Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1514090 писал(а):

vicvolf
Этот "кусок ПСВ" интересует не только вас. Это же простые числа, но являются вычетами ПСВ.
Без знания общих закономерностей распределения вычетов ПСВ невозможно найти эти закономерности
на отдельных участках ПСВ И чем меньше участок, тем сложнее.

Мне не нужны общие слова. Это все давно известно. Я прошу посчитать.

Dmitriy40 в сообщении #1513888 писал(а):

Видно что нетрудно посчитать даже для десятитысячных праймориалов

[vorvalm]

vicvolf
Таких возможностей, как у Dmitriy40 у меня нет.

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1514084 писал(а):

Вопросов по этой теме у меня больше нет.

Эх, жаль, а я то уже приготовил и 8х интервал, правда не проверял его в PARI/GP, слишком это долго, интервал $d>6000000$ достигается при $p_r=742711, p_{r+1}=742717$, что даёт коэффициент выше $8.078$. Что забавно, найти его оказалось в сотни раз легче/быстрее чем подтвердить.

vorvalm в сообщении #1514094 писал(а):

Таких возможностей, как у Dmitriy40 у меня нет.

Вообще-то PARI/GP распространяется свободно, работает даже без установки, а научиться писать несложные программки на нём не так уж сложно, много нужных вещей там уже реализовано встроенными функциями. Например найти $p_r=39541, d=240024$ на нём можно за десятки минут всего лишь, а проверить за минуты.

vicvolf в сообщении #1514092 писал(а):

Я прошу посчитать.

Это уже давно посчитано, во всякой случае максимально возможный интервал, в A005250. Чтобы уточнить есть ли в нём составные, но взаимно простые с праймориалом, надо брать и перебирать числа от левой границы A002386 до правой A000101 и для каждого (нечётного) проверять наименьший простой делитель, его максимум и скажет в какой последний праймориал входит данный интервал. PARI/GP справится с этим за минуту, числа то маленькие, дольше ему их подставить из OEIS в массивы:
$d=4, p_r=3, p_{r+1}=5$
$d=6, p_r=5, p_{r+1}=7$
$d=8, p_r=7, p_{r+1}=11$
$d=14, p_r=11, p_{r+1}=13$
$d=18, p_r=23, p_{r+1}=29$
$d=20, p_r=29, p_{r+1}=31$
$d=22, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=34, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=36, p_r=73, p_{r+1}=79$
$d=44, p_r=113, p_{r+1}=127$
$d=52, p_r=73, p_{r+1}=79$
$d=72, p_r=163, p_{r+1}=167$
$d=86, p_r=389, p_{r+1}=397$
$d=96, p_r=373, p_{r+1}=379$
$d=112, p_r=547, p_{r+1}=557$
$d=114, p_r=677, p_{r+1}=683$
$d=118, p_r=1091, p_{r+1}=1093$
$d=132, p_r=727, p_{r+1}=733$
$d=148, p_r=1367, p_{r+1}=1373$
$d=154, p_r=2029, p_{r+1}=2039$
$d=180, p_r=3433, p_{r+1}=3449$
$d=210, p_r=4079, p_{r+1}=4091$
$d=220, p_r=6793, p_{r+1}=6803$
$d=222, p_r=10139, p_{r+1}=10141$
$d=234, p_r=7481, p_{r+1}=7487$
$d=248, p_r=13711, p_{r+1}=13721$
$d=250, p_r=19081, p_{r+1}=19087$
$d=282, p_r=17467, p_{r+1}=17471$
$d=288, p_r=25889, p_{r+1}=25903$
$d=292, p_r=24407, p_{r+1}=24413$
$d=320, p_r=39191, p_{r+1}=39199$
$d=336, p_r=60631, p_{r+1}=60637$
$d=354, p_r=33563, p_{r+1}=33569$
$d=382, p_r=81973, p_{r+1}=82003$
$d=384, p_r=124147, p_{r+1}=124153$
$d=394, p_r=127763, p_{r+1}=127781$
$d=456, p_r=123583, p_{r+1}=123593$
$d=464, p_r=99257, p_{r+1}=99259$
$d=468, p_r=207589, p_{r+1}=207593$
$d=474, p_r=379283, p_{r+1}=379289$
$d=486, p_r=289967, p_{r+1}=289973$
$d=490, p_r=495433, p_{r+1}=495437$
$d=500, p_r=526501, p_{r+1}=526511$
$d=514, p_r=478523, p_{r+1}=478531$
$d=516, p_r=641419, p_{r+1}=641437$
$d=532, p_r=649183, p_{r+1}=649217$
$d=534, p_r=699253, p_{r+1}=699271$
$d=540, p_r=619987, p_{r+1}=619999$
$d=582, p_r=905143, p_{r+1}=905147$
$d=588, p_r=997207, p_{r+1}=997219$
$d=602, p_r=991031, p_{r+1}=991037$
$d=652, p_r=945463, p_{r+1}=945473$
$d=674, p_r=977107, p_{r+1}=977147$
$d=716, p_r=909331, p_{r+1}=909341$
$d=766, p_r=547097, p_{r+1}=547103$
$d=778, p_r=709507, p_{r+1}=709519$
$d=804, p_r=252409, p_{r+1}=252419$
$d=806, p_r=894259, p_{r+1}=894277$
$d=906, p_r=903479, p_{r+1}=903493$
$d=916, p_r=724021, p_{r+1}=724079$
$d=924, p_r=988147, p_{r+1}=988157$
$d=1132, p_r=967229, p_{r+1}=967259$
$d=1184, p_r=677357, p_{r+1}=677371$
$d=1198, p_r=926131, p_{r+1}=926153$
$d=1220, p_r=877601, p_{r+1}=877609$
$d=1224, p_r=855683, p_{r+1}=855697$
$d=1248, p_r=933809, p_{r+1}=933811$
$d=1272, p_r=664667, p_{r+1}=664669$
$d=1328, p_r=787529, p_{r+1}=787537$
$d=1356, p_r=835607, p_{r+1}=835609$
$d=1370, p_r=859751, p_{r+1}=859783$
$d=1442, p_r=792991, p_{r+1}=793043$
$d=1476, p_r=993253, p_{r+1}=993269$
$d=1488, p_r=965303, p_{r+1}=965317$
$d=1510, p_r=918913, p_{r+1}=918943$
$d=1516, p_r=904933, p_{r+1}=904987$
$d=1530, p_r=868891, p_{r+1}=868909$
$d=1550, p_r=923177, p_{r+1}=923179$

PS. Левую границу и интервал до правой можно и в вики взять.

-- 13.04.2021, 15:28 --

Dmitriy40 в сообщении #1514003 писал(а):

результату Pintz (а на самом деле кажется даже не его, формула следует из совсем другой теоремы о простых числах),

И таки да, у него всего лишь переписанная в других обозначениях (что он сам собственно и сказал в статье) формула Westzynthius and Paul Erdős аж от 1938г. А в 2018г она была ещё улучшена. Инфа есть в вики.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1514118 писал(а):

$d=22, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=34, p_r=31, p_{r+1}=37$

А зачем две строки? Ведь максимум один.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1514160 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1514118 писал(а):

$d=22, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=34, p_r=31, p_{r+1}=37$

А зачем две строки? Ведь максимум один.

Затем что вычисления делались для каждой строки исходных массивов. И убирать повторы и прочее было лень, это можно и глазками.

-- 13.04.2021, 18:55 --

Видно что никаких $2p_r$ интервалов нет и близко. Даже $2p_{r-1}$ интервалы присутствуют лишь в самом начале.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1514118 писал(а):

$d=34, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=36, p_r=73, p_{r+1}=79$

Пропущенные значения $p_r$ означают, что на них значение $d$ не меняется?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1514240 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1514118 писал(а):

$d=34, p_r=31, p_{r+1}=37$
$d=36, p_r=73, p_{r+1}=79$

Пропущенные значения $p_r$ означают, что на них значение $d$ не меняется?

Не уверен, указанные значения $p_r$ — максимальные которые встретились в интервале, т.е. это минимальное число $p_r$, в праймориал $p_r\#$ которого входит данный интервал на позиции менее $p_{r+1}^2$ (и ничего более не гарантируется), но разумеется и во все большие тоже (вплоть по $p_r\#$). Интервал $34$ впервые появляется в $31\#$, а интервал $36$ лишь в $73\#$. Но пропущенные значения $p_r$ теоретически могут встретиться ниже по списку, для больших $d$. Например в $p_r=73$ встречается и $d=52$. Чтобы понять надо отсортировать таблицу по $p_r$ и уже потом смотреть на $d$.
Ну и так как $d$ идут не подряд, то вполне возможно что на некоторых $p_r$ (пропущенных или даже из списка) встречаются и неуказанные значения $d$, но всего лишь по большему смещению, т.е. правее/позже указанного в таблице большего интервала, это же record gaps, а не полный список всех возможных.

В принципе перебрать полтриллиона чисел и выяснить все встречаемые интервалы для простых до миллиона теоретически возможно, но тратить на это три месяца жаль. Вот для простых до ста тысяч могу посчитать, на это нужно порядка часа (и полдня на написание программы!). Даже для простых до трёхсот тысяч могу, два дня счёта тоже не страшно. Но особого смысла не вижу, всё равно же эти интервалы на порядки меньше любых оценок и фиг вы чего докажете с их помощью.

[vicvolf]

Dmitriy40
Мне бы хотелось исследовать поведение функции $d/p_r$ для интервала $(p^2_r,p^2_{r+1})$ в ПСВ$p_r\#$.

Если это возможно, то вместо колонки $p_{r+1}$ сделать колонку $d/p_r$ и отсортировать по возрастанию $p_r$.

Не нужен большой объем вычислений, в пределах первой таблицы. Тенденция будет видна.

[Dmitriy40]

vicvolf
Почему мне опять кажется что это уже делал? Уменьшите там простое к предыдущему и всё. В чём разница-то?

"В пределах первой таблицы" я уже прикинул сколько это займёт времени:

Dmitriy40 в сообщении #1514247 писал(а):

В принципе перебрать полтриллиона чисел и выяснить все встречаемые интервалы для простых до миллиона теоретически возможно, но тратить на это три месяца жаль. Вот для простых до ста тысяч могу посчитать, на это нужно порядка часа (и полдня на написание программы!). Даже для простых до трёхсот тысяч могу, два дня счёта тоже не страшно. Но особого смысла не вижу, всё равно же эти интервалы на порядки меньше любых оценок и фиг вы чего докажете с их помощью.

[vorvalm]

Итак, зависимость $d_{\max}$ от $p_{r+1}$ в ПСВ($p_r\#$) не подтвердилась.
Отрицательный результат тоже результат.
Предлагаю вернуться с заоблачных высот и внимательно рассмотреть
процесс образования разности d=40 в ПСВ($23\#$).
Здесь мы имеем 12 разностей d=40. А что мы имеем в ПСВ($19\#$)на месте этих разностей ?
Очевидно, эти же разности, но имеющие внутри себя вычет, кратный 23. Сколько их - другой вопрос.
Затем, надо спуститься в ПСВ($17\#$) и т.д, т.е. применить метод спуска.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1514298 писал(а):

применить метод спуска.

Давеча, я говорил о применении метода спуска в ПСВ. Очень благодатный метод, но не оценили!

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1514298 писал(а):

Здесь мы имеем 12 разностей d=40. А что мы имеем в ПСВ($19\#$)на месте этих разностей ?

Вот что (минимальные простые делители для всех 21 чисел каждого интервала с границами):
73,3,5,11,3,13,23,3,7,19,3,17,5,3,11,7,3,5,13,3,20332511
24686821,3,5,11,3,13,19,3,7,17,3,23,5,3,11,7,3,5,13,3,4241
953,3,5,11,3,13,17,3,7,23,3,19,5,3,11,7,3,5,13,3,83
7297,3,5,11,3,13,19,3,7,23,3,17,5,3,11,7,3,5,13,3,65767901
82370089,3,13,5,3,7,11,3,5,23,3,19,7,3,17,13,3,11,5,3,1627
97689751,3,5,11,3,13,23,3,7,17,3,19,5,3,11,7,3,5,13,3,97689791
2477,3,13,5,3,7,11,3,5,19,3,17,7,3,23,13,3,11,5,3,125403119
7417,3,5,11,3,13,17,3,7,19,3,23,5,3,11,7,3,5,13,3,71
31,3,13,5,3,7,11,3,5,17,3,23,7,3,19,13,3,11,5,3,461
131,3,13,5,3,7,11,3,5,19,3,23,7,3,17,13,3,11,5,3,79
89,3,13,5,3,7,11,3,5,23,3,17,7,3,19,13,3,11,5,3,198406049
131,3,13,5,3,7,11,3,5,17,3,19,7,3,23,13,3,11,5,3,107
Разбирайте на составляющие.

[vorvalm]

Dmitriy40
Замечательно.
Но мне кажется, что вычеты кратные 3,5,7,11,13
составляющие цепочки, пока не надо показывать.
Надо разобраться со свободными вычетами, кратными
17,19,23

[Dmitriy40]

vorvalm
Тогда не будет понятно на каких позициях в интервале стоят делители 17, 19, 23. А преобразовывать делители в остатки по модулю мне лень (да и сами можете сделать, числа небольшие), ну и так нагляднее.

-- 14.04.2021, 20:51 --

9-й интервал, у которого слева 31, позже расширяется влево всего лишь на 2, там предыдущее число простое.

[vorvalm]

Dmitriy40
Вы правы, конечно. Позиции вычетов очень важны.
Их можно обозначать не делителями, а просто 0
и это можно сделать действительно самостоятельно.