Сколько существует видов треугольников, ...

[wrest]

Я тут внезапно научился строить
За пять шагов - точку касания вписанной окружности.
За шесть шагов - две точки касания.
За семь шагов - три точки касания вписанной окружности.

Так что если б не "один алгоритм на любую вершину порождаемого треугольника", то к семишаговым можно было бы добавить треугольник с вершинами в точках касания вписанной в порождающий треугольник окружности.

[manul91]

wrest в сообщении #1517378 писал(а):

Я ж рисовал как спускать перпендикуляра за троих шагов, посмотрите вышее мой пост с рисунком этого post1516664.html#p1516664

Извиняюсь, пропустил. И да, явно я тоже рассуждал "по школьному" : )

wrest в сообщении #1517395 писал(а):

Так что если б не "один и тот же алгоритм на любую вершину порождаемого треугольника"

Правильно, это невнятное ограничение все портит.

wrest в сообщении #1517395 писал(а):

За семь шагов - три точки касания вписанной окружности. Так что если б не "один алгоритм на любую вершину порождаемого треугольника", то к семишаговым можно было бы добавить треугольник с вершинами в точках касания вписанной в порождающий треугольник окружности.

Замечательно. Мне интересны идеи про шестишаговых и меньше (без "один алгоритм на любую вершину порождаемого треугольника"; но удовлетворяющих других условий)...?

-- 08.05.2021, 07:05 --

TR63 в сообщении #1517384 писал(а):

У меня за $12$, у wrest за $9$. Пока решили оставить вариант$9$.

Вариант $9$ для биссектрального не отвечает условию "один алгоритм на любую вершину порождаемого треугольника". wrest это тоже потвердил (у него пока нет приема построить биссектрису в 3 или меньше "шагов").

TR63 в сообщении #1517384 писал(а):

Я определила, как могла.

И где конкретное определение например, что такое "шаг"?

TR63 в сообщении #1517384 писал(а):

Просила делать конкретные замечания.

Так все замечания конкретные.
Вы на них не отвечаете, например:

manul91 в сообщении #1517365 писал(а):

Потом, как быть если сначала нужно сделать некоторую работу "на общего блага" (которую нельзя аттрибутировать к нахождению ни одной из вершин вписанного конкретно) - например найти наименьшую сторону, или еще чего; а потом "единообразным образом" ("одинаковыми алгоритмами") находим каждую из вершин вписанного?
Такое "годится"?
Если да, то держите:
Сперва находим центра О описанной окружности (как пересечение серединных перпендикуляров любых двух из сторон исходного треугольника ABC). Это суммарно 6 шагов (имхо).
Потом единообразным образом, "одинаковыми алгоритмами" линейкой находим пересечения M=AOxBC, N=BOxAC и P=COxAB с противоположных сторон, строя вписанного треугольника MNP (пересечения линий через вершин и центра О описанной окружности исходного треугольника, с его сторон). Это еще три "шага", итого девять.
Возможно, тут у вас будут "проблемы" с тупоугольными треугольниками - но ведь для тупоугольных такие будут и с орто-треугольником (точки пересечения высот через вершин) а вы как писали выше, считаете его допустимым?

[nds]

Новый вид:
вершины вписанного треугольника равноудалены от вершин исходного на расстояние $R$.

Строим окружности и выбираем точки по часовой или против.
Это всего 2 операции?

[manul91]

nds в сообщении #1517432 писал(а):

Новый вид:
вершины вписанного треугольника равноудалены от вершин исходного на расстояние $R$.
Строим окружности и выбираем точки по часовой или против.
Это всего 2 операции?

Запрещается "произвол" и всякие "внешние параметры" (в данном случае выбор произвольного R), если в результате вписанный треугольник может получиться другим.
Вписанный треугольник может зависеть только от исходного и самого "алгоритма" (и ничего больше), и "алгоритм" должен быть таков что "вписанный" строится однозначно.
Потом кажется у вас R должно быть меньше чем любую из сторон исходного (а для этого нужно найти наименьшей что еще три операции); да и не понял почему у вас операции "две" а не три...

[TR63]

manul91 в сообщении #1517426 писал(а):

где конкретное определение например, что такое "шаг"?

Вот:

TR63 в сообщении #1516930 писал(а):

Sender в сообщении #1516924

писал(а):
что такое "алгоритм"?
Думаю, что на интуитивном уровне это понятно (инструкция, выполнив которую по шагово, можно найти то, что требуется найти; шаг-это действие с помощью разрешённой операции; разрешённые операции: проведение окружностей и прямых).
Можно предлагать более корректные формулировки.
Потом надо сформулировать условия, которым должны удовлетворять новые "алгоритмы", кроме биссектральных, высотных и медианных. Найти их примеры, если таковые существуют. Или доказать их несуществование. Потом рассмотреть некоторые задачи простые и сложные.

manul91 в сообщении #1517426 писал(а):

замечания конкретные.
Вы на них не отвечаете, например:
manul91 в сообщении #1517365

писал(а):
Потом, как быть если сначала нужно сделать некоторую работу "на общего блага" (которую нельзя аттрибутировать к нахождению ни одной из вершин вписанного конкретно) - например найти наименьшую сторону, или еще чего; а потом "единообразным образом" ("одинаковыми алгоритмами") находим каждую из вершин вписанного?
Такое "годится"?
Если да, то держите:
Сперва находим центра О описанной окружности (как пересечение серединных перпендикуляров любых двух из сторон исходного треугольника ABC). Это суммарно 6 шагов (имхо).
Потом единообразным образом, "одинаковыми алгоритмами" линейкой находим пересечения M=AOxBC, N=BOxAC и P=COxAB с противоположных сторон, строя вписанного треугольника MNP (пересечения линий через вершин и центра О описанной окружности исходного треугольника, с его сторон). Это еще три "шага", итого девять.
Возможно, тут у вас будут "проблемы" с тупоугольными треугольниками - но ведь для тупоугольных такие будут и с орто-треугольником (точки пересечения высот через вершин) а вы как писали выше, считаете его допустимым?

Первый абзац Вашего сообщения не имеет отношения к тому, что я прошу привести в качестве примера (нужно привести пример построения треугольника вписанного в треугольник, соблюдая указанные ранее условия; ко второму абзацу, в котором Вы приводите свой пример, я объяснила, почему он не подходит (смотрите выше)).

wrest в сообщении #1517388 писал(а):

Э... если по одной, то 12 :)

Да, по одной. И ранее я поясняла, что достаточно строить первую вершину вписанного треугольника. Количество затраченных шагов автоматом по условию будет $(3k_1)$.
Если кому-то интересно строить вершины вписанного треугольника не одним "алгоритмом", то надо завести отдельную тему.

[manul91]

TR63 в сообщении #1517516 писал(а):

manul91 в сообщении #1517426 писал(а): где конкретное определение например, что такое "шаг"?
Вот: ....шаг-это действие с помощью разрешённой операции; разрешённые операции: проведение окружностей и прямых

Этого недостаточно, кроме того и непонятно.
Что такое "действие с помощью разрешенной операции"?
Если одной разрешенной операции (например, проводя прямую) я определяю сразу трех точек - это сколько "действий" я совершил "с помощью этой операции" - одно или три? И если "три" - то из них засчитываются только те точки которым я впоследствием пользуюсь, или все точки пересечения с уже существующих линий?
Далее, если я провожу окружность (разрешенная операция) - то сколько действий "с помощью этой разрешенной операции" при этом совершил? Варианты например - это "одно действие", или это "три плюс" действия (выбор центра, выбор радиуса, собственно проведения окружности, плюс по "действию" на каждой определимой точки пересечения окружности с каких-либо уже существующих линий).
Потом до сих пор непонятно, необходимо ли "чертить" сторон вписанного треугольника (проведением прямыми) - что увеличивает необходимых "разрешенных операций" на 3 (и за сколько "действий"/"шагов" это засчитается); или определение его вершин достаточно.
Еще, если "количество шагов" данного алгоритма может зависеть от конкретного исходного треугольника (или в связи с произвольным выбором при построении, от которого однако итоговый вписанный треугольник не зависит), то что засчитывается за "минимальное количество шагов" - самый благоприятный случай (когда "повезло" с исходным треугольником и/или выборов при построении), или самый неблагоприятный (когда "не повезло")? Например нахождение наименьшей стороны в зависимости от везения может состоять из двух или трех (но трех всегда достаточно) разрешенных операций - что засчитываем за "минимумом" - две или три разрешенные операции (и сколько "шагов" это)?
И так далее.
Нормальное определение "количества шагов" должно отвечать на всех этих вопросов - чтобы можно было бы всегда посчитать однозначно.

TR63 в сообщении #1517516 писал(а):

Первый абзац Вашего сообщения не имеет отношения к тому, что я прошу привести в качестве примера (нужно привести пример построения треугольника вписанного в треугольник, соблюдая указанные ранее условия; ко второму абзацу, в котором Вы приводите свой пример, я объяснила, почему он не подходит (смотрите выше)).

Ничего вы не объяснили.
Повторяю вопрос:
Пусть суммарный алгоритм в целом для нахождения вписанного треугольника, состоит из следующих действий:
- вначале делается что-то (какое-то предварительное построение), что не относится ни к одной конкретной вершине вписанного (или одинаково относится ко всеми вершинами вписанного - как угодно).
- потом единообразным образом, "одинаковыми алгоритмами" - находится каждая вершина вписанного
Такой суммарный алгоритм, выполняет условие "одинаковый алгоритм на каждой вершине вписанного", или нет - и почему?
Конкретный пример такого алгоритма я привел (сначала находится "неутральная особая точка" O - напр. центр описанной окружности, или ортоцентр - потом проведением прямыми через каждой из вершин исходного и O определяются вершины вписанного).

Ваше "объяснение", на которого вы ссылаетесь - относилось к моему прежнему построению (с нахождением наименьшей стороны исходного, после чего и на самом деле точки вершины вписанного строятся по-разному - две из них как пересечения окружностей и прямых; а третья как пересечения двух прямых (серединного перпендикуляра и стороны исходного)).

Но не понятно как это относится к сказанному выше (и почему, если относится) - где после "общей работы" (которая "нейтральна" относно всех вершин вписанного), все точки вписанного находятся одинаковым образом (и количество шагов автоматом будет $3k+n$ где $k$ количество шагов на каждой из вершин вписанного, а $n$ количество шагов "общей работы" которой нельзя связать ни с какой из вершин вписанного конкретно - или если угодно, относится одинаково ко всех вершин).

Если такое почему-то "запрещается" - то это значит что никакой "общей работы" (нейтральной относно вершин) нельзя пользоваться; т.е. кроме "одинакового алгоритма на вершину" еще и ограничение чтобы мы должны каким-нибудь образом быть способными однозначно соотнести любого "шага" к построению одной (и только одной) конкретной вершине вписанного треугольника.
Это так?

[arseniiv]

Давайте чтобы не мучить друг друга я определю алгоритм, и дальше от этого определения кто-нибудь будет отталкиваться, если оно не подойдёт как есть.

Во-первых пусть у нас есть счётное множество имён $\mathcal V$, и дальше будем считать, что $x, y, z, \ldots$ — какие-то имена, не обязательно разные.

Во-вторых у нас есть множество типов $\mathcal T = \{\mathsf p, \mathsf l, \mathsf c\}$ — точка, прямая, окружность.

В-третьих определим индуктивно множества операций $\mathcal O(T_-, T_+)$, которые можно совершить, взяв объекты типов $T_- \in \mathcal T^*$ и которые выдают нам в результате построения объекты типов $T_+ \in \mathcal T^*$. Будем записывать $f \in \mathcal O(T_-, T_+)$ как $f \colon T_- \to T_+$. Операции бывают следующие и больше никаких других объектов в множества $\mathcal O(T_-, T_+)$ не входит:

1) $T \colon () \to (\mathsf p, \mathsf p, \mathsf p)$ — точки исходного треугольника в произвольном порядке, который мы не контролируем.
2) $L \colon (\mathsf p, \mathsf p) \to (\mathsf l)$ — прямая по двум точкам.
3) $C \colon (\mathsf p, \mathsf p, \mathsf p) \to (\mathsf c)$ — окружность с центром в первой точке и радиусом, равным по длине отрезку между второй и третьей (и если нам надо построить окружность по центру $x$ и точке $z$ на ней, мы используем $x, x, z$ или $x, z, x$).
4) $X \colon (\mathsf l, \mathsf l) \to (\mathsf p)$ — точка пересечения прямых.
5) $X \colon (\mathsf c, \mathsf c) \to (\mathsf p, \mathsf p)$ — две точки пересечения окружностей, в произвольном порядке; если окружности касаются, обе точки будут совпадать.
6) $X \colon (\mathsf l, \mathsf c) \to (\mathsf p, \mathsf p)$ — точки пересечения прямой и окружности, см. (5).
6a) для удобства можно также иметь совершенно синонимичные $X \colon (\mathsf c, \mathsf l) \to (\mathsf p, \mathsf p)$.

В-четвёртых определим множества построений $\mathcal A(V_-, V_+)$ снова же индуктивно. $V_-, V_+ \in \mathcal V \times \mathcal T$ — множества типизированных объектов, соответственно требуемых построением и получаемых в ходе него; предполагается, что имена, входящие в пары в $V_-$ и $V_+$, не повторяются и каждое входит лишь с одним типом.

1) $[] \in \mathcal A(\varnothing, \varnothing)$ — пустое построение.
2) если:

• $A_1 \in \mathcal A(V_-^1, V_+^1)$,
• $A_2 \in \mathcal A(V_-^2, V_+^2)$,
• $V_+^1 \cap V_+^2 = \varnothing$ (мы не называем разные вещи одним именем),
• как выше, во все $V_\pm^i$ ни одно имя не входит с двумя разными типами,
то $[A_1; A_2] \in \mathcal A(V_-^1 \cup (V_-^2 \setminus V_+^1), V_+^1 \cup V_+^2)$.
3) если операция $f \colon (t_1, \ldots, t_n) \to (u_1, \ldots, u_m)$, то $[v_1, \ldots, v_n \stackrel f \to w_1, \ldots, w_m] \in \mathcal A(\{(v_1, t_1), \ldots, (v_n, t_n)\}, \{(w_1, u_1), \ldots, (w_m, u_m)\})$.

В составе других построений избыточные $[ \; ]$ предполагается опускать, понимая построения с точностью до переименования переменных и соотношений $[A; [B; C]] \sim [[A; B]; C]$ и, наконец, даже при желании перестановки в операциях аргументов с одинаковым смыслом (типа точек, по которым проводится прямая).

Наконец определим алгоритм построения точки как пару $(A, r)$ из построения $A \in \mathcal A(\varnothing, V_+)$ и имени $r$ такого, что $(r, \mathsf p) \in V_+$ — это та из построенных точек, которая должна считаться результатом.

Что пропустил?

Будем считать, что мы не умеем определять, лежит ли точка на прямой, окружности, пересекаются/совпадают ли прямые и/или окружности и т. п. — если построение бывает некорректным ($[x, y \stackrel L \to z]$ для совпадающих $x, y$ или $[x, y \stackrel X \to z]$ для не пересекающихся $x, y$ и т. д.), то ну и пусть бывает, будем аккуратнее.

Если разрешать построения с произвольными точками, то в определении алгоритма нужно просто ослабить множество построений до произвольного $A(V_-, V_+)$ и добавить требование независимости результата от таких точек, что придётся определять отдельно и привлечь уже конкретную геометрию.

Наконец, я не видел нужды в условных построениях. Если они вдруг нужны, надо будет просто добавить дополнительный тип — булевский — и операции проверки чего-то там, а так же добавить условное построение, идущее по тому или иному пути в зависимости от булевского значения.

[TR63]

arseniiv, прочитала. Круто. Поняла не всё. Но пункт

arseniiv в сообщении #1517545 писал(а):

добавить условное построение, идущее по тому или иному пути

нежелателен. Он, как я поняла, использовался у wrest в его серединно-перпендикулярном "алгоритме". Он говорит, что всё однозначно. Но мне это не очевидно, т.к. там серединный перпендикуляр пересекает две стороны треугольника, давая две точки. И в зависимости от того какую берем, получается два разных вписанных треугольника. Надо чтобы "алгоритм" давал только один треугольник. Т.е. чтобы он был однозначным (без ветвлений).
Может, кто-нибудь приведёт пример построения треугольника вписанного в треугольник, используя Вашу терминологию (желательно с подробной расшифровкой как терминологии, так и построения (желательно с чертежом). И чтобы "алгоритм" был не более затратным, чем (биссектральный, высотный, медианный) для построения первой вершины (затратность второй и третьей равна первой, т.к. всё должно повторится, как для первой; т.е. дополнительные построения, типа ортоцентра, вновь учитываются ещё два раза, хотя он как бы предварительно уже построен, но "алгоритм" для всех вершин по условию должен быть единообразным).
(Затратность, похоже считать уже все умеют; если нет, будем разбираться.)

[wrest]

arseniiv в сообщении #1517545 писал(а):

3) $C \colon (\mathsf p, \mathsf p, \mathsf p) \to (\mathsf c)$ — окружность с центром в первой точке и радиусом, равным по длине отрезку между второй и третьей (и если нам надо построить окружность по центру $x$ и точке $z$ на ней, мы используем $x, x, z$ или $x, z, x$).

Ну тут вроде есть разные взгляды: нередко считают, что циркуль "забывает" радиус сразу, как его оторвали от бумаги, т.е. окружность задается двумя точками: центром и точкой на ней.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1517575 писал(а):

Ну тут вроде есть разные взгляды: нередко считают, что циркуль "забывает" радиус сразу, как его оторвали от бумаги, т.е. окружность задается двумя точками: центром и точкой на ней.

А мы ведь ничего не потеряем? Тогда можно по двум точкам, конечно.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1517616 писал(а):

А мы ведь ничего не потеряем?

Не потеряем. Перенос расстояния делается за не помню сколько ходов (две параллельные прямые построить), т.е. это увеличивает просто длину "алгоритма".

[manul91]

arseniiv в сообщении #1517545 писал(а):

Давайте чтобы не мучить друг друга я определю алгоритм, и дальше от этого определения кто-нибудь будет отталкиваться, если оно не подойдёт как есть.

Честно говоря это довольно заумно для меня (и просто трудно читать).
Я не понял, как это конкретно специфицирует требование "одного и того же алгоритма на каждой точки вписанного треугольника"?
Более того, как посчитать "шагов" отталкиваясь от этого? У вас "шаг" = "построению" или как?

В частности, у меня такой вопрос на построение вписанного:
Этап 1) Строим серединный перпендикуляр к AB (и "относим" это построение к итоговую вершину вписанного треугольника M которая будет лежать на AB).
Этап 2) Строим серединный перпендикуляр к BC (и "относим" это построение к итоговую вершину вписанного треугольника N которая будет лежать на BC). Помимо всего у нас получается точка O (центр описанной окружности) пересечения обоих серединных перпендикуляров.
Этап 3) Строим серединный перпендикуляр к AC (и "относим" это построение к итоговую вершину вписанного треугольника P которая будет лежать на AC). Само собой, это построение "лишнее" (этот перпендикуляр так или иначе проходит через O) но мы его делаем, чтобы формально выполнить условие "один и тот же алгоритм на вершину вписанного" и "любое действие нужно отнести к построению конкретной вершины вписанного".
Этап 4) Проводим прямую CO и находим точку ее пересечения М с АB (относится к нахождению вершины М вписанного)
Этап 5) Проводим прямую AO и находим точку ее пересечения N с BC (относится к нахождению вершины N вписанного)
Этап 6) Проводим прямую BO и находим точку ее пересечения P с AC (относится к нахождению вершины P вписанного)

Итого "12 операций", как у биссектрального - по 3 на этапов 1,2,3 и по одной на этапов 4,5,6 (по "устаревшей" неформальной терминологии что такое "операция"?) на построению вписанного треугольника MNP.
У нас все операции "единообразные" (1,2,3; и 4,5,6) и мы аттрибутировали любую из операций однозначно к какой-то вершине вписанного треугольника(1 и 4 к М, 2 и 5 к N, 3 и 6 к P); кроме того последовательность совершаемых операций на каждой вершине одинакова (1 и 4, 2 и 5, 3 и 6).

Это удовлетворяет правило "одинакового алгоритма на вершине вписанного"? Если нет - почему?
Сколько "шагов" здесь совершается, и почему....?

arseniiv в сообщении #1517545 писал(а):

Наконец, я не видел нужды в условных построениях. Если они вдруг нужны, надо будет просто добавить дополнительный тип — булевский — и операции проверки чего-то там, а так же добавить условное построение, идущее по тому или иному пути в зависимости от булевского значения.

Допустим, как часть всего построения нам понадобилось найти наименьшую сторону исходного треугольника.
Мы сравниваем (произвольно выбрав последовательность) например AB с BC, и потом AB с AC.
Если оказалось что BC<AB<AC то наименьшая сторона найдена (BC).
С другой стороны, если оказалось что BC<AB, и AC<AB - то понадобится сравнить еще и BC с AC.
Эта "развилка" далее, никак не отражается на однозначности строимого вписанного треугольника.
Как рассчитать здесь "шаги" ("затратность") на этой части алгоритма?

[arseniiv]

manul91 в сообщении #1517641 писал(а):

Допустим, как часть всего построения нам понадобилось найти наименьшую сторону исходного треугольника.
Мы сравниваем (произвольно выбрав последовательность) например AB с BC, и потом AB с AC.
Если BC<AB<AC то наименьшая сторона найдена (BC).
С другой стороны, если BC<AB, и AC<AB - то понадобится сравнить еще и BC с AC.
Как рассчитать здесь "шаги" ("затратность") на этой части алгоритма?

В моей модели никак, в ней мы не можем узнать, как три точки лежат друг относительно друга на прямой, а тем более сравнить длины, увы. А в классических построениях это точно используется? (wrest? )

[manul91]

arseniiv в сообщении #1517643 писал(а):

А в классических построениях это точно используется? (wrest? )

Смутно помнится, что такое (определенность порядка точек на отрезке) добавка к аксиом Эвклида, которую он в свое время вроде не сформулировал

[arseniiv]

В аксиомы элементарной геометрии-то такое (что точки расположены в одном из порядков) входит так или иначе в зависимости от аксиоматики, но правила построений циркулем и линейкой не прямо относятся к аксиомам. Нам придётся доказать, что построение даёт то, что мы хотим, но при самом построении мы не обязательно можем на что-то смотреть, и по идее в нашем школьном курсе сравнивать порядок точек было нельзя…