2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 00:31 


03/06/12
2765
mihaild в сообщении #1508763 писал(а):
Не любая последовательность нулей и единиц является дробной частью какого-то числа.

В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8592
Цюрих
Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):
В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?
Да. В зависимости от соглашений, либо $0.0(1)$, либо $0.1(0)$ не является корректной записью одного и того же числа, либо они являются записью одного и того же числа. В любом случае, наивное построение $a_1 a_2 \ldots \to 0.a_1 a_2\ldots$ биекцию (а то и вообще отображение) не задает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 00:46 


03/06/12
2765
mihaild в сообщении #1508766 писал(а):
Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):
В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?
Да.

Понял! А я-то думал, что использование двоичной системы устраняет этот недостаток, потому и погнался за этой системой счисления. Да-да-да, теперь все начинает выглядеть с единой точки зрения: никакая система счисления в этом отношении не лучше! Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 08:43 


21/05/16
4292
Аделаида

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1508749 писал(а):
Изображение

А что за книга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 11:03 


01/03/18
50
Виленкин "В поисках бесконечности"

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 15:32 


03/06/12
2765

(Оффтоп)

vego в сообщении #1508799 писал(а):
Виленкин "В поисках бесконечности"

Не знаю. Лично я ее знаю под названием "Рассказы о множествах":
Изображение
Кстати, написана очень доступно.


-- 12.03.2021, 17:05 --

Someone в сообщении #1508746 писал(а):
Sinoid в сообщении #1508691 писал(а):
Скажите, пожалуйста, это же эти бесконечные последовательности считаются счетными?
По определению последовательность элементов множества $A$ — это отображение (функция) $\mathbb N\to A$, где $\mathbb N$ — натуральный ряд.

Да, с определением последовательности я уже сталкивался при изучении (с наставником) книги Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. "Вводный курс математической логики":
Изображение
, но видите ли, в чем дело? Там определялась вычислимая последовательность, а в изучаемой книге последовательность вообще никак не определяется, так что были сомнения. Спасибо за то, что их развеяли.

-- 12.03.2021, 17:21 --

mihaild в сообщении #1508763 писал(а):
Sinoid в сообщении #1508762 писал(а):
Так в доказательстве-то последовательности и есть дробная часть двоично-рациональных чисел
Не любая последовательность нулей и единиц является дробной частью какого-то числа.

Да, но в теореме 4 говорится о множестве всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, а доказывается она явно через дробные части двоично-рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8592
Цюрих
Sinoid в сообщении #1508848 писал(а):
говорится о множестве всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, а доказывается она явно через дробные части двоично-рациональных чисел
Она доказывается не прямым сопоставлением двоичных последовательностей числам. Мы разбиваем все последовательности на два множество, первое из которых равномощно числам, а второе счетно. Ну а множество всех последовательностей равномощно первому множеству по теореме 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 17:26 


03/06/12
2765
mihaild в сообщении #1508766 писал(а):
Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):
В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?
Да. В зависимости от соглашений, либо $0.0(1)$, либо $0.1(0)$ не является корректной записью одного и того же числа, либо они являются записью одного и того же числа.

Это-то понятно, но доказательство теоремы 4 ведется явно через дробные части двоично-рациональных чисел, а в ее условии сказано про множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, хотя в окончании доказательства теоремы сказано то же самое, что говорите вы:
Изображение

А-а-а. Это получается, из множества всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, назовем его $A$ удаляются все такие, которые оканчиваются на 1 в периоде (если 1 в периоде запрещено), при этом множество этих подлежащих удалению бесконечных последовательностей счетно, поэтому мощность части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, будет равна мощности исходного множества $A$, а, ввиду возможности двоякого представления двоичных дробей (я не говорю о том, как обстоят дела после принятия соглашения, что разрешено - нули или единицы в периоде, я говорю, как обстоят эти дела до принятия этого соглашения) в части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, останется ровно 1 бесконечная последовательностей, соответствующая каждой удаленной последовательности. Не тождественная этой удаленной последовательности, а определенным образом ей соответствующая. И, таким образом, получится, что мощность множества оставшихся бесконечных последовательностей нулей и единиц будет все равно совпадать со множеством точек интервала $\left[0,\,1\right]$. Правильно же?

-- 12.03.2021, 18:27 --

mihaild в сообщении #1508855 писал(а):
Она доказывается не прямым сопоставлением двоичных последовательностей числам. Мы разбиваем все последовательности на два множество, первое из которых равномощно числам, а второе счетно. Ну а множество всех последовательностей равномощно первому множеству по теореме 3.

Да-да, я написал, как думаю. Проверьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение12.03.2021, 21:58 


03/06/12
2765
Sinoid в сообщении #1508868 писал(а):
А-а-а. Это получается, из множества всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, назовем его $A$ удаляются все такие, которые оканчиваются на 1 в периоде (если 1 в периоде запрещено), при этом множество этих подлежащих удалению бесконечных последовательностей счетно, поэтому мощность части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, будет равна мощности исходного множества $A$, а, ввиду возможности двоякого представления двоичных дробей (я не говорю о том, как обстоят дела после принятия соглашения, что разрешено - нули или единицы в периоде, я говорю, как обстоят эти дела до принятия этого соглашения) в части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, останется ровно 1 бесконечная последовательностей, соответствующая каждой удаленной последовательности. Не тождественная этой удаленной последовательности, а определенным образом ей соответствующая. И, таким образом, получится, что мощность множества оставшихся бесконечных последовательностей нулей и единиц будет все равно совпадать со множеством точек интервала $\left[0,\,1\right]$. Правильно же?

Как-то получилось все с ног на голову. Но мне кажется, я понял. Сейчас напишу. Нужно только четко сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение13.03.2021, 19:21 


03/06/12
2765
Итак, берем бесконечные двоично-рациональные записи всех чисел, принадлежащих интервалу $\left[0,\,1\right]$. Для определенности запретим этим записям заканчиваться единицей в периоде, заменяя такие записи записями, оканчивающимися нулем в периоде соответствующим образом ($9,(9)\cdot10^{-n-1}=10^{-n}$, где $n=1,\,2,\ldots$, и т. д.). Оставим только одну такую запись - 0,(1). И будем считать, что эта запись является записью 1. Из этих записей отбрасыванием целой части и запятой образуем множество бесконечных последовательностей, состоящих только из нулей и единиц. Обозначим его через $A$. Очевидно, это множество бесконечно. Среди этих последовательностей, ввиду принятого вначале запрета в двоичных записях чисел единиц в периоде (кроме одной, но это сейчас неважно, тра-та-та), не будет таких, у которых вначале стоит какая-то конечная последовательность ненулевой длины нулей и единиц и оканчивающаяся (конечная последовательность) нулем, а потом идет бесконечная последовательность единиц. Обозначим множество таких последовательностей через $B$. Множество $B$, с одной стороны, счетное (это несложно доказать). С другой стороны, его объединение с множеством $A$ дает вообще множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Обозначим его через $C$. А, поскольку, по теореме 3, объединение бесконечного множества со счетным множеством не меняет мощности этого бесконечного множества, то и получаем, что множество $A$ равномощно множеству $C$. С другой стороны, по самому построению множества $A$ оно равномощно интервалу $\left[0,\,1\right]$. И вот только из этого получаем, что этот интервал равномощен $C$

Правильно сформулировал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение13.03.2021, 22:14 
Заслуженный участник


18/01/15
3121
Sinoid в сообщении #1509070 писал(а):
Правильно сформулировал?
Да (исключая то, что двоичные дроби с десятичными в формуле перепутали).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение13.03.2021, 23:37 


03/06/12
2765
vpb в сообщении #1509096 писал(а):
(исключая то, что двоичные дроби с десятичными в формуле перепутали).

Блин, точно! Нужно было $1,(1)\cdot10^{-n-1}=10^{-n}$ :oops: :facepalm: Большое спасибо за замечание.

-- 14.03.2021, 00:39 --

где уже $n=10,\,11,\,100\ldots$

-- 14.03.2021, 01:14 --

Ну, и тогда вот это вот:
Sinoid в сообщении #1508749 писал(а):
Итак, пусть уже построено взаимно-однозначное соответствие между $\mathbb{R}$ и интервалом $[0,\,1)$. Я специально не стал включать 1 в этот интервал. Немного ниже объясню, почему. Тогда задача сводится к взаимно-однозначному отображению хотел здесь написать бесконечного, но не буду: счетное множество бесконечно по определению
счетного множества $\left\{ a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots\right\}$действительных чисел, каждое из которых принадлежит этому интервалу на этот же интервал. Для этого воспользуемся представлениями этих чисел в двоичной системе счисления и запишем эти представления в виде, таблицы, одно под другим:
$$\begin{matrix}a_{0} & = & \overline{0,\epsilon_{00}\epsilon_{01}\epsilon_{02}\ldots}\\
a_{1} & = & \overline{0,\epsilon_{10}\epsilon_{11}\epsilon_{12}\ldots}\\
a_{2} & = & \overline{0,\epsilon_{20}\epsilon_{21}\epsilon_{22}\ldots}\\
\hdotsfor{3}
\end{matrix}$$
где все $\epsilon_{ij}$ равны 0 или 1. Тогда, ставя в соответствие этому бесконечному множеству действительное число $a$, определяемому следующим образом: $a=\overline{0,\epsilon_{00}\epsilon_{01}\epsilon_{11}\epsilon_{10}\epsilon_{02}\epsilon_{12}\epsilon_{22}\epsilon_{21}\epsilon_{20}\ldots}$, мы и определим некоторое отображение множества этих счетных множеств действительных чисел на этот интервал. Сюръективность этого отображения очевидна: если мы возьмем какое-либо число $b=\overline{0,\beta_{0}\beta_{1}\beta_{2}\ldots}$, где каждая $\beta$ равна 0 или 1, и расставим цифры его дробной части в таблицу с бесконечным числом строк и столбцов в то место, из которого была взята цифра из такой же таблицы, при построении числа $a$ для его цифры из того же разряда, что и рассматриваемая сейчас цифра, то мы однозначно восстановим двоичные записи чисел $a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots$. Далее осталась инъективность, но она очевидна: если даже у двух последовательностей будет различие только в одном разряде только у одного элемента в каждом из множеств, это тут же вызовет различие в числах, получаемых по описанному способу для каждого из множеств.

остается почти без изменений, только сначала строим взаимно-однозначное отображение
между $\mathbb{R}$ и интервалом $\left[0,\,1\right]$, затем строим взаимно-однозначное отображение между этим интервалом и множеством всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Композиция этих двух отображений позволяет говорить о взаимно-однозначном отображении между $\mathbb{R}$ и множеством всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Далее делаем в точности то же самое, что мы делали для построения числа $a$, соответствующего данной числовой последовательности $a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots$, строим число $a$ по тому же правилу, только вместо двоично-рациональных представлений каждого элемента этой последовательности соответственно для каждого элемента этой бесконечной последовательности используем соответствующую бесконечную последовательность нулей и единиц. Верно же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение14.03.2021, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8592
Цюрих
Sinoid, да, всё так. После доказательства теоремы 4 можно во всех рассуждениях о мощностях заменять $\mathbb R$ на последовательности (только надо не забывать об этом упомянуть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение14.03.2021, 15:24 


03/06/12
2765
Все понятно. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"
Сообщение14.03.2021, 16:57 


03/06/12
2765
Думаю над задачей 48:
Докажите, что, если отрезок разбит на 2 части, то хотя бы одна из них равномощно отрезку.
Это же разбиение предполагается не строго таким, что, к примеру, слева направо (или, там, снизу вверх, ну, вы поняли) сначала идут строго точки одной части, а потом, вправо от определенной точки, начинаются точки другой? Разбиение же может быть, к примеру, таким:
Изображение
, где точки (и точки, не являющимися концами отрезков, внутренние точки этих отрезков) разного цвета - это точки разных двух частей?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 152 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group