плотные множества на плоскости

[er]

Существует ли на плоскости множество, такое что
1. расстояние между любыми точками - рациональное число
2. множество плотно, то есть любая точка с произвольной точностью приближается точкой из множества.

Кажется, эта задачка до сих пор не решена.

[x0rr]

а $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ разве не подходит?

[незваный гость]

x0rr писал(а):

а $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ разве не подходит?

Нет, не подходит. Расстояние между (0, 0) и (1, 1) не рационально.

Я не уверен в существовании бесконечного множества, не лежащего на прямой.

[Capella]

А нельзя-ли рассмотреть круг с центром в (0,0) и радиусом 1/2?

[незваный гость]

Круг рассмотреть можно. А какие точки в нем выберем?

Я, кстати, погорячился. Можно построить бесконечное множество, например, так: $\{(0,1)\} \cup \{(\frac {a^2-b^2}{2 a b}, 0): a, b \in {\mathbb Z}\}$.

[Capella]

незванный гость писал(а):

Круг рассмотреть можно. А какие точки в нем выберем?

А что будет страшного, если у такого круга все?

[незваный гость]

Capella писал(а):

А что будет страшного, если у такого круга все?

Не все расстояния будут рациональными.

[Capella]

Хорошо, здесь у меня затруднение, потому что я незнаю наименьшего иррационального числа. Моя идея в целом выглядит так - найти наименьшее иррациональное число (я думаю, это $ \sqrt 2 $) и положить открытый отрезок от него до нуля в виде диаметра круга. Далее сместить круг к центру (0,0).

[yvanko]

Какое такое наименьшее иррациональное число? Оно в точности равно наибольшему рациональному насчет предложеного "незванный гость" то оно, как мне кажется, не плотно.

[незваный гость]

yvanko писал(а):

насчет предложеного "незванный гость" то оно, как мне кажется, не плотно.

Конечно не плотно. Это лишь пример бесконечного множества с рациональными расстояниями между точками, не лежащими на одной прямой. Я сомневался в существовании таковых.

[Capella]

yvanko писал(а):

Какое такое наименьшее иррациональное число? Оно в точности равно наибольшему рациональному насчет предложеного "незванный гость" то оно, как мне кажется, не плотно.

Иррациональное число, это такое число, которое не может быть представленно как рациональное, т.е. не может быть представлено дробью. Почему это наибольшее рациональное число является наименьшим иррациональным? Я0же привела пример иррационального числа $ \sqrt 2 $
Насчёт задачи: если удастся найти интервал, расстояние которого будет рациональным числом и который будет содержать только рациональные числа, то задача будет решена.

[yvanko]

Ладно. Шучу я. Просто множество иррациональных, как и множество рациональных всюду плотно значит любой интервал будет их содержать. По этим же причинам не существует наибольшего иррационального. Извините если я чего не понял.

[Capella]

yvanko писал(а):

Ладно. Шучу я. Просто множество иррациональных, как и множество рациональных всюду плотно значит любой интервал будет их содержать. По этим же причинам не существует наибольшего иррационального. Извините если я чего не понял.

Дааа, насчёт шутки я уже поняла

[er]

Скажем, что набор точек общего положения, если любые три точки не находятся на одной прямой.

Я не знаю, существует ли бесконечный набор точек общего положения, так что все попарные расстояния рациональные.

Даже непонятно, для каждого ли $n$ существует набор $n$ точек общего положения, так что попарные расстояния рациональные. В этой задаче, попарные расстояния можно считать целыми.

Непонятно, даже если точки лежат на одной окружности.

Да, кстати, в любом плотном подмножестве плоскости есть плотное подмножество общего положения.

[Capella]

yvanko
А Вам спасибо за инфу, вообще-то я не знала, что иррациональные числа везде плотны. Я знаю, что множество иррациональных чисел несчётно....