Магнитное поле проводящей полуплоскости

[finn_parnichka2]

Имеются две полуплоскости, касающиеся на оси $z$. Угол между ними $2\theta$. По каждой течет ток $j$ в направлении оси, на которой накапливается заряд. Найти магнитное поле во всем пространстве.
Магнитное поле в этой задаче имеет только z компоненту, а решение стоит проводить в цилиндрической системе. Я пытался сначала решить задачу для одной полуплоскости: найти ток смещения и составить дифференциальное уравнение из уравнения максвелла

$$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$$

Ток смещения тут объемный, так что с его включением в уравнение нет вопросов, а как записать поверхностный ток? Тем более в цилиндрических координатах? Через дельта функцию, может быть? Так же у меня есть подозрение, что тут можно как-то применить условие на скачек нормальной составляющей поля на поверхности, но я не понимаю как(

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[svv]

finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):

Магнитное поле в этой задаче имеет только z компоненту, а решение стоит проводить в цилиндрической системе.

Это правильно.

finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):

Я пытался сначала решить задачу для одной полуплоскости

И это правильно. Удобно задать эту полуплоскость условием $\varphi=\pi$ (или $\varphi=-\pi$, что то же).

finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):

найти ток смещения и составить дифференциальное уравнение из уравнения максвелла

$$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$$

Так а где ж ток смещения-то? Он ненулевой, он должен входить именно в это уравнение Максвелла, но я его тут не вижу.
Также имейте в виду, что в это уравнение входит объёмная плотность тока, а по условию дана поверхностная. Хотя всё равно решать уравнение придётся лишь в области, где нет тока — ток будет учтён через скачок $\mathbf B$ на полуплоскости.

finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):

как записать поверхностный ток? Тем более в цилиндрических координатах? Через дельта функцию, может быть?

Дельта-функция не нужна. При выбранном расположении полуплоскости поверхностный ток равен $-j\mathbf e_\rho$ всюду на полуплоскости, где $\mathbf e_\rho$ — один из ортов цилиндрического базиса. Через поверхностный ток выражается скачок магнитного поля на полуплоскости. Только не нормальной его составляющей $B_\varphi$ (она у нас нулевая, кроме того, нормальная составляющая $\mathbf B$ всегда непрерывна), а тангенциальной $B_z$.

Как Вы считаете, какие ненулевые компоненты (или, может быть, одну компоненту) имеет электрическое поле?

[finn_parnichka2]

svv

Цитата:

Так а где ж ток смещения-то? Он ненулевой, он должен входить именно в это уравнение Максвелла, но я его тут не вижу.

Под ${\mathbf{j}}$ подразумевалась сумма стороннего тока, текущего по поверхности, и тока смещения

$$\frac{1}{4 \pi}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{j}{2 \pi r^2}\mathbf{r_0}$$

.

Цитата:

Как Вы считаете, какие ненулевые компоненты (или, может быть, одну компоненту) имеет электрическое поле?

Только по ${\mathbf{r_0}}$.

Цитата:

Также имейте в виду, что в это уравнение входит объёмная плотность тока, а по условию дана поверхностная. Хотя всё равно решать уравнение придётся лишь в области, где нет тока — ток будет учтён через скачок $\mathbf B$ на полуплоскости.

То есть получаем уравнение на магнитное поле в области вне плоскости в виде

$$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{2 j}{c r^2}\mathbf{r_0}$$

Решаем его в этой области, а дальше пользуемся граничным условием?

[svv]

finn_parnichka2 в сообщении #1505568 писал(а):

Под ${\mathbf{j}}$ подразумевалась сумма стороннего тока, текущего по поверхности, и тока смещения

А, понятно.
Я бы только не обозначал через $\mathbf j$ сумму тока проводимости и тока смещения. Буковка $j$ уже дважды занята.

(del)

Я не сразу оценил, но теперь вижу, что Ваш подход — хороший. Сумма тока проводимости и тока смещения удовлетворяет условию неразрывности. Этот суммарный ток сначала идёт по полуплоскости к оси (в виде тока проводимости), а потом расходится осесимметрично от оси, уже в виде тока смещения.

Да, уравнение составлено правильно и надо его решить.

Я решал иначе — через уравнения Максвелла с электрическим и магнитным полем, но у Вас проще.

[finn_parnichka2]

svv
Я все еще не понимаю, как действовать в одном месте: из уравнения максвелла получим

$$\frac{1}{r}\frac{\partial{B_z}}{\partial{\varphi}} = \frac{2j}{cr}$$

, тогда

$${B_z}=\frac{2j}{c}\varphi+C$$

Очевидно, из граничного условия не можем получить значение $C$. И вообще, условие скачка тангенциальной составляющей будет выполняться при любом $C$, если считать, что при прохождении через полярную ось $\varphi$ снова принимает значение $0$. Как быть?
Мне кажется, поле должно обращаться в ноль на $\varphi = \pi$, но чем обосновать это утверждение не понимаю

[AnatolyBa]

От константы здесь не избавиться. В конце концов это все можно поместить внутрь большого соленоида и ничего не изменится.
Двоечка нигде не потеряна? Что-то мне кажется, что потеряна.
А $j$ предполагается константой?

[EUgeneUS]

Вот это

finn_parnichka2 в сообщении #1505680 писал(а):

$${B_z}=\frac{2j}{c}\varphi+C$$

Нагляднее переписать так:

$${B_z}=\frac{2j}{c}(\varphi+C)$$

Тогда видно:
а) $B_z=0$, если $j=0$. То есть "внешних" полей нет.
б) $C$ - это константа, связанная с выбором полярной оси.

Если полярную ось выбрать как ось симметрии (в условиях так и предлагается), тогда $B_z(0) = B_z(\pi)=0$. Откуда
а) $C=0$
б) А скачок при переходе через проводящую плоскость обязан быть $\Delta B_z = \frac{2j}{c} \pi$

-- 19.02.2021, 15:27 --

UPD: предположительно потерянную двойку не искал \ не проверял

[finn_parnichka2]

EUgeneUS
А откуда следует, что $B_z(\pi)=0$?? Из-за того, что поле должно сменить направление и симметрии задачи?

AnatolyBa

Цитата:

А $j$ предполагается константой?

Да $j$ константа.

Цитата:

Двоечка нигде не потеряна?

Честно говоря, я не нашел той двоечки

[EUgeneUS]

finn_parnichka2 в сообщении #1505731 писал(а):

А откуда следует, что $B_z(\pi)=0$?? Из-за того, что поле должно сменить направление и симметрии задачи?

Для простоты - да. Но можно исходя из симметрии решить задачу с одной полуплоскостью, а потом решать со сколько угодно полуплосткостями и несимметричные.

А двоечку Вы всё таки потеряли.

Суммарный скачок через две полуплоскости должен быть равен (если верить Вашему выводу) $\Delta_{2} B_z = \frac{2j}{c} 2 \pi = \frac{4 \pi j}{c}$
А исходя из уравнений Максвелла такой скачок будет при переходе через одну полуплоскость.
Видимо Вы не учли, что линия соприкосновения полуплоскостей заряжается двойной плотностью тока, от двух полуплоскостей.

-- 19.02.2021, 21:10 --

UPD:

finn_parnichka2 в сообщении #1505680 писал(а):

условие скачка тангенциальной составляющей будет выполняться при любом $C$, если считать, что при прохождении через полярную ось $\varphi$ снова принимает значение $0$.

Если откуда-то знать, что $B_z(0)=0$, то $B_z(\pi)=0$ следует автоматически, так как скачки $B_z$ при переходе через пластины одинаковые по (модулю), так как плотности тока одинаковые.
Вопрос: откуда знаем, что $B_z(0)=0$? Тут или соображения симметрии сразу (что проще), или решать задачу с одной полуплоскостью и складывать поля от двух полуплоскостей.

[AnatolyBa]

Если бы $j$ не было постоянным а, скажем, начиналось с нуля, то это была бы более корректная постановка задачи, и можно было бы использовать нулевые начальные условия. Но такая задача намного сложнее, я не вижу как ее решать.
Если же $j$ постоянно, то эта задача не очень-то физична, скорее учебное упражнение на решение уравнений Максвелла.
Да, в таком случае разумно использовать соображения симметрии. Мне кажется, наиболее разумно предполагать симметрию относительно биссектрисы между плоскостями

[EUgeneUS]

AnatolyBa

(физичный вариант)

1. Пусть у нас по одной полуплоскости ток втекает с угол, а по другой - вытекает. Тогда задача будет физичной и с постоянной плотностью тока.
2. Можем решить "нефизичную задачу" с одной полуплоскостью и накоплением заряда на крае.
3. И посчитать суперпозцию от двух полуплоскостей.
Нет?

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Первый вариант - да это физичная задача, но тока смещения не будет, а я так понял, что ток смещения здесь важный компонент.
2, 3 - конечно можно, я разве против. В этом случае симметрия как-то уж совсем естественно получается. Но и в исходной задаче симметрия относительно биссектрисы тоже вполне естественна

[EUgeneUS]

AnatolyBa

(Оффтоп)

AnatolyBa в сообщении #1505757 писал(а):

Но и в исходной задаче симметрия относительно биссектрисы тоже вполне естественна

Кстати, в исходной задаче $B_z(0)=B_z(\pi) = 0$ следует из симметрии и Закона Био-Савара-Лапласа. Так как для точек на биссектрисе для каждой площадки с током из одной полуплоскости найдет площадка на другой плоскости, которая создает противоположное поле.
И никакой неопределенности не возникает. Вроде бы.