Это относится к доказательству гипотезы о бесконечности простых близнецов, а не к верхней оценке расстояния между соседними простыми числами.
Верхняя оценка расстояния между соседними простыми равна бесконечности и это тоже доказано. Чего тут ещё придумывать непонятно.
А о нижней оценке расстояния между соседними простыми числами я вообще ничего не говорил.
Ваша оценка
![$d(p_{r+1}^2)$ $d(p_{r+1}^2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/7/827b87d609b568e916747a4c94c69a5f82.png)
как раз и является оценкой максимального расстояния между простыми и она совершенно очевидным образом не может быть меньше или больше величины
![$g_n$ $g_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/2/4d299821bfa6be5fa5aa04fbba05755c82.png)
из
таблиц вики для некоторого
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, которое опять же очевидным образом (см. ниже как) связано с
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
в
![$p_{r+1}$ $p_{r+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45ec985c6355d6ee6e9f5c792767719f82.png)
. И не может быть меньше той дроби с логарифмами для нижней оценки
![$g_n$ $g_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/2/4d299821bfa6be5fa5aa04fbba05755c82.png)
. Так что не говорили — ну и зря, потому что всё связано.
А откуда Вы это взяли? Что это?
Разность между соседними простыми
![$d=p_{r+1}-p_r$ $d=p_{r+1}-p_r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/4/2d4a124106158ac713fc8921c05519c582.png)
присутствует в некоем праймориале
![$p_s\#$ $p_s\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/f/74fe02496d51372b8b82dfb7c46385d982.png)
потому что все числа в этом интервале делятся на простые меньше или равные
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
. А раз мы точно знаем что в праймориале
![$p_s\#$ $p_s\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/f/74fe02496d51372b8b82dfb7c46385d982.png)
все числа в интервале
![$(1;p_{s+1}^2)$ $(1;p_{s+1}^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf3fafcfe3f42ceb9339e45bb9ff94082.png)
простые, то можем приравнять
![$d(p_{r+1}^2)=d(p_{s+1}^2)$ $d(p_{r+1}^2)=d(p_{s+1}^2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/a/25a83d4901ca536d6fa64bd7cf46a19082.png)
, при этом сам праймориал будет
![$p_s\#$ $p_s\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/f/74fe02496d51372b8b82dfb7c46385d982.png)
. Из таблиц вики мы имеем числа
![$p_r, p_{r+1}=p_r+d$ $p_r, p_{r+1}=p_r+d$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/d/f9d068cbe9259be8e6072c1b54c5ef0282.png)
, а значит
![$p_{s+1}^2>p_{r+1}=p_r+d_r$ $p_{s+1}^2>p_{r+1}=p_r+d_r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/b/c1bd9e86706a6e7f56f4caaa775f031f82.png)
. С другой стороны совершенно точно что
![$p_{r+1}$ $p_{r+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45ec985c6355d6ee6e9f5c792767719f82.png)
не является квадратом никакого простого, а значит в качестве
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
можно брать максимальное простое не превышающее корня, квадрат следующего простого превысит
![$p_{r+1}$ $p_{r+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45ec985c6355d6ee6e9f5c792767719f82.png)
и не попадёт в пределы интервала. Вот так и получается оценка в каком минимальном праймориале находятся те интервалы между простыми, что взяты из вики.
Проверим выкладки на интервале
![$d_{80}=1550$ $d_{80}=1550$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/f/c9fbcf1223ce096c70df9a768dfd50ef82.png)
между
![$p_r=18361375334787046697$ $p_r=18361375334787046697$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/b/b7b068141741d767fa6edfd9afa1190882.png)
и
![$p_{r+1}=18361375334787048247$ $p_{r+1}=18361375334787048247$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/6/816595454b2d79a646aed5e251c87f5282.png)
,
![$\lceil\sqrt{p_{r+1}}\rceil=4285017542$ $\lceil\sqrt{p_{r+1}}\rceil=4285017542$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/a/ceabfe54728046c3e519e9e6f6243b3d82.png)
, берём предыдущее простое
![$p_s=4285017509$ $p_s=4285017509$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/e/b7ec8544ef761e3381b078fe0c01e7aa82.png)
. Значит данный интервал точно встречается как минимум уже в
![$4285017547\#$ $4285017547\#$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/b/8ab0daae6baf08282c90c4a0242c384582.png)
. С другой стороны все числа внутри этого интервала
![$(p_r;p_{r+1})$ $(p_r;p_{r+1})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4b8d40702a76cb2986c24ea69bc019082.png)
делятся не более чем на
![$3975661931$ $3975661931$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/f/0df80ed69971ecb211d1e4cf3881984f82.png)
, что явно меньше
![$\sqrt{p_{r+1}}$ $\sqrt{p_{r+1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/e/a1e69f9bfc5a50b8eaf37f79773167e282.png)
. Т.е. в качестве
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
можно брать любое простое из интервала
![$[3975661931;4285017509]$ $[3975661931;4285017509]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/4/cd436c1acefeb8069a11c2e9a9812f0782.png)
(с границами). Может быть интервал для
![$p_s$ $p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/3/073cc585326c263dc4cbc5ee30061f7d82.png)
и шире вправо, но этот по крайней мере гарантирован.
Ну а имея теперь и
![$d=1550$ $d=1550$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/e/2de6dd1148cabf4b330e1af2350d4b8382.png)
и
![$p_n\in[3975661931;4285017509]$ $p_n\in[3975661931;4285017509]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/2/b224c36a96c30a01ae4999946eb25ec282.png)
легко выбрать любое желаемое
![$p_n$ $p_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcacd0c2df330290b04661ab76e2a62c82.png)
из этого интервала и подсчитать желаемое вами
![$d/p_{n-1}$ $d/p_{n-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/1/5f12a9a656c097cc889bef4225e1ebeb82.png)
. Именно это я и имел в виду когда говорил что всё уже посчитано и надо пользоваться чужими трудами.
но при оценке небольших простых - имеет значение.
Похоже небольшие простые интересны лишь вам, их проще посчитать или напрямую, или какой-то простой эвристикой. Только для доказательств теорем/гипотез/утверждений это ничего вам не даст. Потому что те формулируются для
всех простых, а не лишь для
малых. А учитывая известную проблему с простым
![$3159$ $3159$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/1/6d18d291c9d01f92a50b5bf3ce56c19e82.png)
и кортежем максимальной плотности проверять свои гипотезы желательно хотя бы до десятитысячных простых. И начало данной тему тому прекрасный пример, что контрпримеры могут быть и достаточно велики. А в соседней теме товарищ строит простые палиндромы из отдельных простых или простых близнецов и там некоторые контрпримеры больше
![$10^{40}$ $10^{40}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/8/fd8003a4f343d2533c511b4b8485956582.png)
и я их найти не могу, хотя и уверен в существовании.
Это гипотеза. Какие для нее могут быть доказаны теоремы?
Тонкости различия между гипотезами, теоремами и утверждениями интересны лишь формалистам. Мне — нет. Тем более если они
доказаны.