2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение05.05.2021, 16:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
TR63 в сообщении #1516921 писал(а):
Это дополнительный шаг. В исходных данных нет произвольной точки. Произвольно её поставить мы не можем.
Можем, если используем потом только те из результатов построения, которые от произвольности точки не зависят. В этом построении это например сам перпендикуляр и отражение данной нам точки относительно данной прямой и пересечение перпендикуляра с данной прямой.

Даже если запретить ставить точки произвольно, то раз исходно дан целый треугольник, мы можем покрыть плоскость построимыми по этому треугольнику точками всюду плотно. Так что куда мы ни ткни в поисках произвольной точки, мы можем построить точку, настолько близкую к тому месту, насколько нам не жалко шагов. Так что если вам важна только конечность числа шагов и исходный треугольник невырожденный, требование чистоты излишне.

-- Ср май 05, 2021 18:05:26 --

TR63 в сообщении #1516474 писал(а):
Цель- найти условия, чтобы алгоритма осталось три (биссектральный, высотный, медианный).
Ой, плачевно. А сама эта цель чем-то рождена?

-- Ср май 05, 2021 18:07:11 --

То есть даже если начать считать шаги и ограничить их число, это будет искусственное решение проблемы, примерно того же толка что и ограничения на тип и порядок шагов в построениях. Не искусственных как-то не видно мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение05.05.2021, 23:01 


21/05/16
4292
Аделаида
Если честно, то вся эта затея с искусственым ограничением для треугольников выглядит как готовый кандидат для отправки в Пургаторий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение06.05.2021, 00:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Может, там где-то внутри благородная цель. А пока действительно выглядит, что вот мы в школе изучали биссектрису, медиану и высоту, мимо сознания решили, что они самые-рассамые выделенные из всех и стали подгонять решение под желаемый ответ. И нередко это правильный подход, просто нужно чтобы объекты были действительно естественно выделены среди всего, и что мы знаем, какие свойства пространства мы требуем, а какие нам не должны быть важны, и что те свойства не используются при показании выделенности тех объектов. И т. п., тут трудно найти общие слова и оставить аргумент понятным, в общем это часть общематематической интуиции по-моему: некоторые задачи тривиально разрешимы или тривиально неразрешимы (или в каком-то смысле тривиально некорректно поставлены, не суть) потому что требуется «ровно столько» сколько дано (в первом случае), или куда больше чем дано (во втором случае).

(И свежий пример задачи, где требуется ровно столько, сколько дано: «Использование непустоты множеств при доказательстве». Вывод (по крайней мере в моём посте там пониже; ссылка на само условие для понятности) достигается практически механически: легко видеть, когда пора распаковать формулу и когда пора начать собирать урожай.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение06.05.2021, 16:34 


03/03/12
1380
arseniiv в сообщении #1516978 писал(а):
Можем, если используем потом только те из результатов построения, которые от произвольности точки не зависят.

Хорошо(хотя Ваше объяснение мне малопонятно, но это не столь важно; главное, что нужно просто правильно посчитать количество шагов при разрешённых операциях; можно и не считать, обозначив буквой $(k_1,k_2,k_3)$ для (биссектрисы, высоты, медианы) и считать, что $k_1+k_2+k_3=7$ (это при использовании двух алгоритмов) и $k_1+k_2+k_3=9$ при использовании одного алгоритма.
По условию все вершины должны находится с помощью одного алгоритма. Значит, оставляем $k_1+k_2+k_3=9$.
Теперь надо предложить "алгоритм" (способ) вписать треугольник в разносторонний треугольник за количество шагов не более $9$ (интересно, возможно ли за меньшее количество шагов).
1). "Алгоритм" должен быть однозначным (т.е. при его использовании можно вписать только один треугольник)
2). Любые два "алгоритма" должны иметь пустое пересечение (т. е. не должны совпадать).
Разрешённые операции: проведение окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки.

Ранее приведённые примеры не удовлетворяют требуемым условиям (правда, пример с симедианами ещё не разбирала (экзотические примеры лучше приводить подробнее, если они удовлетворяют требуемым условиям).

-- 06.05.2021, 17:37 --

arseniiv в сообщении #1516978 писал(а):
А сама эта цель чем-то рождена?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение06.05.2021, 19:29 


05/09/16
11461
Пересечение серединного перпендикуляра с другой стороной. Существует для всех треугольников кроме прямоугольных (в случае прямоугольного исходного, порожденный треугольник -- вырожденный).
Изображение
9 шагов и всё однозначно, но

(Оффтоп)

чует мое сердце, "алгоритм" будет не удовлетворять каким-то условиям. Кроме того, тут мы за те же шаги бонусом получаем ещё и "медианный" треугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение06.05.2021, 20:43 


03/03/12
1380
wrest в сообщении #1517195 писал(а):
Существует для всех треугольников кроме прямоугольных (в случае прямоугольного исходного, порожденный треугольник -- вырожденный).

Это допустимо.
wrest в сообщении #1517195 писал(а):
"алгоритм" будет не удовлетворять каким-то условиям.


Да, не удовлетворяет определению вписанного треугольника. Треугольник, вписанный в треугольник, должен касаться каждой стороны треугольника только в одной точке. (Если точек касания с одной из сторон более одной, то это соприкасающиеся треугольники.)
(Возможно есть другое определение, но я подразумеваю такое.)
wrest в сообщении #1517195 писал(а):
Кроме того, тут мы за те же шаги бонусом получаем ещё и "медианный" треугольник.

Медианный треугольник Вашим методом получается, если исходный равнобедренный. Но по условию рассматриваются разносторонние треугольники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение06.05.2021, 21:39 


05/09/16
11461
TR63 в сообщении #1517210 писал(а):
Медианный треугольник Вашим методом получается, если исходный равнобедренный.
Вы хотя бы приправляли "мне кажется что" и т.п. ибо ваша безапеляционность поражает просто. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны, верно? То есть -- через место пересечения медианой соответственной стороны, верно? Отмечание точек пересечения двух прямых (и вообще любых точек пересечения на уже построенных линиях) это ноль операций, верно? И? Как вообще вы строите медиану вашим методом, уж не проведением ли серединного перпендикуляра к каждой из сторон?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 03:45 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
TR63 в сообщении #1517169 писал(а):
Да.
Ну расскажите же, если не секрет. Вдруг этот путь совсем не тот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 07:03 


24/08/12
926
TR63 в сообщении #1517210 писал(а):
Но по условию рассматриваются разносторонние треугольники.

Исходный треугольник разносторонный, значит существует наименьшая сторона (обозначим ее АB).
Ставим циркуль на центр в т. А, и радиусом AB чертаем окружность О1, она пересекает АС в т. М. Это одна операция.
Потом ставим циркуль в т.B и тем же радиусом AB чертаем окружность О2, находя т. N лежащей на BC. (Итого BN=AM=AB). Это еще одна операция.
Окружности О1 и О2, также у нас попутно пересеклись в точек Q1 и Q2 (так что тут ноль операций, этих точек мы уже нашли). Пересечение Q1Q2 и AB дает серединную точку P отрезка АB. Еще одна операция.
Итого, только тремя операциями - однозначно построен "вписанный" треугольник МNP.
Его можно охарактеризовать как "треугольник у которого одна вершина в серединной точки наименьшей стороны исходного, а другие две вершины лежат на других двух сторон исходного и отстоят от вершин наименьшей стороны исходного на ее же длиной".
Этот вписанный треугольник единственный для любого (разносторонного) исходного треугольника, т.е. алгоритм совершенно однозначен (и в нем не входит никакого "внешнего" произвола или выбора, вписанный треугольник определяется только исходным треугольником и больше ничем).
Если считать, что "сначала нужно найти наименьшую сторону" - это еще не более чем три операций (попарно сравниваем циркулем все три стороны) - так что итого суммарно понадобятся не более чем шесть операций (можно и меньше конечно, если повезло и оказалось что при сравнении попутно построили одну из окружностей O1 или O2; или сравнение только двух пар сторон оказалось достаточным) .

Какими "условиями" теперь не удовлетворяет этот алгоритм, и почему? : )

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 14:20 


03/03/12
1380
wrest в сообщении #1517233 писал(а):
Вы хотя бы приправляли "мне кажется что"

wrest, Вы правы: показалось.

wrest, но треугольник, вписанный Вашим методом, не удовлетворяет определению вписанного треугольника (я его немного уточнила):

TR63 в сообщении #1517210 писал(а):
Треугольник, вписанный в треугольник, должен касаться
прямой, проходящей через две вершины исходного треугольника (или стороны треугольника), только в одной точке.

Согласны? (Получается проблема с тупоугольными треугольниками, но это можно обсудить отдельно: то ли исключить их, то ли допустить, считая "алгоритм" пустым.)

manul91, у Вас точки $(A;B)$ находятся одним "алгоритмом": пересечение окружности радиуса наименьшей стороны с одной из сторон. Значит и третья вершина должна по условию находится таким же "алгоритмом". У Вас она находится пересечением двух окружностей (неважно, что автоматом; важен факт, что находится другим "алгоритмом"). Пересечение двух окружностей и пересечение окружности с прямой это разные " алгоритмы. Кроме того, для нахождения наименьшей стороны надо посчитать шаги. Но это уже не столь важно. Это моё мнение. Если не согласны, оспорьте.

arseniiv в сообщении #1517270 писал(а):
Ну расскажите же, если не секрет


Меня интересует, собственно, другая задача. Сейчас я исследую свойства последовательности {(биссектральные треугольники); (высотные треугольники); (медианные треугольники)}, поскольку она фигурирует в той задаче. О ней расскажу позже (возможно через несколько дней; сейчас цейтнот).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 16:01 


05/09/16
11461
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
Согласны?

Да мне как-то все равно. Я бы написал "вершины порождаемого треугольника должны лежать на прямых, cодержащих стороны порождающего треугольника, не менее одной на каждой стороне." Смотря что вы хотите. Например могут ли какие-то вершины порождаемого совпадать с вершинами порождающего. Могут ли находиться вне сторон (на продолжениях) и т.п. Я ж не знаю что именно вам надо :)

Слово "касаться" я бы убрал, тут даже тема отдельная есть что такое "касание", и это слово тут явно не подходит.
У вас есть:
Вершины (точки) порождающего треугольника.
Стороны порождающего треугольника (отрезки соединяющие вершины, включая сами вершины).
Прямые (содержашие вершины).

Вот этим и оперируйте.

Если треугольник вырожденный (тот или другой), то что-то может пойти не так. У вас тогда три вершины-точки на одной прямой, и отрезок длинной стороны содержит оба отрезка коротких (и то не всегда: две из трех или все три вершины могут совпасть), а вершины не являются точками пересечения сторон, т.к. прямые содержащие стороны не пересекаются, а совпадают. При совпадении трех вершин треугольник не имеет сторон (и содержащих их прямых) вовсе. Так что насчет вырожденности я бы оговорил, считаете ли вы такие треугольники за треугольники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 16:47 


24/08/12
926
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
Кроме того, для нахождения наименьшей стороны надо посчитать шаги.
Я же посчитал их для вас - это не более чем три шага чтобы сравнить попарно все стороны - а это однозначно определяет наименьшую.
Вбиваем циркуль в точку А и чертим окружность радиусом АB до пересечения АС в точки К. Это одна операция, и она даст нам сравнение длин АB и АС (в зависимости от того, внутри отрезка AC ли лежит К, или снаружи). Тем же образом еще двумя операциями, сравниваем длин AB и BC, и BC и AC.
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
manul91, у Вас точки $(A;B)$ находятся одним "алгоритмом": пересечение окружности радиуса наименьшей стороны с одной из сторон. Значит и третья вершина должна по условию находится таким же "алгоритмом". У Вас она находится пересечением двух окружностей (неважно, что автоматом; важен факт, что находится другим "алгоритмом"). Пересечение двух окружностей и пересечение окружности с прямой это разные " алгоритмы.
Забавно.
Но медианного вписанного треугольника тоже можно построить "разными алгоритмами" для трех точек (двух серединных точек находим "одинаковыми алгоритмами", а третью серединную - "другим алгоритмом"). Это не считается?
Какое значение имеет "алгоритм на определения каждой вершины вписанного" по отдельности, если итоговый вписанный треугольник определяется однозначно?

Потом, как быть если сначала нужно сделать некоторую работу "на общего блага" (которую нельзя аттрибутировать к нахождению ни одной из вершин вписанного конкретно) - например найти наименьшую сторону, или еще чего; а потом "единообразным образом" ("одинаковыми алгоритмами") находим каждую из вершин вписанного?
Такое "годится"?
Если да, то держите:
Сперва находим центра О описанной окружности (как пересечение серединных перпендикуляров любых двух из сторон исходного треугольника ABC). Это суммарно 6 шагов (имхо).
Потом единообразным образом, "одинаковыми алгоритмами" линейкой находим пересечения M=AOxBC, N=BOxAC и P=COxAB с противоположных сторон, строя вписанного треугольника MNP (пересечения линий через вершин и центра О описанной окружности исходного треугольника, с его сторон). Это еще три "шага", итого девять.
Возможно, тут у вас будут "проблемы" с тупоугольными треугольниками - но ведь для тупоугольных такие будут и с орто-треугольником (точки пересечения высот через вершин) а вы как писали выше, считаете его допустимым?

------

Далее, вы говорили что биссектральный вписанный треугольник у вас получается якобы за суммарно 9 "шагов".
Поскольку все три вершины вписаного по-вашему должны получаться "одинаковым алгоритмом", количество "шагов" на каждой из них должно быть также одинаковым.
Пожалуйста, пересчитайте здесь ваши "шаги" для нахождения одной из вершин вписанного биссектрального.
У меня получается не менее чем четыре шагов на нахождения пересечения каждой биссектрисы с противоположной стороны: 1) окружность O1 (произвольным радиусом) с центр в вершине A исходного чтобы фиксировать двух точек равноудаленных от этой вершины на прилежащих сторон - не менее чем один "шаг", 2) окружности O2 и O3 равными радиусами, с центрами в каждой из этих точек чтобы найти точку их пересечения Q - не менее чем еще два "шага" 3) Проведение биссектрисы АQ чтобы найти вершину вписанного которая лежит на BC (через пересечения AQ с BC) - еще не менее чем "один шаг". Суммарно не менее чем четыре "шага" на вершину вписанного биссектрального. Значит если "одинаковыми алгоритмами" то суммарно двенадцать шагов, а не девять.
А у вас как?

Также посчитайте эксплицитно шаги для построения "высотного" вписанного треугольника, у меня если "одинаковым алгоритмом на каждую точку" - опять получается не менее чем четыре шагов на вершину (значит в итоге опять двенадцать шагов).

Как вам не раз уже говорили, у вас не определено:
- Понятие "шага" (непонятно что считать одним "шагом")
- Понятие "алгоритма", "одинакового алгоритма на каждой точки"
- Понятие "вписанного треугольника"
- Понятие "допустимых операций"
- Понятие "что именно ищется"
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
не удовлетворяет определению вписанного треугольника (я его немного уточнила):
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
находятся одним "алгоритмом": пересечение окружности радиуса наименьшей стороны с одной из сторон. Значит и третья вершина должна по условию находится таким же "алгоритмом".
TR63 в сообщении #1517210 писал(а):
Но по условию рассматриваются разносторонние треугольники.
TR63 в сообщении #1517339 писал(а):
Если не согласны, оспорьте.
Такое ощущение что вы выдумываете правила на ходу, чтобы достичь непонятно какой желаемой вами цели.
И по той же причине также не хотите определять что такое "шаг", "алгоритм" и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 18:37 


05/09/16
11461
manul91 в сообщении #1517365 писал(а):
Также посчитайте эксплицитно шаги для построения "высотного" вписанного треугольника, у меня если "одинаковым алгоритмом на каждую точку" - опять получается не менее чем четыре шагов на вершину (значит в итоге опять двенадцать шагов).

Я ж рисовал как спускать перпендикуляра за троих шагов, посмотрите вышее мой пост с рисунком этого post1516664.html#p1516664

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 19:18 


03/03/12
1380
wrest в сообщении #1517357 писал(а):
Я бы написал "вершины порождаемого треугольника должны лежать на прямых, cодержащих стороны порождающего треугольника, не менее одной на каждой стороне." Смотря что вы хотите.

Я хочу, чтобы определение содержало минимум конкретной информации. И предполагаю, что лучше оставить в виде: "вершины порождаемого треугольника должны лежать на прямых, cодержащих стороны порождающего треугольника, по одной на каждой стороне."
wrest в сообщении #1517357 писал(а):
Если треугольник вырожденный (тот или другой), то что-то может пойти не так.

Согласна, что случай вырожденного порождаемого треугольника надо рассмотреть более детально. Исходный порождающий треугольник считаем невырожденным.

manul91 в сообщении #1517365 писал(а):
TR63 в сообщении #1517339

писал(а):
manul91, у Вас точки $(A;B)$ находятся одним "алгоритмом": пересечение окружности радиуса наименьшей стороны с одной из сторон. Значит и третья вершина должна по условию находится таким же "алгоритмом". У Вас она находится пересечением двух окружностей (неважно, что автоматом; важен факт, что находится другим "алгоритмом"). Пересечение двух окружностей и пересечение окружности с прямой это разные " алгоритмы.

Здесь опечатка. Должно быть: точки $(M;N)$ находятся одним "алгоритмом".
manul91 в сообщении #1517365 писал(а):
Но медианного вписанного треугольника тоже можно построить "разными алгоритмами" для трех точек (двух серединных точек находим "одинаковыми алгоритмами", а третью серединную - "другим алгоритмом"). Это не считается?


Не считается. "Одним алгоритмом " означает: предлагаете "алгоритм" (метод) нахождения какой-либо вершины порождённого треугольника, считаете количество шагов для его реализации, результат умножаете на три.
manul91 в сообщении #1517365 писал(а):
Далее, вы говорили что биссектральный вписанный треугольник у вас получается якобы за суммарно 9 "шагов".


У меня за $12$, у wrest за $9$. Пока решили оставить вариант$9$.
manul91 в сообщении #1517365 писал(а):
не хотите определять что такое "шаг", "алгоритм" и так далее.

Я определила, как могла. Просила делать конкретные замечания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько существует видов треугольников, ...
Сообщение07.05.2021, 20:30 


05/09/16
11461
TR63 в сообщении #1517384 писал(а):
У меня за $12$, у wrest за $9$. Пока решили оставить вариант$9$.

Э... если по одной, то 12 :) Одна биссектриса 4 шага, две биссектрисы - 6 шагов, три биссектрисы - 7 шагов. Про три шага на одну биссектрису я там погорячился. Про 6 шагов на две биссектрисы - правда.
Последовательность такая.
Изображение
Дан треугольник ABC, вместе с продолжениями его сторон. На картинке продолжения не потребовались, но в случае произвольного треугольника - могут потребоваться.
Шаги:
1. Строим окружность AB (зеленая) (первая буква - центр, вторая - через какую точку), отмечаем D - пересечение этой построенной окружности и стороны AC (или её продолжения).
2. Строим окружность BA (синяя) и отмечаем E - пересечение этой построенной окружности и стороны BC (или её продолжения).
3. Строим окружность DA (красная) и отмечаем её пересечение F с синей окружностью DA.
4. Строим луч AF (оранжевый) - биссектриса угла A (четыре шага на первую биссектрису).
5. Строим окружность EB (фиолетовая), отмечаем её пересечение G с зеленой окружностью AB.
6. Строим луч BG (малиновый) - биссектриса угла B (шесть шагов на две первых биссектрисы) и отмечаем H - пересечение биссектрис.
7. Строим луч CH (голубой) -- биссектриса угла С (семь шагов на три биссектрисы).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 100 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group