Доказательство Гипотезы Гольдбаха.
16.04.2021 г.
Обозначения (действуют в пределах данного рассмотрения):
- натуральное четное число.

- простое число (где

– порядковый номер числа в ряду простых чисел) такое, что примориал

является максимальным, не превосходящим

.

- наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит

.

- мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар чисел, в сумме дающих

, и в которых оба числа взаимно простые с

("пары, взаимно простых с

").
Для каждого простого числа

функция

, кроме простого числа

, для которого

.
Функция

позволяет удалить два вычета из кольца квадратичных вычетов простого числа, равных остатку

В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения:

(где

- натуральные числа от

до

) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с

, т.е. подразумевается удаление двух остатков:

.
Проведем предварительный анализ числа

. Если это число составное и у него есть простые делители

, то при расчете количества пар, взаимно простых с примориалом

, вместо функции

следует использовать функцию Эйлера

, что ведет к увеличению общего числа пар, взаимно простых с примориалом

в этом же примориале. Поэтому с целью минимизирования результатов считаем, что число

не имеет простых делителей, не превышающих

.
Используя функцию

и свойство ее мултипликативности, можно составить функцию расчета количества пар, взаимно простых примориалу

, в этом же примориале:

Или:
Доказательство:Количество пар простых

, создающих произведение

в примориале

можно рассчитать, как некую часть от количества чисел, взаимно простых с этим произведением:

Расчет коэффициента

трудоемкий и для больших примориалов

не представляется возможным.
Но так же, как и в доказательстве бесконечности простых-близнецов, можно рассчитать теоретическую нижнюю границу коэффициента

.
Для этого сделаем допущение, что все нечетные числа от

до

- простые числа.
В этом случае все эти числа создают равномерную последовательность и коэффициент

можно рассчитать по линейной зависимости:

(т.к. все числа в числителе, кроме первого, сократятся с числами знаменателя, кроме последнего).
Полученное значение коэффициента

является минимальным для коэффициентов, т.к. любое приближение к реальности (уменьшение количества простых в диапазоне от

до

) ведет к увеличению коэффициента за счет исчезновения дробей, меньших единицы. Поэтому коэффициент

определяет нижнюю теоретическую границу числа пар простых чисел, создающих произведение

.
Соответственно можно записать:

Из условия, что примориал

является наибольшим, не превосходящим

, следует, что


В то же время:

Из условия (6) следует, что начиная с

:

и далее с ростом

монотонно возрастает.
Поэтому с учетом (5) и (8) можно записать, что начиная с

:

Полученное неравенство (9) с учетом неравенства (7) утверждает, что какое бы ни было четное число

, всегда имеется, как минимум, одна пара простых чисел, в сумме равных этому четному числу (10).
*Примечание 1: функция

всегда дает одно лишнее значение, независимо от

.