов. Например у нас есть интервалы $(0, 1)$ и $(2, 3)$, и значит их объединение $(0, 1) \cup (2, 3)$ (множество, содержащее числа от $0$ до $1$ и от $2$ до $3$), является элементом $\Omega$.

Спасибо! Все понял!

-- 16.05.2021, 21:42 --

mihaild в сообщении #1518740 писал(а):

Есть $X$. Есть множество всех подмножеств $X$ - $P(X)$. И $\Omega$ - подмножество $P(X)$. Можно конечно рассмотреть множество всех подмножеств $P(X)$ - $P(P(X))$ - $\Omega$ будет его элементом - но это не нужно.

Множество всех подмножеств это пока что сложно для меня.

mihaild в сообщении #1518740 писал(а):

И $\Omega$ - подмножество $P(X)$.

Значит ли это, что $\Omega$ -- подмножество $X$?

Но ведь и $X$ -- подмножество $\Omega$:

Цитата:

(3) Пустое множество $\varnothing$ и все $X$ принадлежат $\Omega$.

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf

-- третья аксиома.

-- 16.05.2021, 21:46 --

Geen в сообщении #1518745 писал(а):

Важно тут иметь в виду, что семейство интервалов может быть любым, например $(1/n,1)$ - счётное семейство интервалов. Их объединение - интервал $(0,1)$.
А можно взять семейство $(z-1,z)$ для всех целых $z$.
А можно взять все интервалы вида $(a,b)$ где $a$ и $b$ произвольные иррациональные числа (таких интервалов будет континуум).

Спасибо! Теперь понимаю.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518748 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1518742 писал(а):

Элементы $\Omega$ - это объединения семейств интервалов.

А, Вы имеете в виду объединение каждого семейства самого по себе, так что получается семейство интервалов?

А то я, было, подумал, что Вы говорите об объединении этих семейств между собой.

Кстати, то же самое касается определения, с которого начинается первоначальное сообщение этой темы:

Цитата:

Пусть $X=\mathbb R$ -- множество всех вещественных чисел, $\Omega$ -- совокупность объединений всевозможных семейств интервалов) http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/rus-book.pdf

Оно, вероятно, вызывает недоразумение у многих, так же, как вызывало у меня.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518750 писал(а):

Значит ли это, что $\Omega$ -- подмножество $X$?

Нет, конечно.
Элементами $P(X)$ являются всевозможные подмножества $X$.
Элементами $\Omega$ являются некоторые подмножества $X$ (например, объединения интервалов).
Таким образом, каждый элемент $\Omega$ является элементом $P(X)$. Значит, $\Omega\subset P(X)$.
$\Omega$ не может быть подмножеством $X$, $\Omega$ и $X$ вообще не пересекаются, потому что элементы $\Omega$ - множества (подмножества $X$), а элементы $X$ - нет (например, числа).

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518761 писал(а):

Оно, вероятно, вызывает недоразумение у многих, так же, как вызывало у меня.

Не обязательно. По-моему тут всё прозрачно написано. Всевозможные семейства интервалов — это множества $J$ такие, что каждый элемент $i \in J$ — некоторый $(a; b) \subset \mathbb R$. Объединение такого семейства $\cup J$ — это некоторое подмножество $\mathbb R$, такое, что каждый его элемент входит в какой-то из $i \in J$. Ну и «совокупность» понятно, в общем мы берём всё множество таких объединений. Это некоторое подмножество булеана $\mathbb R$ (как и полагается быть топологии) (UPD: булеан $\mathbb R$ — это $P(\mathbb R)$ в этой теме).

-- Пн май 17, 2021 01:30:31 --

Может быть не сразу очевидным, что бывает такая штука как объединение семейства множеств. Но я думаю, что курс топологии зависит от какого-то небольшого курса теории множеств, где обязательно будет вводиться это понятие, потому что примитивный объект теории множеств (или по крайней мере теорий ZFC, NBG, …) — это именно такое объединение произвольного семейства, а не более привычное объединение двух множеств $A \cup B$. Через последнее первого не выразишь.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1518764 писал(а):

Но я думаю, что курс топологии зависит от какого-то небольшого курса теории множеств,

А, по-моему, это мягко сказано. Без основательного владения этим разделом математики и матлогикой о топологии не стоит и помышлять. Но это мое ИМХО.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518750 писал(а):

Значит ли это, что $\Omega$ -- подмножество $X$?

Нет. $P(X)$ и $X$ - совершенно разные множества, и $\Omega$ - подмножество первого, а не второго.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518750 писал(а):

Но ведь и $X$ -- подмножество $\Omega$

Нет, $X$ - элемент $\Omega$.

Обозвав множества коробками, $\mathbb R$ - это коробка, в которой лежат вещественные числа. И $(0, 1)$ - это коробка, в которой лежат вещественные числа (правда не все). А в $\Omega$ лежат не вещественные числа, а коробки с вещественными числами.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1518763 писал(а):

Элементами $\Omega$ являются некоторые подмножества $X$ (например, объединения интервалов).

А какие еще? Я думал, что элементами $\Omega$ являются только объединения интервалов (при $X=\mathbb R$).

-- 17.05.2021, 01:55 --

mihaild в сообщении #1518774 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1518750 писал(а):

Но ведь и $X$ -- подмножество $\Omega$

Нет, $X$ - элемент $\Omega$.

Разве элемент множества не является его подмножеством -- одноэлементным?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518777 писал(а):

Разве элемент множества не является его подмножеством -- одноэлементным?

Нет. Множество, состоящее из этого элемента, является подмножеством. $a$ и $\{a\}$ - разные множества.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518777 писал(а):

А какие еще? Я думал, что элементами $\Omega$ являются только объединения интервалов (при $X=\mathbb R$).

Всё верно, в примере со стандартной топологией на числовой прямой $X=\mathbb{R}$. Просто возможны и другие, нестандартные топологии на $\mathbb{R}$, в которых в качестве $\Omega$ берётся множество каких-нибудь других подмножеств.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518777 писал(а):

Разве элемент множества не является его подмножеством -- одноэлементным?

Нет. Элементы и одноэлементные подмножества - разные объекты.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1518785 писал(а):

Элементы и одноэлементные подмножества - разные объекты.

mihaild в сообщении #1518782 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1518777 писал(а):

Разве элемент множества не является его подмножеством -- одноэлементным?

Нет. Множество, состоящее из этого элемента, является подмножеством.

То есть, если мы объявим элемент множеством, то он будет подмножеством, а если не объявим, то не будет?

mihaild в сообщении #1518782 писал(а):

$a$ и $\{a\}$ - разные множества.

Значит элемент (то есть $a$) это все-таки множество?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518787 писал(а):

То есть, если мы объявим элемент множеством, то он будет подмножеством, а если не объявим, то не будет?

Нет, элемент и одноэлементное подмножество - это всегда разные объекты.

Vladimir Pliassov в сообщении #1518787 писал(а):

Значит элемент (то есть $a$) это все-таки множество?

Здесь имеется в виду, что, например, в рамках аксиоматической системы ZFC вообще любые объекты являются множествами. В частности, числа определяются как множества специального вида. Думаю, Вам не стоит сейчас в это вдаваться. Тогда Вы можете считать, что если $a\in \mathbb{R}$, то $a$ - это не множество, а число, а вот $\{a\}$ - множество, состоящее из одного элемента $a$.

Тогда можно написать: $a\in\mathbb{R}$, $\{a\}\subset\mathbb{R}$, но $\{a\}\notin\mathbb{R}$, $a\not\subset\mathbb{R}$. И, конечно, $a\in\{a\}$, но $a\notin a$, $a\not\subset\{a\}$.

[arseniiv]

В дополнение к словам Mikhail_K:

Vladimir Pliassov в сообщении #1518787 писал(а):

То есть, если мы объявим элемент множеством, то он будет подмножеством, а если не объявим, то не будет?

Когда мы говорим о семействе множеств $S$, $A \in S$ и $A \subset S$ могут выполняться и не выполняться всеми четырьмя образами. Когда мы говорим о множестве, элементы которого не обязательно сами множества по смыслу*, то вообще нам стоит считать $A \subset S$ бессмысленной конструкцией, даже если наша теория-основание что-то на этот счёт говорит. Потому мы можем начать путать элементы и подмножества, но это лишь до тех пор как мы не начнём сталкиваться с ситуациями первого вида: элементы сами имеют элементы и разница становится существенной.

* Потому что действительно теория-основание может считать для удобства, что все вещи состоят из элементов, которые сами относятся к числу этих вещей. Притом ZFC разумеется даст нам разные элементы для по-разному определённых в ней натуральных чисел: если считать их конечными ординалами, то тогда $n$ содержит все натуральные числа меньше себя (и 0 это просто пустое множество), имея удобное свойство, что у такого множества как раз $n$ элементов. А если считать, что $n + 1 = \{ n \}$, конструкция более простая, но обычно не используемая (потому что с ординалами связь полезнее в курсах теории множеств — а где ещё кроме них определять натуральные числа как множества?..), то у всех натуральных чисел будет не более одного элемента — числа-предшественника.

Так что по смыслу натуральные числа — не множества (кто бы спорил), канонического способа закодировать их множествами нет. Подобная ситуация в теории множеств с выражением вообще всего «не-множественного»: упорядоченных пар, декартова произведения, дизъюнктного объединения… но как только мы наберём достаточно таких примитивов, мы можем забыть про то, что они выражались с помощью множеств, и помнить только естественные операции и отношения на них. Это было отступление.

Часто на практике у нас только семейства множеств не каких попало, а «одного уровня» — или все те множества—элементы семейства содержат (в смысле $\in$) только элементы какого-то другого наперёд заданного $X$, или они содержат подмножества $X$, или подмножества $P(X)$ и т. д., и тогда перепутать $\in$ и $\subset$ не совсем легко, но всё же так бывает не всегда.

[Vladimir Pliassov]

1.

Я понял, что элемент множества не является подмножеством этого множества.

Некоторый объект $a$ может быть элементом некоторого множества $X$. Вместе с тем он может быть также элементом какого-то другого множества, например, подмножества $X'$ множества $X$.

При этом он не является подмножеством ни множества $X$, ни множества $X'$.

(То, что объект $a$ сам может быть множеством, здесь несущественно, поскольку он рассматривается как элемент.)

Например,

mihaild в сообщении #1518740 писал(а):

2. Есть разные подмножества $X$. Например интервал $(0, 1)$ или одноэлементное множество $\{42\}$. Элементы подмножества - те же самые точки.

Здесь говорится о множестве $\{42\}$, элементом которого является $42$, но не говорится, что $42$ есть подмножество $X$. При этом $42$ есть также элемент множества $X$.

2.

Mikhail_K в сообщении #1518809 писал(а):

Вы можете считать, что если $a\in \mathbb{R}$, то $a$ - это не множество, а число, а вот $\{a\}$ - множество, состоящее из одного элемента $a$.

Тогда можно написать: $a\in\mathbb{R}$, $\{a\}\subset\mathbb{R}$, но $\{a\}\notin\mathbb{R}$, $a\not\subset\mathbb{R}$. И, конечно, $a\in\{a\}$, но $a\notin a$, $a\not\subset\{a\}$.

Mikhail_K в сообщении #1518763 писал(а):

Элементами $\Omega$ являются некоторые подмножества $X$ (например, объединения интервалов).

Все множество $X$ также является элементом $\Omega$ (третья аксиома). При этом оно не является его подмножеством. Тем не менее, если заключить $X$ в фигурные скобки, можно написать: $\{X\}\subset \Omega$ -- то есть одноэлементное множество $\{X\}$ (элементом которого является объединение всех интервалов) есть подмножество множества $\Omega$ ( в частности, потому что $\{X\}$ и $\Omega$ пересекаются в элементе $X$).

3.

Mikhail_K в сообщении #1518763 писал(а):

$\Omega$ и $X$ вообще не пересекаются, потому что элементы $\Omega$ - множества (подмножества $X$), а элементы $X$ - нет (например, числа).

Если множества пересекаются, то одно из них не может быть элементом другого, верно?

4.

arseniiv в сообщении #1518821 писал(а):

Когда мы говорим о множестве, элементы которого не обязательно сами множества по смыслу*

(например, элементы множества $X=\mathbb R$, то есть числа)

arseniiv в сообщении #1518821 писал(а):

, то вообще нам стоит считать $A \subset S$ бессмысленной конструкцией

Но даже если элементы множества $A$ являются множествами "по смыслу", они в отношении множества $A$ все равно рассматриваются не как множества, а как элементы, и поэтому не являются его подмножествами.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1518865 писал(а):

Если множества пересекаются, то одно из них не может быть элементом другого, верно?

Неверно. Например $A = \{42\}$ и $B = \{A, 42\}$. Тогда $A$ пересекается с $B$ и одновременно является его элементом.
Вне теории множеств такие штуки рассматриваются редко - там как правило множества "однородные" и начинаются с чего-то базового. Например есть множество вещественных чисел, из него строится множество подмножеств вещественных чисел, но никто не рассматривает множества, элементами которых являются и вещественные числа, и их подмножества (хотя формально этого никто не запрещает).