2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 10  След.
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 15:25 


31/12/10
1554
Dmitriy40
Огромное спасибо. Определил, что цепочка кратных 2657 $(p_{r+1})$ вычетов
проходит через разность $d=10720$ и имеет один и единственный общий вычет с другой цепочкой
рангом ниже. А моя гипотеза основывалась на том, что цепочка $(p_{r+1})$ не будет
задевать другие цепочки. Но есть все-таки осторожный оптимизм для дальнейшего исследования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 16:16 


23/02/12
2894
Dmitriy40 О чем думал vorvalm, начиная тему, ему виднее.
Я лично думал о другом - пытался найти оценку максимального расстояния между вычетами ПСВ для сравнительно небольших $p_r$. Мне было интересно найти границу применения данной простой формулы. Только Ваши расчеты могли помочь. Я дал ее математическое обоснование и хотел понять, почему оно не верно для больших $p_r$. Сейчас вспомнил про эти формулы, но так и не пойму, где ошибка в модели, откуда берется нелинейность, ведь для небольших значений $p_r$ справедлива линейная формула $2p_{r-1}$? Что творится с расстояниями между вычетами в ПСВ при больших $p_r$ так и остается для меня загадкой. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 16:38 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
По поводу неоптимальности моего алгоритма.
Варьируя (методом "спуска", не полный перебор конечно) два подстроечных параметра алгоритма увеличил интервал для $p_r=2647$ с $d=10720$ до $d=11142$:
$p_r=2647, d=11142$, $4p_{r+1}=10628, d/p_{r+1}=4.193451$, $4p_{r-2}-2=10482, d/(4p_{r-2}-2)=1.062965$, $888946744524276..678222682892839+11142$
В процессе и много промежуточных интервалов нашёл.

Кстати не понимаю почему есть зависимость от первого подстроечного параметра, вроде не должно быть, однако ж ... Написать написал, даже работает более-менее правильно, а вот почему — не понимаю. :facepalm:

Но с $p_r=1997$ этот финт не прошёл, $d=8034$ увеличился лишь на $2$. Да и это заметил случайно, причём оказывается на нём мой алгоритм нашёл неверную правую границу ($d=8034$ не равно $+8036$), именно она при проверке сдвинулась на 2 вправо (оказалось делится на $1877$), чего я ну никак не ожидал и хорошо что не стал убирать проверку всего интервала, соответственно и дроби чуточку больше показанных должны быть.
$p_r=1997, d=8034$, $4p_{r+1}=7996, d/p_{r+1}=4.019010$, $4p_{r-2}-2=7946, d/(4p_{r-2}-2)=1.011075$, $379801490924159..660153454296077+8036$

-- 10.04.2021, 17:25 --

Dmitriy40 в сообщении #1513591 писал(а):
Видно что $1997$ объединило два меньших интервала, как впрочем и каждое из $1901\ldots1993$, т.е. каждое из них появилось лишь только справа или только слева от $1997$, но не одновременно и там и там. Впрочем торможу, очевидно же, что и слева и справа может оказаться только число меньшее половины от $p_r$.

Разумеется я согласен что каждое простое объединяет не более двух интервалов, но Вы очевидно ошибаетесь с оценкой их размера.
Чисто теоретически я (пока?) не вижу запрета соседним интервалам быть $d_{max}$ и $d_{max}-2$ (или $d_{max}-4$) и тогда если в их общую границу попадёт следующее простое (в какой-то степени), то максимальный интервал почти удвоится за один шаг. ;-) Конечно это очень маловероятно, но запрещено ли? Не уверен.
vicvolf в сообщении #1513578 писал(а):
У Вас получается расстояние больше $4p_{r-1}-2$, т.е. должны объединяться три интервала или более, что быть не может, так как как я показал, большое расстояние между удаляемыми вычетами.
Чего-то я подумал и не понял а почему собственно не могут числа кратные $p_r$ встретиться два или более раз и соответственно объединить более двух интервалов? Для этого достаточно чтобы в праймориале $p_{r-1}\#$ был интервал $2p_r$, тогда его границы как раз могут быть вычеркнуты числом $p_r$. Пока такого вроде бы не находилось, но ведь для $p_r\ge67$ максимальные интервалы уже больше удвоенного следующего простого, а значит должны быть и в точности равные. И в них таки будет объединение более двух интервалов.

-- 10.04.2021, 17:30 --

А это кстати означает что прирост максимальных интервалов при переходе к следующему $p_r$ для $p_r>67$ должен быть не менее $+4$ — если по краям предыдущего интервала были близнецы с интервалами по $2$. Реально прирост конечно значительно больше, но это ограничение снизу на него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 18:14 


31/12/10
1554
vicvolf в сообщении #1513770 писал(а):
О чем думал vorvalm, начиная тему, ему виднее.

Это надо спрашивать не у Dmitriy40, а у автора темы.
А думал я о максимальной разности между вычетами ПСВ. И то, что мое предположение
оказалось ложным, еще не повод для издевательства над автором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 18:44 


23/02/12
2894

(Оффтоп)

vorvalm Извините, Вы не поняли. Меня спросили, о смысле темы. И я, увидев Ваш ответ, написал, что vorvalm виднее. Никаких издевательств даже в мыслях не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 18:52 


31/12/10
1554

(Оффтоп)

vicvolf Проехали

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 20:28 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
Я не издевался, а не понял зачем было создавать данную тему если ответ на заданный в ней вопрос уже известен, раз уж есть выражение для оценки снизу и оно растёт с ростом $n$, а значит никакого предела нет. И я точно помню что это выражение уже приводилось в соседней теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 21:12 


31/12/10
1554
Я не верю в истины в последней инстанции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 21:57 


23/02/12
2894
Dmitriy40 в сообщении #1513775 писал(а):
Чего-то я подумал и не понял а почему собственно не могут числа кратные $p_r$ встретиться два или более раз и соответственно объединить более двух интервалов? Для этого достаточно чтобы в праймориале $p_{r-1}\#$ был интервал $2p_r$, тогда его границы как раз могут быть вычеркнуты числом $p_r$. Пока такого вроде бы не находилось, но ведь для $p_r\ge67$ максимальные интервалы уже больше удвоенного следующего простого, а значит должны быть и в точности равные. И в них таки будет объединение более двух интервалов.
А это кстати означает что прирост максимальных интервалов при переходе к следующему $p_r$ для $p_r>67$ должен быть не менее $+4$ — если по краям предыдущего интервала были близнецы с интервалами по $2$. Реально прирост конечно значительно больше, но это ограничение снизу на него.

При $p_r=67$ значение максимального расстояния в ПСВ равно $d=152$, а при $p_r=71$ значение $d=174$. Для получения $d=174$ достаточно объединения двух интервалов 152 и 22 или 94 и 80, т.е. даже далеких от максимальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 22:09 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
Ну достаточно, ну и что. Я же не утверждал что механизм формирования максимальных интервалов единственен. Если в $p_{r-1}\#$ есть интервал $2p_r$, то в одном из $p_r$ дублей в $p_r\#$ он должен попасть границами на кратные $p_r$ числа и будет объединение трёх интервалов. Не обязательно в новый максимум (хотя может быть и так).

-- 10.04.2021, 22:39 --

vicvolf
И я таки прав! Такие случаи бывают. Вот пример:
$p_r=199, d=402$, $284911552950510..324858256202713+414$ (расчётный $d=402$, реальный оказался $+414$)
2849115529505101197447244043216040653260305756904854975830108349322324858256202713+414
Список наименьших простых делителей для всех нечётных чисел в интервале 414 (с границами):
379,5,3,199,197,3,5,11,3,7,19,3,193,191,3,181,5,3,11,113,3,5,17,3,13,29,3,67,101,3,7,5,3,47,37,3,5,7,3,17,11,3,53,61,3,31,5,3,
19,73,3,5,23,3,29,97,3,179,7,3,43,5,3,13,137,3,5,19,3,131,83,3,7,11,3,23,5,3,41,7,3,5,173,3,11,167,3,109,71,3,17,5,3,7,67,3,5,103,
3,79,7,3,13,43,3,19,5,3,37,59,3,5,29,3,7,13,3,11,157,3,151,5,3,149,17,3,5,47,3,101,139,3,113,127,3,7,5,3,31,11,3,5,7,3,23,37,3,107,
53,3,11,5,3,83,13,3,5,89,3,71,41,3,19,7,3,61,5,3,59,31,3,5,11,3,47,17,3,7,79,3,13,5,3,11,7,3,5,163,3,43,23,3,17,13,3,73,5,3,
7,29,3,5,199,3,191,7,3,1439
И вот здесь вполне видно что число $199$ попалось дважды, т.е. объединило три интервала!

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение10.04.2021, 23:06 


23/02/12
2894
Dmitriy40
Очень хорошо, что проверили на всем ПСВ объединение более двух интервалов, поэтому получается нелинейность.

На интервале это не возможно, так иначе не выполнялась бы гипотеза Лежандра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение11.04.2021, 00:20 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
vicvolf в сообщении #1513812 писал(а):
На интервале это не возможно,
На каком? Я же привёл что возможно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение11.04.2021, 08:55 


23/02/12
2894
Dmitriy40 в сообщении #1513817 писал(а):
На каком?
Для ПСВ$p_r\#$ интервал $(1,p^2_{r+1})$, где находятся только простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение11.04.2021, 15:03 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
vicvolf
Но в этой теме речь про максимальные расстояния на всём $p_r\#$. Да и Вы вот тут говорили про весь ПСВ:
vicvolf в сообщении #1513578 писал(а):
Какое же максимальное расстояние между вычетами станет в ПСВ$p_{r}\#$? В наибольшем случае объединится максимальное расстояние $2p_{r-1}$ и расстояние немного меньше $2p_{r-1}-2$, т.е. получим максимальное расстояние $4p_{r-1}-2$. Таких расстояний в ПСВ$p_{r}\#$, как минимум два, так имеются симметричные вычеты в ПСВ.

У Вас получается расстояние больше $4p_{r-1}-2$, т.е. должны объединяться три интервала или более, что быть не может, так как как я показал, большое расстояние между удаляемыми вычетами.
Даже сами подчеркнули про два интервала, а я нашёл и три, причём очень задолго до выполнения условия $d=414\not>4p_{r-1}-2=786$. Да, найденный вариант не дал максимальное расстояние, но вероятно можно найти и такой вариант, не вижу этому запретов.

И да, постарался и нашёл такой! Он оказался уже для $p_r=73$, почти как я и предсказывал. Вот список наименьших простых делителей для $p_r=73$ в интервале $190$ (с границами), который является максимальным для данного $p_r$:
65929,3,7,5,3,61,13,3,5,7,3,43,23,3,11,59,3,
73,5,3,19,41,3,5,17,3,31,29,3,53,7,3,13,5,3,23,11,3,5,19,3,17,47,3,7,13,3,11,5,3,37,7,3,5,43,3,29,31,3,67,
71,3,41,5,3,7,61,3,5,11,3,13,7,3,59,17,3,19,5,3,11,23,3,5,13,3,7,37,3,47,
73,3,17,5,3,58810556038910741050470580169
Как легко увидеть $73$ встречается дважды и объединяет ТРИ предыдущих интервала, формируя при этом как раз максимальный интервал.
Аналогичная картина и для $p_r=\{83;89;103;113;131;151;157;167;173;179;191;193;197;211;223;227;229;233;239;241;251;263\}$, т.е. для большей части всех следующих.

А на $(1;p_{r+1}^2)$ всё проще и малоинтересно. И легко проверяемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)
Сообщение11.04.2021, 16:24 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва
К сожалению для $p_r=73$ интервал лежит вне $p_r\#$, ну вот такая проблема в данных в OEIS, но для $p_r=83$ интервал $d=216$ лежит внутри $83\#$ и потому вполне подходит уже без всяких оговорок. Вот для него список минимальных простых делителей (для всех нечётных чисел включая границы):
4001,3,5,17,3,
79,23,3,29,7,3,13,5,3,19,11,3,5,
83,3,17,53,3,7,13,3,11,5,3,23,7,3,5,19,3,
61,47,3,31,41,3,37,5,3,7,59,3,5,11,3,13,7,3,
67,17,3,43,5,3,11,
71,3,5,13,3,7,29,3,
73,31,3,17,5,3,53,23,3,5,37,3,41,11,3,47,
79,3,7,5,3,13,19,3,5,7,3,29,61,3,23,43,3,
83,5,3,59,17,3,5,22871
Тоже объединяются три предыдущих интервала.

Для $p_r=\{89;173;191;197;223;227;229;233;251\}$ тоже интервалы внутри праймориала и тоже в максимальный объединяется по три интервала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 145 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group