Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Батороев]

Yury_rsn
Допустим, есть некий примориал $p_r\#$.
Переходя к следующему простому, мы сначала "тиражируем" примориал $p_{r+1}$ раз. При этом имеющиеся интервалы без изменений переходят в любой из растирожированных, в том числе и максимальные интервалы для предыдущего примориала, а также начальный интервал от $p_1$ до $p_{r}$. Т.к. число $1$ является взаимнопростым во всех примориалах, то на стыках тиражированных примориалов всегда будут два взаимнопростых числа $s\cdot p\#\pm 1$, где $s=1, 2, 3... p_{r}$.

Теперь начинаем манипуляции с простым $p_{r+1}$. Умножаем все взаимнопростые из первого примориала на $p_{r+1}$ (т.е. число составных с "участием" $p_{r+1}$ равно $\varphi_{{p_r}\#}$ ).
Мы как-бы расстягиваем взаимнопростые из первого примориала в $p_{r+1}$ раз (увеличивая на одну ступень начальный интервал).
И так будет происходить при каждом переходе от одного простого к следующему. И какие интервалы будут от этих простых расширяться, будут ли "покрываться" упомянутые взаимнопростые числа на стыках и в каких местах (начале, середине, конце), будут ли они максимальными - мне не ведомо.
В общем-то предыдущим своим сообщением я хотел сказать лишь о том, что выделено жирным.

[Yury_rsn]

Батороев в сообщении #1506478 писал(а):

Yury_rsn
В общем-то предыдущим своим сообщением я хотел сказать лишь о том, что выделено жирным.

Да, спасибо, это понятно.

Цитата:

какие интервалы будут от этих простых расширяться, будут ли "покрываться" упомянутые взаимнопростые числа на стыках и в каких местах (начале, середине, конце), будут ли они максимальными - мне не ведомо.

Но ведь это и есть самое интересное.
То, о чем хочется узнать.

[Батороев]

Yury_rsn в сообщении #1506513 писал(а):

Но ведь это и есть самое интересное.
То, о чем хочется узнать.

Зная то, что выделено жирным, можно немного упорядочить "слежку" за большими интервалами вычислительными методами (которыми не владею).
Например максимальный интервал в примориале $7\#$ - это стык примориалов $5\#$ (число $120$). Далее он растиражируется и в примориале $11\#$ таких интервалов будет уже $11$. И т.д.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1506523 писал(а):

Далее он растиражируется и в примориале $11\#$ таких интервалов будет уже $11$. И т.д.

Это не так, вот вам интервалы на стыках предыдущих праймориалов для нескольких первых праймориалов:
5#=30: 2 2 2 6 2, max=6
7#=210: 2 2 8 14 2 2 12, max=14
11#=2310: 12 2 12 14 2 18 12 24 12 12 2, max=24
13#=30030: 2 18 30 2 2 14 42 20 18 18 2 32 18, max=42
17#=510510: 18 36 18 18 20 2 20 48 2 2 2 54 2 2 20 36 48, max=54
19#=9699690: 48 24 50 20 50 24 70 2 20 38 20 48 50 30 66 44 2 24 46, max=70
23#=223092870: 46 32 32 30 78 72 52 108 64 60 2 32 60 54 54 30 30 24 52 30 32 48 80, max=108
29#=6469693230: 80 66 42 2 58 78 82 32 88 30 2 32 42 32 100 2 84 42 2 2 44 2 58 42 60 60 2 62 102, max=102
31#=200560490130: 102 80 84 142 68 38 78 32 68 38 32 44 48 32 74 2 74 48 114 84 128 38 74 104 74 60 32 60 82 72 74, max=142
А из известных численных результатов видно что максимальные интервалы для тех же праймориалов составляют соответственно 6, 14, 34, 52, 114, 154, 248, 354, 474. И они совпадают лишь для 5# и 7#, а для всех остальных реальные интервалы больше чем максимум на границах праймориалов.

[Батороев]

Dmitriy40
Разночтение у нас с Вами от того, что я рассматриваю интервалы между взаимнопростыми примориалу, а Вы - между простыми.

Про стыки я писал в первом своем посте.

Приводя пример, я хотел сказать немного о другом, о чем написал. Но меня отвлекли. ((

В примориале $3\#$ взаимнопростые $1,5$, т.е. интервал между ними равен $3$ (числа$2,3,4$). Переходя к примориалу $5\#$, мы тиражируем примориал $5$ раз и получаем числовой ряд до $30$. На каждом участке, равном примориалу $3\#=6$, места $2,3,4$ будут не взаимнопростыми примориалу $3\#=2\cdot 3$: это числа $2,3,4$:-$8,9,10$;- $14,15,16$;- $20,21,22$;- $26,27,28$. Т.е. интервалы между взаимнопростыми тиражировались. Теперь, "включая" простое $5$, мы исключаем из списка взаимнопростых числа $5,25$ (путем умножения $5$ на взаимнопростые предыдущего примориала), отчего получим два увеличенных интервала, равных $5$ (числа $2,3,4,5,6$ и $24,25,26,27,28$). Переходя к следующему примориалу, процедура повторится.

Что касается моего примера на стыке примоиалов $5\#$ (число $120$), то я хотел сказать, что числа $120\pm1$ - взаимнопростые примориалу $5\#$, но затем по мере продвижения по примориалам быстро "покроются" и два больших интервала (для примориала $5\#$) объединятся. Но это объединение произойдет уже в примориале $11\#$ и тиражироваться они будут, начиная со следующего. При этом надо еще отметить, что все интервалы между ваимнопростыми числами в примориалах симметричны относительно середины.

[vorvalm]

Dmitriy40
У вас при $29\#\;\;\;d_{\max}=102 $, но при $23\#\;\;\;d_{\max}=108$.
Как это может быть ?

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1506595 писал(а):

У вас при $29\#\;\;\;d_{\max}=102 $, но при $23\#\;\;\;d_{\max}=108$.
Как это может быть ?

В праймориле $23\#$ точка $d=108$ приходится на значение $8\cdot 19\#=77597520$, которое не делится на $23\#$ и потому не входит в список 29-ти точек стыковки праймориалов $23\#$ в праймориале $29\#$. Вот поэтому.

Батороев
Да, похоже я упустил что числа всего лишь взаимно простые и взял обычные простые. Беру свои слова обратно, sorry.

[vorvalm]

Dmitriy40
Можно определить порядковый номер наибольшего простого числа
в праймориале $29\#$ ?

[Someone]

vorvalm в сообщении #1506715 писал(а):

Можно определить порядковый номер наибольшего простого числа
в праймориале $29\#$ ?

Wolfram Mathematica говорит, что $300\,369\,796$, и что простое число с этом номером равно $6\,469\,693\,189$, а следующее за ним (с номером, на единицу большим) равно $6\,469\,693\,291$. (Cам праймориал равен $6\,469\,693\,230$).

[vorvalm]

Someone
Спасибо.

[Dmitriy40]

vorvalm
Вы можете сами проверить числа до 30 триллионов (первый триллион простых) вот здесь: https://primes.utm.edu/nthprime/index.php
Вводите число $29\#=6469693230$ в поле под заголовком Pi function и нажимаете кнопку рядом, сайт сообщает количество простых до этого числа.
Введя полученный номер в поле выше (под заголовком Nth prime) можно получить и само простое.

[vorvalm]

Dmitriy40
Да, хорошая программа, спасибо.
А с более большим диапазоном что-нибудь есть ?

[Yury_rsn]

Можно лучше представить функцию Якобсталя, если применить вот такую визуализацию.
Вспомним школьную логарифмическую линейку, и предположим, что у нее посредине есть не одна подвижная планка, а несколько. Мы их можем сдвигать друг относительно друга, и смотреть соотношения получившихся рисок друг напротив друга.
Отметим на одной планке риски через два деления (_ 2 _ 2 _)
На другой - через 3 (_ 3 _ _ 3 _ _ 3 _)
И т.д.
Представим, что эти планки могут быть любой длины, сколько бы мы ни захотели.

И теперь надо подвинуть все планки таким образом, чтобы "значимые" риски заняли бы все пустые места друг под другом.
Максимальная длина заполненного таким образом ряда - это и будет функция Якобсталя.

Пример взаимного расположения виртуальных планок:

_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 _
_ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2
_ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _
_ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1506829 писал(а):

А с более большим диапазоном что-нибудь есть ?

Если сильно больше, то нет, готового не знаю.
Есть primesieve, она до триллиона считает количество простых (а также и близнецов) за примерно 4 минуты на поток (в 8 потоков за полминуты).
Ну и достаточно далеко есть точные значения в A006880, A007053, A055729, A055730, A055731, A055732, A000849, A003604 (можно и ещё промежуточных поискать), и отдельно у весьма известного товарища выложены подробные таблицы с хорошим шагом (а здесь даже подробнее), но промежуточные надо будет чем-то досчитывать, а уже от $10^{15}$ и далее это весьма медленно.

А, нет, есть же известная программа Kim Walisch, она не ограничена $2^{64}$ как primesieve выше, ну и считает на порядки быстрее, правда уже не чистым решетом, а какими-то формулами ...

Но вопрос а собственно зачем вам точные значения $\pi(x)$ ... Если лишь для проверки гипотез, то вполне можно ограничиться "круглыми" значениями из указанных выше таблиц, в OEIS есть данные аж до примерно $10^{28}$.

[vorvalm]

Dmitriy40
Меня, собственно, интересует не сама функция $\pi(x)$, но только
её значения при $x=p\#$. т.е. число простых чисел в праймориалах.
Я хочу найти предел отношения

$$\lim\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\;\;\;M=p\#\rightarrow \infty$$