2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 41  След.
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение13.03.2021, 18:55 


23/02/12
2774
Dmitriy40 в сообщении #1509055 писал(а):
Доказано?! Там каша из утверждений с ошибками, их исправлений и т.д. Ну и похожая на эту формула там "доказана" лишь с добавлением $O()$
Эта формула с уточняющим остаточным членом. Я же привел формулу асимптотики без остаточного члена. Конечно это не готовая статья, а только обсуждения. На форуме нельзя ссылаться на свои статьи. Но у меня есть статьи на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение14.03.2021, 16:56 


23/02/12
2774
Yury_rsn писал(а):
Можно уточнить по этой цитате:
Цитата:
На основании асимптотического закона простых чисел доказано topic140635.html , что справедлива формула:
$$\sum_{p \leq x} f(p) \sim \sum_{k \leq x} \frac {f(k)}{\ln(k)},$$
если ряд $\sum_{p=2}^{\infty} f(p)$ - расходится и $f(p)$ растет медленнее показательной функции.


- есть ли более точные условия на функцию f(p)
или f(k), и что зависит от ее вида?
Остаточный член - зависит?
Из требований к $f(p)$ можно добавить, что она должна быть монотонной и иметь производную не равную нулю на интервале $[2,x)$.

Остаточный член разложения зависит от точности в асимптотическом разложении $\pi(x)$. Например, если $\pi(x)=\frac {x}{\ln(x)}+O(\frac{x}{\ln^2(x)})$, то в наших примерах получим:
$$\sum_{p \leq x}\ln(p)=x+O(\frac{x}{\ln(x)}).$$
$$\sum_{p \leq x} \frac {1}{p}=\ln\ln(x)+O(1).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение14.03.2021, 22:37 


01/07/19
237
vicvolf в сообщении #1509212 писал(а):
Из требований к $f(p)$ можно добавить, что она должна быть монотонной и иметь производную не равную нулю на интервале $[2,x]$.

Остаточный член разложения зависит от точности в асимптотическом разложении $\pi(x)$.


Для любой $f(p)$ зависит только от $\pi(x)$ ?
Интересует - как именно от вида $f(p)$ зависит остаточный член.
Если $f(p)$ - это полином, например.
Или имеет смысл понимать под $f(p)$ функции только определенного вида?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 10:42 


23/02/12
2774
Yury_rsn в сообщении #1509263 писал(а):
vicvolf в сообщении #1509212 писал(а):
Из требований к $f(p)$ можно добавить, что она должна быть монотонной и иметь производную не равную нулю на интервале $[2,x]$.

Остаточный член разложения зависит от точности в асимптотическом разложении $\pi(x)$.


Для любой $f(p)$ зависит только от $\pi(x)$ ?
Интересует - как именно от вида $f(p)$ зависит остаточный член.
Если $f(p)$ - это полином, например.
Или имеет смысл понимать под $f(p)$ функции только определенного вида?

Нет $f(p)$ может быть произвольной функцией, удовлетворяющей перечисленным условиям.

Используем более точную формулу для $\pi(x)$:

$$\pi(x)=\int_2^x {\frac {dt}{\ln(t)}}+O(\frac {x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})),$$ где с - постоянная.

В этом случая справедлива общая формула:

$$\sum_{p \leq x}{f(p)}=\int_2^x {\frac {f(t)dt}{\ln(t)}}+O(\frac {|f(x)|x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})+O(\int_2^x{\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\ln^{1/2}(t)}}}).$$

Примеры использования данной формулы:

1. $\sum_{p \leq x}{\ln(p)}=\int_2^x {\frac {\ln(t)dt}{\ln(t)}}+O(\frac {\ln(x)x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})+O(\int_2^x{\frac {dt}{e^{c\ln^{1/2}(x)}}})=x+O(\frac {\ln(x)x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})$.


2.$\sum_{p \leq x}{\frac {\ln(p)}{p}}=\int_2^x {\frac {\ln(t)dt}{t\log(t)}}+O(\frac {\ln(x)x}{xe^{c\ln^{1/2}(x)}})$$+O(\int_2^x{\frac {tdt}{t^2e^{c\ln^{1/2}(t)}}})+O(\int_2^x{\frac {t\ln(t)dt}{t^2e^{c\ln^{1/2}(t)}}})=\ln(x)+O(1)$

3.$\sum_{p \leq x}{p^{\alpha}}=\int_2^x {\frac {t^{\alpha}dt}{\ln(t)}}+O(\frac{x^{\alpha+1}}{e^{c\ln{1/2}(x)}})+O(\int_2^x{\frac{t^{\alpha}dt}{e^{c\ln{1/2}(t)}})=\int_2^x {\frac {t^{\alpha}dt}{\ln(t)}}}+O(\frac{x^{\alpha+1}}{e^{c\ln{1/2}(x)}}),$ где $\alpha >-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 13:28 


01/07/19
237
vicvolf в сообщении #1509303 писал(а):

$$\sum_{p \leq x}{f(p)}=\int_2^x {\frac {f(t)dt}{\ln(t)}}+O(\frac {|f(x)|x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})+O(\int_2^x{\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\ln^{1/2}(t)}}}).$$

Красивая формула

А можно ли с ее помощью более точно оценить количество простых чисел на различных интервалах?
Например, на отрезке между x и y
$$\sum_{p \leq y}{f(p)} - \sum_{p \leq x}{f(p)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 15:21 


23/01/07
3351
Новосибирск
Dmitriy40
У меня к Вам вопрос-предложение по расположению взаимно простых в примориалах.
Если взять дробь: $\dfrac {\varphi_{p_{r}\#}}{p_{r}\#}$ и сократить общие множители в числителе и знаменателе, то будет ли на каждом участке примориала, равном полученному знаменателю, взаимно простых чисел ровно столько, сколько в полученном числителе? Или такой равномерности нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 15:22 


23/02/12
2774
Yury_rsn в сообщении #1509334 писал(а):
vicvolf в сообщении #1509303 писал(а):

$$\sum_{p \leq x}{f(p)}=\int_2^x {\frac {f(t)dt}{\ln(t)}}+O(\frac {|f(x)|x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}})+O(\int_2^x{\frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\ln^{1/2}(t)}}}).$$

Красивая формула

А можно ли с ее помощью более точно оценить количество простых чисел на различных интервалах?
Например, на отрезке между x и y
$$\sum_{p \leq y}{f(p)} - \sum_{p \leq x}{f(p)}$$

Если подставить в эту формулу $f(p)=1$, то получим

$$\pi(x)=\int_2^x {\frac {dt}{\ln(t)}}+O(\frac {x}{e^{c\ln^{1/2}(x)}}))$$

Эта формула предназначена не для определения асимптотики количества простых чисел, а для определения асимптотики суммы функций простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 17:15 
Заслуженный участник


20/08/14
9301
Россия, Москва
Батороев в сообщении #1509352 писал(а):
Dmitriy40
У меня к Вам вопрос-предложение по расположению взаимно простых в примориалах.
Если взять дробь: $\dfrac {\varphi_{p_{r}\#}}{p_{r}\#}$ и сократить общие множители в числителе и знаменателе, то будет ли на каждом участке примориала, равном полученному знаменателю, взаимно простых чисел ровно столько, сколько в полученном числителе? Или такой равномерности нет?
Начнём с того что я не понимаю записи $\varphi_{p_{r}\#}$. Что сложного писать функцию как обычно $\varphi(p_{r}\#)$ если это вообще так?
Далее, по определению $\varphi(p\#)=\prod\limits_{x\le p} (x-1)$ (разумеется для простых $p$ и $x$). При подстановке в вашу дробь у числителя и знаменателя не будет общих множителей кроме $2$ потому что в числителе произведение простых минус 1, которые гарантированно не равны ни одному простому в знаменателе кроме $2$.
Но даже хорошо, пусть сократили на $2$, и в числителе и в знаменателе остались очень большие числа.
Но дальше снова не понимаю выражение "на каждом участке примориала, равном полученному знаменателю," - что за участок праймориала? Две его половинки что ли? Которые $[1\ldots p\#/2),[p\#/2\ldots p\#)$? Почему сразу так не сказать?!
Далее, "взаимно простых чисел ровно столько," - взаимно простых?! Может взаимно простых с $p\#$ или с $p\#/2$? А то взаимно простых там уж точно не меньше $(\pi(p\#/2))^2$, что очень много и явно не то ...
Ну и с равномерностью тоже вопросы, если частей праймориала больше одной, то все ли они (число взаимно простых в них) должны равняться числителю или хотя бы некоторые или как?

Короче не буду я за вас доформулировать условие, постарайтесь уж сами. Как получите понятное и однозначное условие, программу я могу написать и проверить, для не слишком больших чисел (типа до десятков миллионов (что всего порядка $19\#\ldots 23\#$) простые ещё неплохо обрабатываются, а дальше желательно только готовыми функциями типа $\varphi(x), \pi(x), x\#, x!,\gcd()$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 18:11 


31/12/10
1553
Dmitriy40
Просьба.
Среди вычетов ПСВ по модулю $M=23\#$ есть по крайней мере
6 разностей между соседними вычетами, равными $d=40$.
Не могли бы найти первые вычеты этих разностей. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 18:42 
Заслуженный участник


20/08/14
9301
Россия, Москва
vorvalm в сообщении #1509384 писал(а):
Dmitriy40
Просьба.
Среди вычетов ПСВ по модулю $M=23\#$ есть по крайней мере
6 разностей между соседними вычетами, равными $d=40$.
Не могли бы найти первые вычеты этих разностей. Спасибо.

Не знаю почему, но нашлось больше (код на PARI/GP):
Код:
? pr=vecprod(primes([1,23]));pp=1;forstep(p=3,pr-1,2, if(gcd(p,pr)>1,next); if(p-pp==40,print1(pp,"  "));pp=p)
20332471  24686821  36068191  65767861  82370089  97689751  125403079  140722741  157324969  187024639  198406009  202760359
time = 1min, 3,868 ms.
Выведено меньшее из двух чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 19:10 


21/05/16
4234
Аделаида
Dmitriy40 в сообщении #1509374 писал(а):
При подстановке в вашу дробь у числителя и знаменателя не будет общих множителей кроме $2$ потому что в числителе произведение простых минус 1, которые гарантированно не равны ни одному простому в знаменателе кроме $2$.

Ну, вообще-то, нет. Скажем, $\varphi(210)=1\times2\times4\times6=48$ и $210$ имеют общий множитель $6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 19:20 
Заслуженный участник


20/08/14
9301
Россия, Москва
kotenok gav в сообщении #1509397 писал(а):
Ну, вообще-то, нет. Скажем, $\varphi(210)=1\times2\times4\times6=48$ и $210$ имеют общий множитель $6$.
Оп-па! Как интересно. Тут я явно лоханулся. Спасибо. Даже проверил, да, их таких много ... и разных ...
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
2#: gcd=1
3#: gcd=2
5#: gcd=2
7#: gcd=6
11#: gcd=30
13#: gcd=30
17#: gcd=30
19#: gcd=30
23#: gcd=330
29#: gcd=2310
31#: gcd=2310
37#: gcd=2310
41#: gcd=2310
43#: gcd=2310
47#: gcd=53130
53#: gcd=690690
59#: gcd=20030010
61#: gcd=20030010
67#: gcd=20030010
71#: gcd=20030010
73#: gcd=20030010
79#: gcd=20030010
83#: gcd=821230410
89#: gcd=821230410
97#: gcd=821230410
Тогда задача становится чуточку более понятной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 19:22 


31/12/10
1553
Dmitriy40
Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 19:49 


23/01/07
3351
Новосибирск
Dmitriy40 в сообщении #1509374 писал(а):
которые гарантированно не равны ни одному простому в знаменателе кроме $2$.

Причем здесь равенство? Я писал про множители, например: $7-1=2\cdot 3$ прекрасно делится на два простых.
Ладно, вопрос снимаю.

-- 15 мар 2021 23:49 --

Dmitriy40 в сообщении #1509374 писал(а):
которые гарантированно не равны ни одному простому в знаменателе кроме $2$.

Причем здесь равенство? Я писал про множители, например: $7-1=2\cdot 3$ прекрасно делится на два простых.
Ладно, вопрос снимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.03.2021, 20:34 
Заслуженный участник


20/08/14
9301
Россия, Москва
Батороев
Да указали уже выше что ошибся в этом.

Если я правильно понял задачу (а уж совпадает это с вашим или не совсем мне неизвестно), то нет, количества числителю равны не всегда:
Используется синтаксис Text
3#=6/2, 1/3: nums=1..1
5#=30/2, 4/15: nums=4..4
7#=210/6, 8/35: nums=8..8
11#=2310/30, 16/77: nums=15..17 -- не все равны
13#=30030/30, 192/1001: nums=190..194 -- не все равны
17#=510510/30, 3072/17017: nums=3072..3072
19#=9699690/30, 55296/323323: nums=55296..55296
23#=223092870/330, 110592/676039: nums=110582..110604 -- не все равны
29#=6469693230/2310, 442368/2800733: nums=442353..442387 -- не все равны

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 607 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group