плотные множества на плоскости

[er]

ну ладно.. у меня поначалу сложилось впечетление, что как раз Вы и прикалываетесь этож надо, такое придумать, $\sqrt2$ - наименьшее иррациональное число учитывая, что потом вполне разумные рассуждения

[Capella]

А вот тоже достаточно интересная задачка (из одного очень известного учебника):

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $ B(x, \rho_1), B(y, \rho_2) $ в нём, что $ \rho_1 > \rho_2 $, и тем не менее $ B(x, \rho_1) \subset B(y, \rho_2) $.

[Руст]

Метрические пространство некоторый шар, у цетр шара, х граница.

[Capella]

Руст

Извините, под границей Вы понимаете замыкание? Честно говоря не совсем всё понятно, где например показано, что $ \rho_1 > \rho_2 $?

[Trueman]

Capella писал(а):

Руст

Извините, под границей Вы понимаете замыкание? Честно говоря не совсем всё понятно, где например показано, что $ \rho_1 > \rho_2 $?

ну видимо границу шара и понимает , можно даже не граничную точку брать, а любую точку поблизости от границы.

[er]

Метрическое пространcтво - отрезок $[0,1]$, $x=0$, $\rho_1=\frac34$, $y=\frac12$, $\rho_2=\frac23$

[Capella]

По моему, насколько я понимаю условие, оба шара должны целиком лежать в метрическом пространстве. Во вторых, по моему не совсем очевидно, что $ B(x, \rho_1) \subset B(y,\rho_2) $, по крайней мере в примере er точка $ {\frac3 4} + \epsilon $ относится к шару с меньшим радиусом, но никак не к шару с большим. Это смущает.

[Trueman]

А вот интересно, если взять треугольник с рациональными сторонами, найдётся ли у него внутренняя точка расстояния от которой до вершин треугольника будут рациональными?

[Genrih]

Capella писал(а):

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $ B(x, \rho_1), B(y, \rho_2) $ в нём, что $ \rho_1 > \rho_2 $, и тем не менее $ B(x, \rho_1) \subset B(y, \rho_2) $.

Зафиксируем точку $x_0$ в метрическом пространстве $X$.
Введем метрику:
$\rho(x,y)=1, x\not= y, x\not=x_0, y\not=x_0 $
$\rho(x,x_0)=\frac{1}{2}, x\not=x_0$
$\rho(x,x)=0$
Toгда, взяв $\frac{1}{2} < r_0 < r_1 < 1$, шары $B_0(x_0,r_0)$ (совпадет с Х), B_1(x_1,r_1)= \{ x_0,x_1 \}$ будут таковыми

[Руст]

задача с треугольником похоже такая же нерешённая, как и задача о параллелепиде с целыми (рациональные эквивалентны целым гомотетией) сторонами и с целыми всеми 4 диагоналями. Правда в этой задаче возможно существует решение (вариантов перебора вроде больше).

[er]

Trueman писал(а):

А вот интересно, если взять треугольник с рациональными сторонами, найдётся ли у него внутренняя точка расстояния от которой до вершин треугольника будут рациональными?

Да, непонятно. Даже для равностороннего треугольника. Или для прямоугольного треугольника со сторонами 3,4,5.

[Capella]

Genrih
А можно поподробнее, как например определён $ r_1 $? И Ваши точки $ x,y, x_0 $ образуют треугольник?

to all
Мне кажется, Вы дружно показываете вот это: $ B(x, \rho_1) \cap B(y, \rho_2) \ne \emptyset $. А надо вот это: $ B(x, \rho_1) \subset B(y, \rho_2) $. Видите-ли, по определению включеня, каждая точка включённого шарика является одновременно точкой включающего шарика, а у Вас это не очевидно, более того протеворечиво.
Мне кажется с обычной метрикой здесь не справиться. Я хотела вводить "псевдометрику" где расстояния имеют отрицательную величину. Возможно-ли построение таковой с комплексными числами?!

[незваный гость]

Я не совсем понимаю Ваше возражение er. Он привел пример нужного Вам метрического пространства и пример шаров. Пространство -- $[0, 1]$ с обычной метрикой. Шар тогда -- $ B(x, r) = \{ y \in [0,1]: |x-y| \leqslant r\}$. Естественно, он целиком включается в пространство.

Что же Вас смущает? Конечность пространства? То, что понятие радиуса оказывается неоднозначнум? (Кстати, если перейти к двумерному случаю, радиус окажется однозначным.) То, что диаметр шара может быть меньше, чем два радиуса? (Под диаметром, как обычно, понимаем $\sup\limits_{x_1,x_2 \in B} \rho(x_1,x_2)$.)

Согласен, построенное пространство необычно. Но Вы ведь запрашиваете пример с необычными свойствами.

[er]

2 Capella Написано 2 простых и наглядных решения (я написал конкретную реализацию идеи Руста). Можно привести максимольно простой пример, состоящий из 3-х точек.. Стоит ли? Может разберетесь, с тем что написано?

[Genrih]

Capella писал(а):

А можно поподробнее, как например определён $ r_1 $?

Для r_1 важно лишь, чтобы было выполнено указанное неравенство для радисуов.

Цитата:

И Ваши точки $ x,y, x_0 $ образуют треугольник?

О треугольнике я не говорил. Мое сообщение - к задаче "Привести пример метрического пространства ... " (правда сейчас вот думаю, как ета задача относится к теме "плотные множества" ?)