Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Dmitriy40]

vorvalm
Возможно я понял в чём у Вас проблема с третьей теоремой Мертенса: для праймориала $y=x\#$ в ней произведение берётся по простым до $x$, Вы же в своих выкладках используете $\pi(y=x\#)$, а не $\pi(x)$. А вот в функции Эйлера должно стоять и стоит именно $\varphi(y)$.
Т.е.

$$\varphi(x\#)=\prod\limits_{p \le x} (p-1)=x\#\prod\limits_{p \le x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$$

не до $x\#$!

А вот под пределом отношение будет именно (почти единичной константой в числителе пренебрегу)

$$\frac{\pi(x\#)}{\varphi(x\#)}=\frac{x\#}{\ln(x\#)}\frac{1}{\prod\limits_{p \le x} (p-1)}=\frac{1}{\ln(x\#)\prod\limits_{p \le x}(1-\frac{1}{p})}$$

видите, тут в знаменателе вовсе не третья теорема Мертенса! Потому что логарифм от гораздо большего числа. Потому и предел нулевой.

PS. Разумеется везде подразумевалось что $x$ (и $p$) — простое число.

-- 06.03.2021, 01:01 --

Даже перепишу с теоремой Мертенса в знаменателе (в больших скобках):

$$\frac{\pi(x\#)}{\varphi(x\#)}=\frac{1}{\ln(x\#)}\frac{1}{\prod\limits_{p \le x} (1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\ln(x\#)}\frac{\ln(x)}{\left (\ln(x)\prod\limits_{p \le x} (1-\frac{1}{p})\right )}=\frac{\ln(x)}{\ln(x\#)}\frac{1}{e^{-\gamma}}=\frac{C}{\ln(x_{-1}\#)}$$

Ну а предел этого при $x\to\infty$ понятно нулевой.
Похоже это доказательство ...

-- 06.03.2021, 01:12 --

Только странно что значения выдаются на порядок меньше посчитанных ранее ... Где-то ошибся?

[vorvalm]

Я думаю, что моя ошибка заключается в том, что у Мертенса
$ x$ - непрерывная переменная, а у меня
$M=p\#$ - дискретная.

[Dmitriy40]

Даже если и так, то в дискретных точках они должны совпадать. А они совершенно явно не совпадают. Так что очевидно дело не в этом.
Вы просто спутали где $M=p\#$, а где просто $p$. У Мертенса в логарифме и в произведении — просто $p$. Как и в определении функции Эйлера.

[vorvalm]

А я понимаю так. Если мы берем $x=M=p\#$, то в формуле Мертенса
$p$ - ближайшее простое число к $M$, т.е. совсем другое.

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1508089 писал(а):

А я понимаю так. Если мы берем $x=M=p\#$, то в формуле Мертенса
$p$ - ближайшее простое число к $M$, т.е. совсем другое.

Тогда Вы где-то потеряете $M\#$.

Хорошо, давайте возьмём $M=p\#$.
Для праймориалов функция Эйлера равна (далее везде $t$ и $p$ — простые)

$$\varphi(p\#)=\prod\limits_{t \le p} \varphi(t) = \prod\limits_{t \le p} (t-1)$$

Это банально следует из $\varphi(p)=p-1$ для простого $p$ и $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$.
И сразу обращаю внимание что произведение берётся лишь до $p$, а вовсе не до $p\#$!

Но Вы хотите привлечь третью теорему Мертенса, так выразим $\varphi(p\#)$ через неё:

$$\varphi(p\#) = \prod\limits_{t \le p} (t-1) = \prod\limits_{t \le p} (t(1-\dfrac{1}{t})) = \prod\limits_{t \le p} (t) \times \prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t}) = p\# \prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t}) =$$ $$= \dfrac{p\#}{\ln(p)}\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]$$

В квадратных скобках любимая вами третья теорема Мертенса, когда попадёт под предел $\lim\limits_{p\to\infty}$.
И здесь уже нет выбора до чего брать произведение, до $p$ или до $p\#$, это задано однозначно!

Теперь посмотрим чему равна дробь в желаемом Вами пределе:

$$\dfrac{\pi(p\#)}{\varphi(p\#)} = \dfrac{\dfrac{p\#}{\ln(p\#)}}{\dfrac{p\#}{\ln(p)}\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]} = \dfrac{\ln(p)}{\ln(p\#)\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]}$$

Ну и сам интересующий Вас предел:

$$\lim\limits_{p\to\infty} \dfrac{\pi(p\#)}{\varphi(p\#)} = \lim\limits_{p\to\infty} \left(\dfrac{\ln(p)}{\ln(p\#)}\dfrac{1}{\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]}\right)$$

Данный предел произведения можно разделить на произведение двух пределов, так как они оба существуют и конечны:

$$\lim\limits_{p\to\infty} \left(\dfrac{\ln(p)}{\ln(p\#)}\dfrac{1}{\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]}\right) = \lim\limits_{p\to\infty} \dfrac{\ln(p)}{\ln(p\#)} \times \lim\limits_{p\to\infty} \dfrac{1}{\left[\ln(p)\prod\limits_{t \le p} (1-\dfrac{1}{t})\right]} = 0 \times e^\gamma = 0$$

Что в этих выкладках Вам непонятно? Здесь не осталось места для произвольного выбора $p$ или $p\#$. Или выдумкам где дискретные величины, а где непрерывные.

-- 06.03.2021, 16:38 --

Конечно замена $\pi(x)$ на $x/\ln(x)$ не слишком правомерна, но зато $\pi(x)$ точно меньше чем $10^9 x/\ln(x)$ (доказано даже что хватило бы и $1.11$, я намеренно сильно завысил), что даст лишнюю константу в числитель под пределом и совершенно никак не повлияет на результат.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1508106 писал(а):

Конечно замена $\pi(x)$ на $x/\ln(x)$ не слишком правомерна,

Правильнее асимптотическое равенство записать в виде $\pi(x)=\frac{x}{\ln(x)}(1+o(1))$ и в других случаях тоже.

[Dmitriy40]

vicvolf
Не волнует: если к нулю сходится заведомо бОльшая положительная функция, то к нему же сходится и заведомо меньшая положительная функция. Вас же предел интересовал, а не скорость сходимости.
К тому же Чебышев вроде бы полтора века назад доказал что если предел $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{x/\ln(x)}$ есть, то он равен $1$. А потом равенство единице доказали Адамар и Пуссен, потом ещё и Эрдеш—Сельберг. А значит можно переписать Ваш предел отношения через предел $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)\ln(x)}{x}$ и получить ровно тот же результат уже совершенно законно.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508044 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1472434 писал(а):

Вопрос - как найти значение величины максимального интервала между соседними членами этих последовательностей - в зависимости от конкретного праймориала?
Например, чему равно максимальное расстояние между соседними числами при $23 \#$ ?

Обозначим праймориал $p_r \#=2 \cdot...\cdot p_r$, где $r$ - порядковый номер простого числа. Тогда максимальный интервал между членами ПСВ равен $p_{r+1}-1$.

Дмитрий уже ответил на это предположение:
post1472458.html#p1472458

Максимальный интервал для данного праймориала - это значение функции Якобсталя.
A048670
И эта функция растет намного быстрее, чем $p_{r+1}-1$.

Другое дело, что эти максимумы случаются где-то в середине праймориала.
А в начале числового ряда расстояния между взаимно простыми намного меньше.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508158 писал(а):

Максимальный интервал для данного праймориала - это значение функции Якобсталя. A048670 И эта функция растет намного быстрее, чем $p_{r+1}-1$. Другое дело, что эти максимумы случаются где-то в середине праймориала. А в начале числового ряда расстояния между взаимно простыми намного меньше.

Да, я сначала подумал, что Вас интересует только начальный промежуток ПСВ. Потом понял, что Вас интересует максимальное расстояние между членами последовательности ПСВ не только в начале. Действительно, расхождение начинается с $11\#$.

vorvalm в сообщении #1506848 писал(а):

Я хочу найти предел отношения

$$\lim\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\;\;\;M=p\#\rightarrow \infty$$

Да, это интересный предел. Предел отношения количества простых к количеству взаимнопростых в праймориале.Конечно количество взаимнопростых больше, но насколько?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1508197 писал(а):

Да, это интересный предел. Предел отношения количества простых к количеству взаимнопростых в праймориале.Конечно количество взаимнопростых больше, но насколько?

Выше моё доказательство что предел равен $0$.
Значит бесконечно больше.
А конкретные цифры были приведены тут: post1508001.html#p1508001
Полезно всё же читать сообщения в теме.

[vicvolf]

Dmitriy40 Вы очень горячитесь! Не торопитесь. Я с Вами согласен! Но писал я не Вам.

Немного уточню. Вы правильно получили, что:

$$\lim_{p \to \infty} \frac {\pi(p\#)}{\varphi(p\#)}=e^{\gamma}\lim \frac {\ln(p)}{\ln(p\#)}.$$

А далее учитывая, что $\ln(p \#)=\sum_{t \leq p} \ln(t)=p(1+o(1))$ получим:

$$lim_{p \to \infty} \frac {\pi(p\#)}{\varphi(p\#)}=e^{\gamma}\lim_{p \to \infty} \frac {\ln(p)}{p}=0.$$

Кстати не очевидный результат!

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508197 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508158 писал(а):

Максимальный интервал для данного праймориала - это значение функции Якобсталя. A048670 И эта функция растет намного быстрее, чем $p_{r+1}-1$. Другое дело, что эти максимумы случаются где-то в середине праймориала. А в начале числового ряда расстояния между взаимно простыми намного меньше.

Да, я сначала подумал, что Вас интересует только начальный промежуток ПСВ. Потом понял, что Вас интересует максимальное расстояние между членами последовательности ПСВ не только в начале. Действительно, расхождение начинается с $11\#$.

Не. Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2

Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

[vorvalm]

vicvolf
Спасибо за детальный разбор этого предела.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508217 писал(а):

Не. Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2
Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

До $7\#$ максимум равен $p_{r+1}-1$.
Для $11\#=2310$ значения $p_{r}^2=121,p_{r+1}^2=169$ далеки от середины.
Для $13\#=30030$ значения $p_{r}^2=169,p_{r+1}^2=289$ еще дальше от середины.
Для больших значений праймориалов тем более значения $p_{r}^2,p_{r+1}^2$ далеки от середины.
Но дело в том, что для больших праймориалов даже не максимальное расстояние может быть больше $p_{r+1}-1$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1508222 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508217 писал(а):

Не. Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2
Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

До $7\#$ максимум равен $p_{r+1}-1$.
Для $11\#=2310$ значения $p_{r}^2=121,p_{r+1}^2=169$ далеки от середины.
Для $13\#=30030$ значения $p_{r}^2=169,p_{r+1}^2=289$ еще дальше от середины.
Для больших значений праймориалов тем более значения $p_{r}^2,p_{r+1}^2$ далеки от середины.
Но дело в том, что для больших праймориалов даже не максимальное расстояние может быть больше $p_{r+1}-1$.

Отрезок $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2 это отрезок ПСВ, в который входят только простые числа.
Для расстояния между соседними простыми числами имеется гипотеза Крамера $sup_k(p_{k+1}-p_k) \leq C\ln^2p_{k+1}$. Подставим в эту формулу верхнюю границу $p_{k+1}=p^2_{r+1}$ и получим $sup_k(p_{k+1}-p_k) \leq 4C\ln^2p_{r+1}$. Если справедлива гипотеза Крамера, то неравенство $p_{r+1}-1 > 4C\ln^2p_{r+1}$ выполняется для больших $r$ и Ваше предположение справедливо.